Autor Tema: Diferenciación implícita

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04 Junio, 2021, 10:58 am
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Marcos Castillo

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Hola, RM

Aquí estoy de nuevo. Es un ejercicio concreto ya solucionado. Lo cito:

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Diferenciación implícita

(...)

Las curvas son generalmente ecuaciones en dos variables. Estas ecuaciones se pueden expresar en la forma

\( F(x,y)=0 \)

Ejemplo 1

Calcule \( dy/dx \) si \( y^2=x \)

Solución: La ecuación no es una función, pero podemos enfocarla como dos funciones diferenciables de \( x \): \( y_1=\sqrt{x} \) e \( y_2=-\sqrt{x} \):

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) y \( \dfrac{dy_2}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Sin embargo, es posible obtener la pendiente de la curva \( y^2=x \) en cualquier punto \( (x,y) \) que cumpla la ecuación sin despejar previamente \( y \). Para calcular \( dy/dx \) simplemente se diferencian con respecto a \( x \) los dos miembros de la ecuación \( y^2=x \) tratando \( y \) como una función diferenciable de \( x \) y utilizando la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \):

\( \dfrac{d}{dx}(y^2)=\dfrac{d}{dx}(x) \)\( \left ({\mbox{La Regla de la Cadena da}}\dfrac{d}{dx}y^2=2y\dfrac{dy}{dx}\right ) \)

\( 2y\dfrac{dy}{dx}=1 \)

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2y} \)

Obsérvese que esto coincide con las derivadas calculadas anteriormente para ambas soluciones explícitas

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2y_1}=\dfrac{1}{2\sqrt x} \)    y    \( \dfrac{dy_2}{dx}=\dfrac{dy}{2y_2}=\dfrac{1}{2(-\sqrt x)}=-\dfrac{1}{2\sqrt x} \)
"

Duda: La regla de la cadena dice: \( (f\circ{g})'=(f'\circ{g})\cdot g' \)

Es decir, \( f\circ g=y^2 \), osea, \( f(g(x))=y^2 \). ¿Cuál es \( f \) y cuál \( g \) en este caso?

¿Cómo puedo hallar la pendiente de \( y^2-x=0 \) en base a la derivada implícita en un punto de la ecuación?. Por ejemplo, en \( Q=(2,-\sqrt 2) \)

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

04 Junio, 2021, 12:55 pm
Respuesta #1

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Duda: La regla de la cadena dice: \( (f\circ{g})'=(f'\circ{g})\cdot g' \)

Es decir, \( f\circ g=y^2 \), osea, \( f(g(x))=y^2 \). ¿Cuál es \( f \) y cuál \( g \) en este caso?

En este caso puedes tomar \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \).

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¿Cómo puedo hallar la pendiente de \( y^2-x=0 \) en base a la derivada implícita en un punto de la ecuación?. Por ejemplo, en \( Q=(2,-\sqrt 2) \)

¡Un saludo!

Tienes la curva dada por \( C:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y^2=x\}=\{(y^2,y)\in \mathbb{R}^2: y\in \mathbb{R}\} \), lo cual implica que \( C \) puede ser parametrizada por la función \( g(t):=(t^2,t) \), y por tanto la derivada de \( C \) en \( t_0 \) es \( g'(t_0)=(2 t_0,1) \), lo que significa que \( h(t):=g(t_0)+g'(t_0)\cdot t \) es la recta tangente a la curva en el punto \( g(t_0) \).

Para el punto \( P:=(2,-\sqrt{2}) \) entonces usando la parametrización anterior tendrías que la recta tangente a \( P \) vendría dada por \( h(t)=P+g'(-\sqrt{2})t \), entonces la "pendiente" de esa recta sería el vector \( g'(-\sqrt{2})=(-2\sqrt{2},1) \).

