[Dark]

Sea $$x_n\subseteq{\mathbb{R}}$$, $$x_1=1$$ y $$x_{n+1}=\displaystyle\frac{2+x_n}{1+x_n}$$, mostrar que $$\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{x_n}=\sqrt[ ]{2}$$.

Primero quiero probar que este acotada. Entonces por inducción quiero probar que $$x_n^2<2$$, con $$n=1$$ es trivial.

Suponiendo que se cumple para $$n$$.

$$x_{n+1}^2=\displaystyle\frac{4+4x_n+x_n^2}{1+2x_n+x_n^2}=2\cdot{\displaystyle\frac{4+4x_n+x_n^2}{2+4x_n+2x_n^2}}$$  Pero tengo la sensación que $$4+4x_n+x_n^2>2+4x_n+2x_n^2$$ y así no se cumpliría.

Solo quiero aclarar esta parte del ejercicio para poder continuar.

[mathtruco]

Hola Dark. En la última inecuación tienes razón. Las grafiqué, y a partir de cierto punto \( 4+4x_n+x_n^2>2+4x_n+2x_n^2 \).

Para probar que la sucesión es acotada podemos hacer lo siguiente:

    \( x_{n+1}=\dfrac{2+x_n}{1+x_n}=\dfrac{1+1+x_n}{1+x_n}=1+\dfrac{1}{1+x_n} \).

Como \( x_1=1 \) podemos probar que \( x_n\geq 1 \).

Por otro lado,

    \( 1\leq x_n\Rightarrow 2\leq 1+x_n\Rightarrow \dfrac{1}{x_n+1}\leq \dfrac{1}{2} \)

de donde

    \( 1\leq x_{n+1}=1+\dfrac{1}{1+x_n}\leq 1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \).

[Dark]

Cómo puedo graficar esta sucesión para mirar su comportamiento?, porque al parecer no es estrictamente monotona y esa era mi idea para mostrar que era convergente. 

[Fernando Revilla]

Cómo puedo graficar esta sucesión para mirar su comportamiento?, porque al parecer no es estrictamente monotona y esa era mi idea para mostrar que era convergente.

Mira https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=9181.msg37947#msg37947.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea $$x_n\subseteq{\mathbb{R}}$$, $$x_1=1$$ y $$x_{n+1}=\displaystyle\frac{2+x_n}{1+x_n}$$, mostrar que $$\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{x_n}=\sqrt[ ]{2}$$.

Primero quiero probar que este acotada. Entonces por inducción quiero probar que $$x_n^2<2$$, con $$n=1$$ es trivial.

Suponiendo que se cumple para $$n$$.

$$x_{n+1}^2=\displaystyle\frac{4+4x_n+x_n^2}{1+2x_n+x_n^2}=2\cdot{\displaystyle\frac{4+4x_n+x_n^2}{2+4x_n+2x_n^2}}$$  Pero tengo la sensación que $$4+4x_n+x_n^2>2+4x_n+2x_n^2$$ y así no se cumpliría.

Solo quiero aclarar esta parte del ejercicio para poder continuar.

Puedes ver la convergencia demostrando que es contractiva. Es inmediato que cada \( x_n\geq 1 \) y:

\( |x_{n+1}-x_n|=\left|\dfrac{2+x_{n}}{1+x_n}-\dfrac{2+x_{n-1}}{1+x_{n-1}}\right|=\dfrac{|x_n-x_{n-1}|}{|1+x_n||1+x_{n-1}|}\leq \dfrac{1}{4}|x_n-x_{n-1}| \)

Por otra parte también se pueden representar en Geogebra, con algo así:

Poligonal(Secuencia((n,Iteración((2+x)/(1+x),1,n)),n,1,20))


Saludos.