Autor Tema: ¿Teorema del Valor Medio o Teorema del Valor Intermedio?

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20 Junio, 2021, 08:13 am
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Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón

En un ejercicio de cálculo me he encontrado con una frase que creo que puedo sacar de contexto y citar

Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.

Cito también los dos teoremas

Citar

Teorema del Valor Medio

Sea una función \( F \) continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que

\( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

Teorema del Valor Intermedio

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \) y \( s \) es un número real comprendido entre los números \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \)


La función es \( v=6t^2-30t+24 \), correspondiente a la velocidad en función del tiempo de un punto \( P \) que se mueve por el eje \( x \).

La duda es sobre la cita primera: ¿Por qué el Teorema del Valor Medio implica signo constante en los intervalos entre los que que vale 0?¿Y por qué no el Teorema del Valor Intermedio?

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio afirma que una función continua en un intervalo \( [a,b] \) toma todos los valores comprendidos entre \( f(a) \) y \( f(b) \). Así que creo que así sí entiendo la cita; el Teorema del Valor Medio es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Y aquí dudo, pero tengo la sensación de que es igual de válido.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

20 Junio, 2021, 08:38 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

La duda es sobre la cita primera: ¿Por qué el Teorema del Valor Medio implica signo constante en los intervalos entre los que que vale 0?¿Y por qué no el Teorema del Valor Intermedio?

Simplemente será una errata: lo que usa ahí para justificar la afirmación es el Teorema del Valor Intermedio. De hecho no habla nada en su afirmación de la diferenciabilidad que sería esencial para aplicar el Teorema del Valor Medio.

Saludos.

20 Junio, 2021, 08:40 am
Respuesta #2

robinlambada

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Hola.
Hola, estimado Rincón

En un ejercicio de cálculo me he encontrado con una frase que creo que puedo sacar de contexto y citar

Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.

Cito también los dos teoremas

Citar

Teorema del Valor Medio

Sea una función \( F \) continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que

\( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

Teorema del Valor Intermedio

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \) y \( s \) es un número real comprendido entre los números \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \)


La función es \( v=6t^2-30t+24 \), correspondiente a la velocidad en función del tiempo de un punto \( P \) que se mueve por el eje \( x \).

La duda es sobre la cita primera: ¿Por qué el Teorema del Valor Medio implica signo constante en los intervalos entre los que que vale 0?¿Y por qué no el Teorema del Valor Intermedio?

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio afirma que una función continua en un intervalo \( [a,b] \) toma todos los valores comprendidos entre \( f(a) \) y \( f(b) \). Así que creo que así sí entiendo la cita; el Teorema del Valor Medio es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Y aquí dudo, pero tengo la sensación de que es igual de válido.

¡Un saludo!
Pues sinceramente no veo forma de concluir usando ninguno de los dos teoremas que el signo de la función es constante entre dos ceros, incluso pienso que de ellos no se puede concluir nada sobre el signo de la función.

El que si demuestra que el signo de la velocidad debe ser constante es el uso del teorema de Bolzano por reducción al absurdo.

Es decir si la función en el intervalo \( (a,b) \) cambiase de signo , entonces por el T. de Bolzano tendría un cero intermedio, absurdo.

El teorema del valor intermedio solo te asegura que la función en \( [a,b] \) toma todos los valores entre \( [0,0] \) , lo cual es obvio

pues \(  f(a)=f(b)=0 \).

Saludos.
P.D.:Se me adelanto Luis
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

20 Junio, 2021, 08:51 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Pues sinceramente no veo forma de concluir usando ninguno de los dos teoremas que el signo de la función es constante entre dos ceros, incluso pienso que de ellos no se puede concluir nada sobre el signo de la función.

El que si demuestra que el signo de la velocidad debe ser constante es el uso del teorema de Bolzano por reducción al absurdo.

Es decir si la función en el intervalo \( (a,b) \) cambiase de signo , entonces por el T. de Bolzano tendría un cero intermedio, absurdo.

El teorema del valor intermedio solo te asegura que la función en \( [a,b] \) toma todos los valores entre \( [0,0] \) , lo cual es obvio

pues \(  f(a)=f(b)=0 \).

