Autor Tema: Primitivas e intervalos

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14 Junio, 2021, 01:22 pm
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Marcos Castillo

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Hola, tengo un texto y dos dudas. Primero cito:


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PRIMITIVAS

Comenzaremos por definir la primitiva de una función \( f \) como una función \( F \) cuya derivada es \( f \). Es apropiado requerir que \( F'(x)=f(x) \) en un intervalo.

DEFINICIÓN 7

La primitiva de una función \( f \) en un intervalo \( I \) es otra función \( F \) que cumple
\( F'(x)=f(x) \) para \( x \) en \( I \)

Las primitivas no son únicas. De hecho si \( C \) es una constante, entonces \( F(x)=x+C \) es una primitiva de \( f(x)=1 \) en cualquier intervalo. Siempre se puede añadir una constante a la primitiva \( F \) de una función \( f \) en un intervalo y obtener otra derivada de \( f \). Lo que es más importante, todas las primitivas de \( f \) en un intervalo se pueden obtener sumando constantes a una primitiva concreta. Si \( F \) y \( G \) son primitivas de \( f \) en un determinado intervalo \( I \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}(G(x)-F(x))=f(x)-f(x)=0 \)

en dicho intervalo \( I \), de forma que \( G(x)-F(x)=C \) (una constante) en \( I \) por el Teorema 13 de la sección 2.6.

Spoiler
TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior de \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos. Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \)
[cerrar]

Por tanto, \( G(x)=F(x)+C \) en \( I \).

Nótese que ni esta conclusión ni el Teorema 13 son válidos en un conjunto que no sea un intervalo. Por ejemplo la derivada de

\( \mbox{sgn}\;x=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Es 0 para todo \( x\neq 0 \), pero \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio.

Es el razonamiento de por qué debe ser un intervalo:

\( \mbox{sgn}\;x=\dfrac{d|x|}{dx}=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Citar
Es 0 para todo \( x\neq 0 \)

Aquí está la clave de mi duda: si es 0 para todo \( x\neq 0 \), ya no es un intervalo. El razonamiento queda: "No debe ser un intervalo, porque no es un intervalo, pero  \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio."

Vamos, que algo se me escapa, y no sé qué.

Un saludo
No man is an island (John Donne)

14 Junio, 2021, 01:39 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 No acabo de entender bien tu duda.

 El Teorema 13 dice:

TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior de \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos. Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \)

 Y la observación es que si \( I \) NO es un intervalo (no es conexo de hecho) el Teorema puede fallar. Y te da un ejemplo. Si consideras la función:

\( f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x>0\\-1 & \text{si}& x<0\end{cases} \)

 definida en \( I=(-\infty,0)\cup (0,+\infty) \), cumple que su derivada es nula en todo punto interior de \( I \), pero la función no es constante en \( I \).

Saludos.

14 Junio, 2021, 04:12 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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Y la observación es que si \( I \) NO es un intervalo (no es conexo de hecho) el Teorema puede fallar. Y te da un ejemplo. Si consideras la función:

\( f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x>0\\-1 & \text{si}& x<0\end{cases} \)

 definida en \( I=(-\infty,0)\cup (0,+\infty) \), cumple que su derivada es nula en todo punto interior de \( I \), pero la función no es constante en \( I \).


¡Así sí lo entiendo! El problema es, a mi parecer, que sí es un intervalo, pero no es conexo.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

14 Junio, 2021, 04:23 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

¡Así sí lo entiendo! El problema es, a mi parecer, que sí es un intervalo, pero no es conexo.

No, no es un intervalo. Son DOS intervalos. Un intervalo \( I\subset \Bbb R \) es una conjunto que cumple la siguiente propiedad:

- si \( a<b<c  \) y \( a,b\in I \) entonces \( c\in I \).

\( I=(-\infty,0)\cup (0,+\infty) \) no cumple esa propiedad.

Los posibles intervalos (con la notación usual) son de la forma \( (a,b),[a,b),(a,b] \) y \( [a,b] \), donde permitimos en los extremos abiertos que \( a \) y \( b \) puedan tomar valor menos o más infinito respectivamente.

De todas formas esto es cuestión de nombre, de "a que cosa" llamamos intervalo. El principio lo importante es la idea, no el nombre. Lo que pasa es que en este caso el nombre de intervalo se utiliza tanto que si no sabes bien lo que es te acabarás liando al leer literatura al respecto.

Saludos.

15 Junio, 2021, 10:00 am
Respuesta #4

Marcos Castillo

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Hola

¡Así sí lo entiendo! El problema es, a mi parecer, que sí es un intervalo, pero no es conexo.

No, no es un intervalo. Son DOS intervalos.


Perfecto


De todas formas esto es cuestión de nombre, de "a que cosa" llamamos intervalo. El principio lo importante es la idea, no el nombre. Lo que pasa es que en este caso el nombre de intervalo se utiliza tanto que si no sabes bien lo que es te acabarás liando al leer literatura al respecto.

Saludos.

el_manco, gracias

¡Un saludo!
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