Autor Tema: Funciones Reales

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28 Junio, 2021, 02:53 am
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lucerito

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Por favor, necesito ayuda con este ejercicio. En el link se encuentran las dos gráficas. Gracias!! :D

1. Determina para cada una de las siguientes gráficas:
   (a) El dominio.
   (b) El rango.
   (c) Las intersecciones con los ejes.
   (d) Qué tipo de simetría existe.


28 Junio, 2021, 06:13 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola lucerito, bienvenida al foro.

No sé bien si te piden hallar las ecuaciones y luego responder las preguntas con respecto a la ecuación obtenida, o si debes responder gráficamente (sin encontrar ecuaciones). Así que a continuación te respondo de ambas formas y tú nos cuentas cual se te hace más familiar.

Forma 1: Respondamos la pregunta a partir de la gráfica (sin obtener la ecuación).

(a) Las ordenadas de los puntos sobre la curva son los números en el conjunto \( [-2,\infty[ \). Este sería su dominio.
(b) Las abcisas de los puntos sobre la curva puede ser cualquier valor real, por lo que su rango es \( \mathbb{R} \).
(c) De la gráfica vemos que la curva intersecta al eje X en (-2,0) y al eje Y en los puntos (0,-2) y (0,2).
(d) Vemos que la gráfica es simétrica con respecto al eje X.


Forma 2: Obteniendo la ecuación de la parábola.

Para la primera, como es una parábola que abre hacia la derecha y en el gráfico tiene vértice en \( (h,k)=(-2,0) \), tiene la forma

    \( y^2=4p(x+2) \)

Para determinar el valor de \( p \), como sabemos que pasa por \( (\pm2,0) \) reemplazamos este punto en la ecuación, obteniendo

    \( 4=4p(0+2) \)

de donde \( p=1/2 \), y por tanto la ecuación de la parábola es:

    \( y^2=2(x+2) \).

Puedes verificar que esta parábola pasa por los tres puntos dados. Respondiendo a la pregunta:

(a) El dominio es \( [-2,\infty[ \), porque son los valores que puede tomar la \( x \).
(b) El recorrido son los valores que puede tomar \( y \), que en el caso de la parábola es todo \( \mathbb{R} \).
(c) Las intersecciones con el eje \( X \) son cuando \( y=0 \). Si reemplazas en la ecuación da \( x=-2 \), como también puedes corroborar de la gráfica.
     Y las intersecciones con el eje \( Y \) son cuando \( x=0 \). Si reemplazas en la ecuación \( x=0 \) obtienes \( y=\pm2 \), lo cual puedes corroborar con la gráfica.
(d) La simetría es con respecto al eje \( X \).

-------------

El problema de la imagen b no lo entiendo. Habla de la "gráfica de un reflejo de la curva" , pero no sé si "la curva" es la de la gráfica, ya que en la Imagen a la gráfica de la curva es la mostrada en la imagen. Posiblemente otro forero pueda entender mejor esta pregunta.

29 Junio, 2021, 05:49 am
Respuesta #2

Marcos Castillo

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Hola, supongo que la "reflexión" es, vamos, tiene que ser de \( y=-(x-3)^2+1 \) sobre \( y=x+1 \)

Citar
Reflexiones en rectas especiales
(...)
1- Al cambiar \( x \) por \( -x \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación en el eje \( y \).
2- Al cambiar \( y \) por \( -y \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación en el eje \( x \).
3- Al cambiar \( x \) por \( a-x \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación de la recta en la recta \( x=a/2 \).
4- Al cambiar \( y \) por \( b-y \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación de la recta en la recta \( y=b/2 \).
5- Al intercambiar \( x \) e \( y \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación en la recta de ecuación \( y=x \).

¿Pueden ir por aquí los tiros?.

Un saludo
No man is an island (John Donne)

02 Julio, 2021, 12:14 pm
Respuesta #3

Marcos Castillo

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Hola, Rincón, lucerito

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La imagen de un objeto reflejado en un espejo plano parece estar a la misma distancia del plano del espejo que el objeto que está frente al mismo. Por tanto, un espejo corta en ángulo recto, y divide en dos partes iguales al segmento de recta que va desde cada punto del objeto al correspondiente punto en la imagen. Dada una recta \( L \) y un punto \( P \) que no pertenezca a la recta \( L \), se denomina al punto \( Q \) reflexión o imagen especular de \( P \) en la recta \( L \), si dicha recta \( L \) corta al segmento  \( PQ \) formando un ángulo recto y la divide en partes iguales. La reflexión en \( L \) de cualquier gráfica \( G \) es la gráfica formada por las reflexiones en \( L \) de todos los puntos de la gráfica de \( G \)

Por tanto la imagen especular de \( y=-(x-3)^2+1 \) respecto de \( y=x \) es \( x=-(y-3)^2+1 \). Respecto a la recta \( y=x+1 \), no tengo idea.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)