Si entre dos ceros consecutivos (entendiendo, ojo, que hablamos de un intervalo \( [a,b] \), donde \( f(a)=f(b)=0 \) y no hay más ceros en medio), existiesen dos puntos \( c,d \) donde la función toma valores de signo diferente, entonces por el Teorema del Valor Intermedio existiría un punto \( x_0\in (c,d)\in (a,b) \) donde \( f(x_0)=0 \). Eso contradice que en \( a \) y \( b \) hay ceros consecutivos.

Saludos.

20 Junio, 2021, 09:00 am
Respuesta #4

robinlambada

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Hola

Pues sinceramente no veo forma de concluir usando ninguno de los dos teoremas que el signo de la función es constante entre dos ceros, incluso pienso que de ellos no se puede concluir nada sobre el signo de la función.

El que si demuestra que el signo de la velocidad debe ser constante es el uso del teorema de Bolzano por reducción al absurdo.

Es decir si la función en el intervalo \( (a,b) \) cambiase de signo , entonces por el T. de Bolzano tendría un cero intermedio, absurdo.

El teorema del valor intermedio solo te asegura que la función en \( [a,b] \) toma todos los valores entre \( [0,0] \) , lo cual es obvio

pues \(  f(a)=f(b)=0 \).

Si entre dos ceros consecutivos (entendiendo, ojo, que hablamos de un intervalo \( [a,b] \), donde \( f(a)=f(b)=0 \) y no hay más ceros en medio), existiesen dos puntos \( c,d \) donde la función toma valores de signo diferente, entonces por el Teorema del Valor Intermedio existiría un punto \( x_0\in (c,d)\in (a,b) \) donde \( f(x_0)=0 \). Eso contradice que en \( a \) y \( b \) hay ceros consecutivos.

Saludos.
Cierto, no lo había visto desde la perspectiva de la reducción al absurdo para valores intermedios, visto más detenidamente es natural, ya que el teorema de los valores intermedios se puede demostrar a partir del teorema de Bolzano de forma directa a la función \( h(x)=f(x)-s \) con \( f(a)<s<f(b) \).

Gracias por la puntualización.
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20 Junio, 2021, 04:53 pm
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Hola, creo que debo contextualizarlo para compartir la hipótesis con el Foro:

Hipótesis: es indiferente apelar al Teorema del Valor Medio que al del Valor Intermedio, en este caso

Cito el ejercicio:

Citar
Un punto \( P \) se mueve por el eje \( x \) de forma que su posición en el instante \( t \) se expresa como

\( x=2t^3-15t^2+24t\;\mbox{m} \)

(a) Calcule la velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \).
(b) ¿En qué dirección y con qué velocidad se mueve \( P \) en \( t=2\;\mbox{s}? \).
(c) ¿Cuándo está \( P \) en reposo instantáneo?¿Cuándo no cambia instantáneamente el módulo de su velocidad?.
(d) ¿Cuándo se mueve \( P \) a la izquierda? ¿Y a la derecha?.
(e) ¿Cuándo está \( P \) acelerando?¿Y desacelerando?.


(a) La velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \) son

\( v=\dfrac{dx}{dt}=6t^2-30t+24=6(t-1)(t-4)\;\mbox{m/s} \) y

\( a=\dfrac{dv}{dt}=12t-30=6(2t-5)\;\mbox{m/s}^2 \)

(b) En \( t=2 \) tenemos \( v=-12 \) y \( a=-6 \). Por lo tanto \( P \) se mueve hacia la izquierda con una velocidad de \( 12\;\mbox{m/s} \), y como la velocidad y la aceleración son negativas, el módulo de la velocidad aumenta.
(c) \( P \) está en reposo cuando \( v=0 \), es decir, cuando \( t=1\;\mbox{s} \) o \( t=4\;\mbox{s} \). Su velocidad no cambia cuando \( a=0 \), es decir, en \( t=5/2\;\mbox{s} \).
(d) La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0. Examinando los valores de \( v(t) \) en \( t=0 \), \( 2 \) y \( 5 \) (o analizando los signos de los factores \( (t-1) \) y \( (t-4) \) en la expresión de \( v(t) \), se concluye que \( v(t)<0 \) (y \( P \) se mueve a la izquierda) en el intervalo \( (1,4) \) y \( v(t)>0 \) (y \( P \) se mueve a la derecha) en los intervalos \( (-\infty,1) \) y \( (4,\infty) \).
(e) La aceleración \( a \) es negativa para \( t<5/2 \) y positiva para \( t>5/2 \). La tabla 3 combina esta información con la información de \( v \) para demostrar cuándo \( P \) está acelerando y decelerando.