¡Pero ojo! Ocurre que la pendiente que hallemos en un punto dado de una curva depende de la parametrización utilizada, por ejemplo si utilizamos la parametrización \( g_c(t)=(c^2 t^2,ct) \), para un \( c\neq 0 \), tendríamos que \( g_c'(t)=(2c^2t,c) \) y tendríamos que \( P=g_c(-\sqrt{2}/c) \), por tanto la pendiente en \( P \) vendría dada por \( g_c'(-\sqrt{2}/c)=(-2c\sqrt{2},c) \), la cual es distinta para cada valor de \( c \). Generalmente nos quedamos con la pendiente que tiene norma uno y un determinado sentido, pero eso forma parte de un curso de geometría diferencial y te vas a complicar la vida. Quédate con que la "pendiente" de la recta tangente a una curva en el plano no es única, dependiendo de su parametrización puede tener diferente norma y sentido, aunque su dirección siempre es la misma.

Corrección: cambiada redacción y he añadido algún detalle menor más.

04 Junio, 2021, 07:04 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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En este caso puedes tomar \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \).


En base a  \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \), ¿como llego a \( f(g(x))=y^2 \)?


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¿Cómo puedo hallar la pendiente de \( y^2-x=0 \) en base a la derivada implícita en un punto de la ecuación?. Por ejemplo, en \( Q=(2,-\sqrt 2) \)



Tienes la curva dada por \( C:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y^2=x\}=\{(y^2,y)\in \mathbb{R}^2: y\in \mathbb{R}\} \), lo cual implica que \( C \) puede ser parametrizada por la función \( g(t):=(t^2,t) \), y por tanto la derivada de \( C \) en \( t_0 \) es \( g'(t_0)=(2 t_0,1) \), lo que significa que \( h(t):=g(t_0)+g'(t_0)\cdot t \) es la recta tangente a la curva en el punto \( g(t_0) \).

Para el punto \( P:=(2,-\sqrt{2}) \) entonces usando la parametrización anterior tendrías que la recta tangente a \( P \) vendría dada por \( h(t)=P+g'(-\sqrt{2})t \), entonces la "pendiente" de esa recta sería el vector \( g'(-\sqrt{2})=(-2\sqrt{2},1) \).

¡Pero ojo! Ocurre que la pendiente que hallemos en un punto dado de una curva depende de la parametrización utilizada, por ejemplo si utilizamos la parametrización \( g_c(t)=(c^2 t^2,ct) \), para un \( c\neq 0 \), tendríamos que \( g_c'(t)=(2c^2t,c) \) y tendríamos que \( P=g_c(-\sqrt{2}/c) \), por tanto la pendiente en \( P \) vendría dada por \( g_c'(-\sqrt{2}/c)=(-2c\sqrt{2},c) \), la cual es distinta para cada valor de \( c \). Generalmente nos quedamos con la pendiente que tiene norma uno y un determinado sentido, pero eso forma parte de un curso de geometría diferencial y te vas a complicar la vida. Quédate con que la "pendiente" de la recta tangente a una curva en el plano no es única, dependiendo de su parametrización puede tener diferente norma y sentido, aunque su dirección siempre es la misma.



Entendido, creo. Pero tengo un dibujo




¿Qué parametrización es esta?
No man is an island (John Donne)

04 Junio, 2021, 07:40 pm
Respuesta #3

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En base a  \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \), ¿como llego a \( f(g(x))=y^2 \)?

Con las funciones dadas tienes que \( f(g({\color{red}{x}}))=(y(x))^2 \), que es lo que se denota al escribir \( f(g(x))=y^2 \) ya que se entiende en este contexto que \( y \) está en función de \( x \).

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Entendido, creo. Pero tengo un dibujo




¿Qué parametrización es esta?

Ahí han dividido la curva en dos ramas, la parte superior y la inferior , así la curva puede representarse como la unión de la gráfica de dos funciones, una función dada por \( y_1:[0,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto \sqrt{x} \) y otra como \( y_2:(0,\infty )\to \mathbb{R},\, x\mapsto -\sqrt{x} \). Vistas como funciones cada una de esas curvas tiene una recta tangente en cada punto con pendiente dada por \( y_1'(x)=\frac1{2\sqrt{x}} \) o \( y_2'(x)=-\frac1{2\sqrt{x}} \). Sin embargo ninguna de esas funciones son parametrizaciones, ya que una parametrización de una curva en el plano es una función \( f:I\to \mathbb{R}^2 \) para algún intervalo \( I\subset \mathbb{R} \).

