Autor Tema: La exponencial y el logaritmo natural

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07 Julio, 2021, 08:44 am
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Marcos Castillo

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Hola

En la 6ª edición de "Cálculo", de Robert A. Adams, en la sección 3.3 y siguientes, introduce la exponencial y el logaritmo natural.

Primero aborda el logaritmo natural, y luego las propiedades del logaritmo natural.

Spoiler
DEFINICIÓN 6 Logaritmo natural

Para \( x>0 \), sea el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( \mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln}=\;x\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)
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Primera duda: ¿lo hace para todo \( x \) real?

En la siguiente página, Teorema 2, "Propiedades del logaritmo natural"

Spoiler
"TEOREMA 2 Propiedades del logaritmo natural

(i)\( \mbox{ln}\;(xy)=\mbox{ln}\;x+\mbox{ln}\;y \)

(ii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{x}{y}}\right )=\mbox{ln}\;x-\mbox{ln}\;y \)

(iii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{1}{x}}\right )=-\mbox{ln}\;x \)

(iv)\( \mbox{ln}\;(x^r)=r\mbox{ln}\;x \)
[cerrar]

Menciona: "Como no deseamos suponer que las exponenciales son continuas (como hicimos en la sección 3.2)", diremos por el momento que (iv) sólo es válido para exponentes \( r \) que sean números racionales, pero no podremos demostrarlo hasta la sección siguiente".

Tres páginas más adelante dice: el Teorema 3(i) indica que \( \mbox{exp}\;r=\mbox{exp}\;(1r)=(\mbox{exp}\;1)^r=e^r \) se cumple para todo número racional \( r \). Realizaremos ahora una observación crucial. Sólo conocemos el significado de \( e^r \) si \( r \) es un número racional (si \( r=m/n \)), entonces \( e^r=\sqrt[n]{e^m} \). Pero \( \mbox{exp}\;x \) está definida para todo \( x \) real, sea racional o no. Como \( e^r=\mbox{exp}\;r \) cuando \( r \) es racional, se puede usar \( \mbox{exp}\;r \) como definición de lo que significa \( e^x \) para cualquier número real \( x \), y no habrá contradicción en el caso de que \( x \) sea racional.

\( e^x=\mbox{exp}\;x\quad\mbox{para todo}\;x\;\mbox{real} \)

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Segunda duda: no entiendo esta observación crucial. He perdido la visión de conjunto. :( ¿Qué significa?

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

07 Julio, 2021, 09:14 am
Respuesta #1

Masacroso

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Sobre la primera duda: ahí mismo te están diciendo que \( \ln x \) está definido para todo \( x>0 \), si \( x\in (0,1) \) entonces \( \ln x =-A_x \), y si \( x\geqslant 1 \) entonces \( \ln x=A_x \). Es decir. ahí sólo se define el logaritmo para \( x>0 \) solamente.

Para la segunda duda: te dicen que, si \( x \) es racional, entonces tienes la identidad \( \exp x=e^x \), y que van a definir entonces la exponencial para cualquier número real (no sólo los racionales) utilizando la expresión \( \exp x \), es decir, que si \( x \) es un número irracional entonces definen \( e^x:=\exp x \).

07 Julio, 2021, 11:36 am
Respuesta #2

feriva

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Hola, Marcos.

La interpretación que yo hago de lo que te quieren decir es ésta que sigue (pero es posible que me equivoque, solamente creo, creo, que se puede referir a esto).

Empecemos por los racionales.

La idea de una potencia natural es muy clara, es simplemente \( x^{n}=x\cdot x...
  \) “n” veces para el real "x" que sea.

Pero si pensamos en una potencia racional no entera, por ejemplo, en \( x^{\frac{1}{2}}
  \), ya no se ve qué es eso, no podemos escribir \( x\cdot x...
  \) media vez, es incomprensible.