¿Ahora sí tiene sentido el Teorema del Valor Medio?.

Un saludo
No man is an island (John Donne)

20 Junio, 2021, 07:32 pm
Respuesta #6

robinlambada

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Hola, creo que debo contextualizarlo para compartir la hipótesis con el Foro:

Hipótesis: es indiferente apelar al Teorema del Valor Medio que al del Valor Intermedio, en este caso
No , no hay que apelar al Teoréma del Valor medio
Citar
Citar
(a) La velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \) son

\( v=\dfrac{dx}{dt}=6t^2-30t+24=6(t-1)(t-4)\;\mbox{m/s} \) y

\( a=\dfrac{dv}{dt}=12t-30=6(2t-5)\;\mbox{m/s}^2 \)

(b) En \( t=2 \) tenemos \( v=-12 \) y \( a=-6 \). Por lo tanto \( P \) se mueve hacia la izquierda con una velocidad de \( 12\;\mbox{m/s} \), y como la velocidad y la aceleración son negativas, el módulo de la velocidad aumenta.
(c) \( P \) está en reposo cuando \( v=0 \), es decir, cuando \( t=1\;\mbox{s} \) o \( t=4\;\mbox{s} \). Su velocidad no cambia cuando \( a=0 \), es decir, en \( t=5/2\;\mbox{s} \).
(d) La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0. Examinando los valores de \( v(t) \) en \( t=0 \), \( 2 \) y \( 5 \) (o analizando los signos de los factores \( (t-1) \) y \( (t-4) \) en la expresión de \( v(t) \), se concluye que \( v(t)<0 \) (y \( P \) se mueve a la izquierda) en el intervalo \( (1,4) \) y \( v(t)>0 \) (y \( P \) se mueve a la derecha) en los intervalos \( (-\infty,1) \) y \( (4,\infty) \).
(e) La aceleración \( a \) es negativa para \( t<5/2 \) y positiva para \( t>5/2 \). La tabla 3 combina esta información con la información de \( v \) para demostrar cuándo \( P \) está acelerando y decelerando.


¿Ahora sí tiene sentido el Teorema del Valor Medio?.

Un saludo
Pues tampoco, en la frase:
Hola, creo que debo contextualizarlo para compartir la hipótesis con el Foro:

Hipótesis: es indiferente apelar al Teorema del Valor Medio que al del Valor Intermedio, en este caso

Cito el ejercicio:

Citar
Un punto \( P \) se mueve por el eje \( x \) de forma que su posición en el instante \( t \) se expresa como

\( x=2t^3-15t^2+24t\;\mbox{m} \)

(a) Calcule la velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \).
(b) ¿En qué dirección y con qué velocidad se mueve \( P \) en \( t=2\;\mbox{s}? \).
(c) ¿Cuándo está \( P \) en reposo instantáneo?¿Cuándo no cambia instantáneamente el módulo de su velocidad?.
(d) ¿Cuándo se mueve \( P \) a la izquierda? ¿Y a la derecha?.
......

(a) La velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \) son

\( v=\dfrac{dx}{dt}=6t^2-30t+24=6(t-1)(t-4)\;\mbox{m/s} \) y

\( a=\dfrac{dv}{dt}=12t-30=6(2t-5)\;\mbox{m/s}^2 \)
.....
(d) La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.
Es el teorema del Valor Intermedio el que te da la justificación de forma directa, lo único que ocurre es que si la función cumple las condiciones del Teorema del valor medio, debe ser continua y te garantiza que se pueda aplicar el del valor Intermedio.

