Autor Tema: Calcular el punto crítico de una función exponencial

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09 Julio, 2021, 08:15 pm
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Marcos Castillo

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Hola

Tengo un ejercicio resuelto y una duda. Primero cito:

Citar
Ejemplo 7 Calcule el punto crítico de \( y=x^x \)
Solución No se puede diferenciar \( x^x \) tratándolo como una potencia (como \( x^a \)), ya que el exponente varía. Tampoco se puede tratar como una función exponencial (como a^x) porque la base varía. Pero podemos diferenciarlo si lo escribimos primero en términos de la función exponencial \( x^x=x^{x\mbox{ln}\;x} \) y utilizamos después la Regla de la Cadena y la Regla del Producto:

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x\mbox{ln}\;x}=e^{x\mbox{ln}\;x}\left({\mbox{ln}\;x+x\left({\dfrac{1}{x}}\right)}\right)=x^x(1+\mbox{ln}\;x) \)

\( x^x \) está definida sólo para \( x>0 \) y nunca vale 0 (¿por qué?). Por tanto el punto crítico se produce cuando \( 1+\mbox{ln}\;x=0 \), es decir, \( \mbox{ln}x=-1 \) o \( x=1/e \)


La pregunta es: ¿por qué nunca vale cero?. Se me ocurre que la forma de probarlo es probar la discontinuidad en ese punto; o que no esté definido:

\( x^0=1 \), y \( 0^x=0 \)

Un saludo cordial.
No man is an island (John Donne)

09 Julio, 2021, 08:40 pm
Respuesta #1

franma

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Buenas Marcos Castillo,

Lo que nos puede servir es calcular el limite por derecha (ya que es solo para x>0) y ver que valor obtenemos.
Luego recordar que para x>0 tenemos base positiva y exponente positivo por lo que siempre será positiva.

Vamos con ello:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{e^{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{\frac{\ln(x)}{1/x}}} \)

Aquí aplicamos L'hopital:

\( \displaystyle e^{\lim_{x \to{0^+}}{-x}}=1 \)

Luego no puede tener raices.

Espero que esto te aclare la duda, si no, pregunta nuevamente :).

Saludos,
Franco.

PD: Esto lo dejo en spoiler y ruego revisión de algún compañero del foro:
Spoiler
Esta definida solo para x>0 ya que al ser los racionales densos en \( \mathbb{R} \) tendríamos infinitas indeterminaciones del tipo raíz de negativos.
[cerrar]
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

09 Julio, 2021, 09:23 pm
Respuesta #2

feriva

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La pregunta es: ¿por qué nunca vale cero?.

Hola, Marcos. Pues que yo vea, entre otras cosas que puedan decirse, es que de entrada tienes cero a la cero (indefinición) y dentro del paréntesis también tienes logaritmo de cero, que no está definido.

Saludos.

09 Julio, 2021, 10:28 pm
Respuesta #3

DaniM

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Hola, Marcos. Pues que yo vea, entre otras cosas que puedan decirse, es que de entrada tienes cero a la cero (indefinición) y dentro del paréntesis también tienes logaritmo de cero, que no está definido.

Aquí me falta algo, porque por esa regla de tres la función \( f(x) = x = x \displaystyle \frac{ln(x)}{ln(x)} \) tampoco debería estar definida en \( x = 0 \), pero en realidad sí lo está.

09 Julio, 2021, 10:32 pm
Respuesta #4

feriva

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Hola, Marcos. Pues que yo vea, entre otras cosas que puedan decirse, es que de entrada tienes cero a la cero (indefinición) y dentro del paréntesis también tienes logaritmo de cero, que no está definido.

Aquí me falta algo, porque por esa regla de tres la función \( f(x) = x = x \displaystyle \frac{ln(x)}{ln(x)} \) tampoco debería estar definida en \( x = 0 \), pero en realidad sí lo está.

Pues no sé, es que yo de análisis ando muy flojo; me pareció que podría ser por eso.

Saludos.

09 Julio, 2021, 10:37 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

La pregunta es: ¿por qué nunca vale cero?. Se me ocurre que la forma de probarlo es probar la discontinuidad en ese punto; o que no esté definido:

\( x^0=1 \), y \( 0^x=0 \)

Pero estás confundiendo dos cosas distintas:

- Una cosa es que la función \( x^x \) no esté definida para \( x=0 \).

- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:

\(  a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)

 y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.

Hola, Marcos. Pues que yo vea, entre otras cosas que puedan decirse, es que de entrada tienes cero a la cero (indefinición) y dentro del paréntesis también tienes logaritmo de cero, que no está definido.

Aquí me falta algo, porque por esa regla de tres la función \( f(x) = x = x \displaystyle \frac{ln(x)}{ln(x)} \) tampoco debería estar definida en \( x = 0 \), pero en realidad sí lo está.

Es que no es cierto que (no al menos sin matiz):

\( x = x \displaystyle \frac{ln(x)}{ln(x)} \)

Esa igualdad sólo es cierta para \( x>0 \). Para \( x\leq 0, \) \( ln(x) \) (como función real) no significa nada.