Para comprenderlo o ver si realmente existe eso como posibilidad a tenor de las propiedades conocidas, se puede pensar en que siempre existen naturales a,b tales que \( n=ab
  \) (si es primo pues existe el mismo número “n” y el 1). Luego existe \( x^{ab}
  \) y existe \( x^{ab}=y
  \), porque es un mero cambio de nombre ("y" es el número real que cumple eso, el que sea)
Al hallar la raíz “b” a ambos lados, lo que queda es \( x^{a}=y^{\frac{1}{b}}
  \); y como existe \( x^{a}
  \) sin problemas, porque es el producto de “x” tomado “a” veces, pues entonces tiene que existir \( y^{\frac{1}{b}}
  \) porque existe tal equivalencia (aunque para nosotros sea incompresnible qué quiere decir “1/b” veces).

...

Si ahora pensamos en una potencia “r=x” irracional positiva, la cual sí existe ( es el número real que sea) la cosa vuelve a no verse muy clara con “los ojos”; si tenemos \( e^{x}
  \), ¿qué es eso exactamente?

Si existe \( e^{x}
  \), entonces existirá obviamente la identidad \( e^{x}=e^{x}
  \); y tienes demostrado que en ese caso se puede hacer

\( log\, e^{x}=log\, e^{x}\Rightarrow x\cdot log\, e=log\, e^{x}
  \)

y como \( log\, e=1
  \) (estamos en base “e”) entonces

\( x=log\, e^{x}
  \).

Dado que “x” existe de entrada, la equivalencia nos dice que existe \( log\, e^{x}
  \); pero para que exista \( log\, e^{x}
  \) es obligatorio que exista primero \( e^{x}
  \); que escrito de otra manera es \( exp\, x
  \) (lo cual no es trascendente).

Luego ahora vemos que no hay problema en que exista eso; es más, acabamos de ver, de hecho, que sí existe.

Saludos.

07 Julio, 2021, 12:19 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Dado que “x” existe de entrada, la equivalencia nos dice que existe \( log\, e^{x}
  \); pero para que exista \( log\, e^{x}
  \) es obligatorio que exista primero \( e^{x}
  \); que escrito de otra manera es \( exp\, x
  \) (lo cual no es trascendente).


 Si; si es trascendente. De hecho es casi la clave de la observación. Hay que ver como en el libro están introducidas las notaciones \( e^x \) y \( exp(x) \).

Menciona: "Como no deseamos suponer que las exponenciales son continuas (como hicimos en la sección 3.2)", diremos por el momento que (iv) sólo es válido para exponentes \( r \) que sean números racionales, pero no podremos demostrarlo hasta la sección siguiente".

Tres páginas más adelante dice: el Teorema 3(i) indica que \( \mbox{exp}\;r=\mbox{exp}\;(1r)=(\mbox{exp}\;1)^r=e^r \) se cumple para todo número racional \( r \). Realizaremos ahora una observación crucial. Sólo conocemos el significado de \( e^r \) si \( r \) es un número racional (si \( r=m/n \)), entonces \( e^r=\sqrt[n]{e^m} \). Pero \( \mbox{exp}\;x \) está definida para todo \( x \) real, sea racional o no. Como \( e^r=\mbox{exp}\;r \) cuando \( r \) es racional, se puede usar \( \mbox{exp}\;r \) como definición de lo que significa \( e^x \) para cualquier número real \( x \), y no habrá contradicción en el caso de que \( x \) sea racional.

 Ten en cuenta lo siguiente. En el libro:

- En la sección 3.2 define \( a^x \) cuando \( x \) es racional, pero NO cuando \( x \) es irracional (aunque da una idea de como calcularlo como límite de potencias con exponente racional).
- En la sección 3.3. define la función \( ln(x) \) y después la función \( exp(x) \) como su inversa, para cualquier real \( x \).
- Después DEFINE \( e=exp(1) \).
- La sección 3.2 permite hallar cualquier potencia racional de un número, por tanto sabemos lo que significa \( e^r \) para \( r \) racional.
- Las propiedades del logaritmo y el hecho de que \( exp(x) \) sea la inversa de \( ln(x) \) permiten demostrar que \( e^r=exp(r) \) cuando \( r \) es racional.
- Ahora no sabemos que significa \( e^x \) cuando \( x \) es irracional, porque aun no te han definido las potencias irracionales de un número. Pues bien el libro propone DEFINIR:

 \( e^x=exp(x) \) cuando \( x \) es irracional

 La definición es coherente en cuanto que de manera independiente sabemos que significa \( e^r \) y \( exp(r) \) cuando \( r \) es racional y hemos demostrado que en ese caso ambas nociones coinciden \( e^r=exp(r) \).

Saludos.

07 Julio, 2021, 12:29 pm
Respuesta #4

feriva

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Hola

Dado que “x” existe de entrada, la equivalencia nos dice que existe \( log\, e^{x}
  \); pero para que exista \( log\, e^{x}
  \) es obligatorio que exista primero \( e^{x}
  \); que escrito de otra manera es \( exp\, x
  \) (lo cual no es trascendente).


 Si; si es trascendente. De hecho es casi la clave de la observación. Hay que ver como en el libro están introducidas las notaciones \( e^x \) y \( exp(x) \).


Muchas gracias, Luis. No sabía bien lo que decía el libro, pero ya lo he entendido con la explicación que le das a Marcos.

Saludos.

07 Julio, 2021, 10:00 pm
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Hola, feriva, Masacroso, Luis

Sobre la primera duda: ahí mismo te están diciendo que \( \ln x \) está definido para todo \( x>0 \), si \( x\in (0,1) \) entonces \( \ln x =-A_x \), y si \( x\geqslant 1 \) entonces \( \ln x=A_x \). Es decir. ahí sólo se define el logaritmo para \( x>0 \) solamente.

¡Perdón! :-X. Quería preguntar: ¿\( \mbox{dom}=\{x\in\mathbb R:x>0\} \)? Duda solucionada


- Ahora no sabemos que significa \( e^x \) cuando \( x \) es irracional, porque aun no te han definido las potencias irracionales de un número. Pues bien el libro propone DEFINIR:

 \( e^x=exp(x) \) cuando \( x \) es irracional

 La definición es coherente en cuanto que de manera independiente sabemos que significa \( e^r \) y \( exp(r) \) cuando \( r \) es racional y hemos demostrado que en ese caso ambas nociones coinciden \( e^r=exp(r) \).


Hacemos una analogía entre algo probado, \( \mbox{exp}\;r=\mbox{exp}\;(1r)=e^r \), \( r\in\mathbb Q \), y \( \mbox{exp}\;x=\mbox{exp}\;(1x)=e^x \), \( x\in\mathbb R \), ¿no?

¿Pero por el momento, es un "plan de trabajo"?

porque aun no te han definido las potencias irracionales de un número

Sin embargo, en la página siguiente, lo da por probado. ¿O todavía no?. ¿Qué diferencia hay entre "definido" y "probado"? En este contexto, vamos.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

07 Julio, 2021, 10:35 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

porque aun no te han definido las potencias irracionales de un número

Sin embargo, en la página siguiente, lo da por probado. ¿O todavía no?. ¿Qué diferencia hay entre "definido" y "probado"? En este contexto, vamos.

No lo da por probado. DEFINE: \( e^x \) como \( e^x:=exp(x) \) para cualquier \( x. \)

Es una buena definición porque para \( x \) racional coincide con lo que entendemos por "\( e \) elevado a \( x \)".

Spoiler
Para que entiendas lo que quiero decir. Si por ejemplo nos da por definir \( e^x:=x^3 \), pues sería muy mala idea porque, por una parte por la definición de un número elevado a una potencia entero sabemos que:

\( e^2=e\cdot e \)

Pero con nuestra "nueva" definición:

\( e^2=2^3=8\neq e\cdot e \)

Entonces esto sería un desastre porque \( e^2 \) significaría dos cosas distintas.
[cerrar]

Saludos.