El razonamiento te la expuesto Luis además de indicarte que debe ser una errata, no le des más vueltas.

Si entre dos ceros consecutivos (entendiendo, ojo, que hablamos de un intervalo \( [a,b] \), donde \( f(a)=f(b)=0 \) y no hay más ceros en medio), existiesen dos puntos \( c,d \) donde la función toma valores de signo diferente, entonces por el Teorema del Valor Intermedio existiría un punto \( x_0\in (c,d)\in (a,b) \) donde \( f(x_0)=0 \). Eso contradice que en \( a \) y \( b \) hay ceros consecutivos.

Saludos.
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20 Junio, 2021, 08:03 pm
Respuesta #7

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias! En el libro llaman Teorema del Valor Medio tanto a éste como al Teorema del Valor Intermedio.

Un saludo
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20 Junio, 2021, 10:12 pm
Respuesta #8

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...



Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.



Después que te han dado la explicación matemática, te doy un interpretación física de la frase,

La velocidad tanto como la posición , no pueden ser funciones  a saltos, no existe aún "teletransportación" de un sitio a otro, ni tampoco fuerzas infinitamente grandes para que la cantidad de movimiento salte  de un valor a otro sin pasar por todos los valores intermedios... es decir la velocidad es continua.

Es decir todo cambio en la velocidad proviene de una aceleración y esta está justificada por algún tipo de interacción (fuerza) que se sostiene durante alguna cantidad de tiempo finita, la fuerza aplicada no puede ser infinita, ni el intervalo de tiempo en que se la aplica nulo.

la variación de velocidad para una masa m constante

\( \displaystyle \Delta v=v(t)-v_0=\dfrac{\Delta P}{m}=\dfrac{I}{m}=\dfrac{\int F dt}{m} \) donde I es el impulso que tampoco puede ser infinito.

la única forma para que la velocidad entre dos instantes de tiempo consecutivos tenga un salto es si la fuerza es infinita , y no hay ningún indicio para pensar que en el universo exista alguna forma de interacción que pueda ejercer semejante cosa.

Así sin más, la velocidad no puede cambiar de signo sin pasar por el cero en velocidad al menos durante un breve instante...(que se puede extraer de corolarios de los teoremas que presentas) y dicho de otro modo si su signo cambia es porque ha pasado por el cero de velocidad.

\( Sgn(v)=\dfrac{v}{|v|} \)

como \( a=\dfrac{\partial v}{\partial t} \) es finita  la función \( v(t) \) no puede ser a saltos, y el signo no puede cambiar sino sucede antes \( v=0 \) para algún instante \( t \), 

Para los matemáticos... creo que se demuestra que no hay cota para los \( \epsilon\to 0 \) por encima o por debajo del cero si la derivada \( a \) es finita... pero ya no lo recuerdo como se hace tal demostración. o quizá como ya dijeron ni siquiera son necesarios esos teoremas para explicar ese porqué.









Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

20 Junio, 2021, 10:32 pm
Respuesta #9

mathtruco

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  • El gran profesor inspira
(...)
La velocidad tanto como la posición , no pueden ser funciones  a saltos, no existe aún "teletransportación" de un sitio a otro, ni tampoco fuerzas infinitamente grandes para que la cantidad de movimiento salte  de un valor a otro sin pasar por todos los valores intermedios... es decir la velocidad es continua.
(...)

En los modelos la velocidad sí puede ser discontinua. Un ejemplo clásico es "la cavidad":



Podemos entenderlo como un río que se mueve a velocidad constante (1,0) (estamos en 2D), y en su lecho hay una cavidad (un hoyo) cuadrado, que es lo que muestro en la figura. Si sólo vemos el problema de la cavidad (el cuadrado de la figura), las condiciones de borde son: en la tapa superior una velocidad \( (1,0) \) y en las otras 3 caras una velocidad de \( (0,0) \). Por tanto, en las dos esquinas superiores hay una discontinuidad.

Aunque en el ejemplo que inicia este hilo la velocidad es dada por una función continua, sólo querían mencionar que no es así en cualquier modelo.