Saludos.

09 Julio, 2021, 10:57 pm
Respuesta #6

DaniM

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Es que no es cierto que (no al menos sin matiz):

\( x = x \displaystyle \frac{ln(x)}{ln(x)} \)

Esa igualdad sólo es cierta para \( x>0 \). Para \( x\leq 0, \) \( ln(x) \) (como función real) no significa nada.

Cierto, no sé en qué estaría pensando. Perdón por el retraso.

10 Julio, 2021, 05:44 am
Respuesta #7

Marcos Castillo

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- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:

\(  a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)

 y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.




Lo que nos puede servir es calcular el limite por derecha (ya que es solo para x>0) y ver que valor obtenemos.
Luego recordar que para x>0 tenemos base positiva y exponente positivo por lo que siempre será positiva.

Vamos con ello:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{e^{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{\frac{\ln(x)}{1/x}}} \)

Aquí aplicamos L'hopital:

\( \displaystyle e^{\lim_{x \to{0^+}}{-x}}=1 \)

Luego no puede tener raices.

Espero que esto te aclare la duda, si no, pregunta nuevamente :).


Bien, pero también he preguntado en Physics Forums, y me comentan que puedo definir \( 0^0 \) si quiero. Y creo que tienen razón. En este caso concreto, \( 0^0=1 \). En la gráfica se visualiza. Creo que GeoGebra lo da por válido:



Ya sé que me salgo un poco del tiesto, pero el dominio, en un momento dado, puede ser \( [0,\infty) \). Me salgo del guión de todo lo que dice el libro...

Pongo el enlace, con el ánimo de sólo ilustrar el punto de vista.

https://www.physicsforums.com/threads/calculate-and-argue-the-critical-points-of-an-exponential-function.1004933/#post-6513115

Espero no estar liándola. Es únicamente... Vamos, que ya la he liado, tal vez.

Un saludo



No man is an island (John Donne)

10 Julio, 2021, 09:29 am
Respuesta #8

feriva

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- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:

\(  a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)

 y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.




Lo que nos puede servir es calcular el limite por derecha (ya que es solo para x>0) y ver que valor obtenemos.
Luego recordar que para x>0 tenemos base positiva y exponente positivo por lo que siempre será positiva.

Vamos con ello:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{e^{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{\frac{\ln(x)}{1/x}}} \)

Aquí aplicamos L'hopital:

\( \displaystyle e^{\lim_{x \to{0^+}}{-x}}=1 \)

Luego no puede tener raices.

Espero que esto te aclare la duda, si no, pregunta nuevamente :).


Bien, pero también he preguntado en Physics Forums, y me comentan que puedo definir \( 0^0 \) si quiero. Y creo que tienen razón. En este caso concreto, \( 0^0=1 \). En la gráfica se visualiza. Creo que GeoGebra lo da por válido:



Ya sé que me salgo un poco del tiesto, pero el dominio, en un momento dado, puede ser \( [0,\infty) \). Me salgo del guión de todo lo que dice el libro...

Pongo el enlace, con el ánimo de sólo ilustrar el punto de vista.

https://www.physicsforums.com/threads/calculate-and-argue-the-critical-points-of-an-exponential-function.1004933/#post-6513115

Espero no estar liándola. Es únicamente... Vamos, que ya la he liado, tal vez.

Un saludo

Hola, Marcos.

Pero aun así (que no sé en este caso) tendrías dentro del paréntesis log de cero, que no existe como número real, no puede ser “cero del todo”. Yo lo veo como cuando tienes en el denominador x-5 y dices que no puede ser 5 (5 del todo, se entiende, se puede acercar mucho, pero no del todo).

Saludos.

10 Julio, 2021, 09:52 am
Respuesta #9

Masacroso

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Bien, pero también he preguntado en Physics Forums, y me comentan que puedo definir \( 0^0 \) si quiero. Y creo que tienen razón. En este caso concreto, \( 0^0=1 \). En la gráfica se visualiza. Creo que GeoGebra lo da por válido:



Ya sé que me salgo un poco del tiesto, pero el dominio, en un momento dado, puede ser \( [0,\infty) \). Me salgo del guión de todo lo que dice el libro...

Pongo el enlace, con el ánimo de sólo ilustrar el punto de vista.

https://www.physicsforums.com/threads/calculate-and-argue-the-critical-points-of-an-exponential-function.1004933/#post-6513115

Espero no estar liándola. Es únicamente... Vamos, que ya la he liado, tal vez.

Un saludo.

Lo que vale \( 0^0 \) depende de la convención que se tome y el contexto. Si lo que quieres es continuar la función \( f(x)=x^x \) en el cero lo puedes hacer definiendo \( f(0):= \lim_{x\to 0}f(x) \), si tal límite existe (que en este caso existe y es \( 1 \), como se ve en la gráfica). Debido a lo anterior la convención usual es definir \( 0^0:=1 \). Pero en este caso sería una función diferente a la original, ya que su dominio es distinto.