[0_kool]

Hola

¿Me podrían indicar como calcular este limite sin l'Hôpital?

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\dfrac{x}{2}}}\right ) \)

Gracias de antemano

[Luis Fuentes]

Hola

¿Me podrían indicar como calcular este limite sin l'Hôpital?

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}}{1-\sqrt{1-\dfrac{x}{2}}}\right ) \)

Multiplica y divide numerador y denominador por:

\( 1+\sqrt{1-\dfrac{x}{2}} \)

Luego tu problema se reduce a calcular:

\( 4\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}}{x}\right ) \)

Pero:

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}}{x}\right )=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-1-\left(\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}-1\right)}{x}\right ) \)

Calcula por separado:

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-1}{x}\right ) \) (*)

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}-1}{x}\right ) \) (**)

Para el primero multiplica numerador y denominador por \( f(x)^2+f(x)+1 \) siendo \(  f(x)=\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}} \) quedará:

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-1}{x}\right )=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x/3}{x(f(x)^2+f(x)+1)}=\dfrac{1}{9} \) 

Para el segundo multiplica numerador y denominador por \( g(x)^3+g(x)^2+g(x)+1 \) siendo \(  g(x)=\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}} \) quedará:

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}-1}{x}\right )=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x/4}{x(g(x)^3+g(x)^2+g(x)+1)}=\dfrac{1}{16} \)

En definitiva el límite buscado queda:

\( 4\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}\right)=\dfrac{7}{36} \).

Saludos.

P.D. Se podría atajar notando que (*) y (**) son por definición las derivadas de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) en \( x=0 \). Lo que pasa es que a alguien le podría parecer que eso es usar un método tipo L'Hopital...

[Fernando Revilla]

 Se puede también usar la fórmula de Maclaurin

        \( \begin{aligned}(1+x)^p&=\binom{p}{0}+\binom{p}{1}x+\binom{p}{2}x^2\cdots +\binom{p}{n}x^n+o(x^{n})\quad (p\in\mathbb{R}).\end{aligned} \)

Por ejemplo,

        \[ \sqrt[ 3]{1+\frac{x}{3}}=\binom{1/3}{0}+\binom{1/3}{1}\frac{x}{3}+\binom{1/3}{2}\frac{x^2}{9}+o(x^2)=1+\frac{1}{3}\cdot \frac{x}{3}+\frac{1/3(1/3-1)}{2!}\cdot \frac{x^2}{9}+o(x^2) \]

... etc.

[0_kool]

Multiplica y divide numerador y denominador por:

\( 1+\sqrt{1-\dfrac{x}{2}} \)

Luego tu problema se reduce a calcular:

\( 4\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\left (  \dfrac{\sqrt[3]{1+\dfrac{x}{3}}-\sqrt[4]{1+\dfrac{x}{4}}}{x}\right ) \)

Hola Luis , entiendo todo lo que realizaste ,salvo un punto
¿ese 4 sale de un \( x/2 \) en el denominador y de \( 1+\sqrt{1-\dfrac{x}{2}} \) en el numerador que por lo que veo calculaste por separado porque  no influía en el calculo general del limite.?

[0_kool]

Se puede también usar la fórmula de Maclaurin

        \( \begin{aligned}(1+x)^p&=\binom{p}{0}+\binom{p}{1}x+\binom{p}{2}x^2\cdots +\binom{p}{n}x^n+o(x^{n})\quad (p\in\mathbb{R}).\end{aligned} \)

Por ejemplo,

        \[ \sqrt[ 3]{1+\frac{x}{3}}=\binom{1/3}{0}+\binom{1/3}{1}\frac{x}{3}+\binom{1/3}{2}\frac{x^2}{9}+o(x^2)=1+\frac{1}{3}\cdot \frac{x}{3}+\frac{1/3(1/3-1)}{2!}\cdot \frac{x^2}{9}+o(x^2) \]

... etc.

Pensé en esta opción como ultimo recurso, pero el limite salia tal cual aparece arriba con la indicación de no aplicar l'Hôpital.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis , entiendo todo lo que realizaste ,salvo un punto
¿ese 4 sale de un \( x/2 \) en el denominador y de \( 1+\sqrt{1-\dfrac{x}{2}} \) en el numerador que por lo que veo calculaste por separado porque  no influía en el calculo general del limite.?

Ese \( 4 \) sale de que en el denominador queda:

\( \left(1+\sqrt{1-\dfrac{x}{2}}\right)\left(1-\sqrt{1-\dfrac{x}{2}}\right)=\dfrac{x}{\color{blue}2\color{black}} \)

y en el numerador:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\left(1+\sqrt{1-\dfrac{x}{2}}\right)=\color{blue}2\color{black} \)

Saludos.

[0_kool]

Muchas gracias por  tu ayuda