Es decir: una curva siempre puede parametrizarse y, algunas veces (pero no siempre) se puede representar como la gráfica de una función (o la unión de varias gráficas de varias funciones, como en este caso). En este caso además de parametrizarse la curva \( C:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y^2=x\} \) puede representarse como la unión de la gráfica de las funciones \( y_1 \) e \( y_2 \) antes mencionadas, donde la gráfica de una función real \( f \) se define como la colección de puntos \( \{(x,f(x))\in \mathbb{R}^2: x\in \operatorname{dom}(f)\} \).

Para la respuesta anterior he entendido el caso general, es decir, he usado una parametrización para representar la curva. Como funciones la pendiente a cada punto de su gráfica es única y viene dada por la derivada de la función en ese punto.

Corrección.

05 Junio, 2021, 10:59 am
Respuesta #4

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Voy a trabajar un poco. Me falta base sobre parametrizaciones de cónicas. Un saludo.
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10 Junio, 2021, 09:15 pm
Respuesta #5

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Hola, he tardado. He estado estudiando un poco: geometría del plano, cónicas, y derivación de la función compuesta. Y me han quitado una hernia inguinal :P

En base a  \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \), ¿como llego a \( f(g(x))=y^2 \)?

Con las funciones dadas tienes que \( f(g(t))=(y(x))^2 \), que es lo que se denota al escribir \( f(g(x))=y^2 \) ya que se entiende en este contexto que \( y \) está en función de \( x \).



Me lío con la notación: ¿por qué la \( t \)?; creo que ya sé: porque \( g(x)=y(x) \). ¿Por qué la regla de la cadena?

¡Un saludo!
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10 Junio, 2021, 10:15 pm
Respuesta #6

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Hola, he tardado. He estado estudiando un poco: geometría del plano, cónicas, y derivación de la función compuesta. Y me han quitado una hernia inguinal :P

Vaya, espero que te recuperes bien y estés mejor.

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En base a  \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \), ¿como llego a \( f(g(x))=y^2 \)?

Con las funciones dadas tienes que \( f(g(t))=(y(x))^2 \), que es lo que se denota al escribir \( f(g(x))=y^2 \) ya que se entiende en este contexto que \( y \) está en función de \( x \).



Me lío con la notación: ¿por qué la \( t \)?; creo que ya sé: porque \( g(x)=y(x) \). ¿Por qué la regla de la cadena?

¡Un saludo!

Ha sido un lapsus, quería escribir \( f(g(x))=(y(x))^2 \) en vez de \( f(g(t))=(y(x))^2 \). Ahora corrijo el mensaje anterior.

12 Junio, 2021, 09:41 am
Respuesta #7

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Hola, RM

¿Por qué la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \)?¿En qué consiste la Regla de la Cadena en este caso, en la notación de Leibniz? He estado viendo tutoriales en internet, y me he liado un poco.

¡Un saludo!
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12 Junio, 2021, 11:13 am
Respuesta #8

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Hola, RM

¿Por qué la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \)?¿En qué consiste la Regla de la Cadena en este caso, en la notación de Leibniz? He estado viendo tutoriales en internet, y me he liado un poco.

¡Un saludo!

Para diferenciar una función se puede usar cualquier notación, siempre que sea entendible. Yo la notación de Leibniz no la utilizo nunca para diferenciar, sólo para representar algunos tipos de vectores en geometría diferencial.

No creo que pueda exponerte cómo usar la notación de Leibniz, y su relación con la regla de la cadena, de manera más clara y sucinta de como lo hacen aquí:

https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_la_cadena

12 Junio, 2021, 04:07 pm
Respuesta #9

Marcos Castillo

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¡Hola, Masacroso!

Voy a abrir un hilo en Physics Forums, Calculus and Beyond Homework Forum, con el título "Implicit differentiation: why apply the Chain Rule"

Es que todavía me intriga por qué \( y^2 \) se deriva como si fuera una composición de funciones. Mejor dicho, sé que debe derivarse con la Regla de la Cadena, pero soy incapaz de ver \( y^2 \) como una composición, y no como una expresión cuadrática. :banghead:

¡Un saludo!
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