07 Julio, 2021, 11:11 pm
Respuesta #7

Marcos Castillo

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el_manco :aplauso:

Era problema al que no veía solución. Sigo adelante.

¡Un abrazo!
No man is an island (John Donne)

08 Julio, 2021, 02:40 am
Respuesta #8

Masacroso

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Hola, feriva, Masacroso, Luis

Sobre la primera duda: ahí mismo te están diciendo que \( \ln x \) está definido para todo \( x>0 \), si \( x\in (0,1) \) entonces \( \ln x =-A_x \), y si \( x\geqslant 1 \) entonces \( \ln x=A_x \). Es decir. ahí sólo se define el logaritmo para \( x>0 \) solamente.

¡Perdón! :-X. Quería preguntar: ¿\( \mbox{dom}=\{x\in\mathbb R:x>0\} \)? Duda solucionada

No tienes que pedir perdón, está bien preguntar cualquier cosa, especialmente si son cosas que luego se van a usar mucho. Sí, ahí la función logaritmo tiene dominio \( (0,\infty ) \). Luego, cuando sigas estudiando, más adelante verás lo que se denomina "la rama principal del logaritmo complejo", que es otra función que extiende el dominio de la función logaritmo que acabas de estudiar desde \( (0,\infty ) \) a \( \mathbb{C}\setminus \{0\} \), siendo \( \mathbb{C} \) el conjunto de los números complejos.

Me faltó también explicar mejor sobre tu segunda duda. La notación \( A:=B \) significa que el símbolo \( A \) se va a utilizar como sinónimo del símbolo \( B \) (del cual ya supuestamente conocemos su significado). Entonces decimos que definimos lo que significa \( A \) como sinónimo de \( B \). Por ejemplo si escribo \( f(x):=\sen x \) estoy diciendo que el símbolo (o conjunto de símbolos más bien) \( f(x) \) es lo mismo que si hubiese escrito \( \sen x \), donde se sobreentiende que \( x \) es una variable, entonces la igualdad \( f(\pi/2)=1 \) es cierta, ya que hemos definido el símbolo \( f(\pi/2) \) como sinónimo de \( \sin (\pi/2) \).

Esto se usa muchísimo en matemáticas, ya que si tenemos una expresión muy complicada podemos darle un nombre más corto para no tener que escribirla cada vez. En tu caso el libro define \( e^x:=\exp(x) \) cuando \( x \) es irracional, lo que significa que los símbolos \( e^x \) van a significar lo mismo que los símbolos \( \exp(x) \) cuando \( x \) es irracional. Como tenías la igualdad (no definición) \( e^x=\exp(x) \) para todo número racional \( x \), entonces con la definición anterior tienes que \( e^x=\exp(x) \) para todo número real \( x \). Espero que quede más claro, aunque con la explicación de Luis seguro ya te quedó claro.

08 Julio, 2021, 09:28 am
Respuesta #9

feriva

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Hola, Marcos.

A mí esto me pasaba mucho cuando estaba en la UNED y estudiaba solo con los libros. Cuando algo es sencillo, muchas veces, le buscamos cinco pies al gato, nos decimos: “no puede ser sólo eso”. Esperamos de antemano que todo sea más o menos difícil y cueste esfuerzo. Con un profesor delante, en cambio, es mucho más raro que ocurra, aunque sea sólo por el tono de voz y por los gestos. Si, en directo, por ejemplo (esto es una exageración en cuanto a sencillez) un profesor te dice que para todo real conocemos la propiedad \( a\cdot1=a
  \), que se había visto para \( r \cdot 1=r \) y que ahora podemos ver que tampoco hay problema para \( x\cdot1=x
  \), lo cuenta como quien no quiere la cosa, sin darle mucha importancia, y continúa explicando. Cuando realmente hay algo que requiere esfuerzo en cuanto entendimiento, el profesor se para, pide especial atención... no es igual.

En fin, que es el problema de estudiar solo (Solo en casa, como la peli).

Saludos.