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Mensajes - Marcos Castillo

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¡Hola!


Tenemos que si \( x > 1 \) tenemos que \( \ln(x) = A_x \) que es el área bajo la gráfica \( \dfrac{1}{t} \) desde uno hasta x.
Si \(  0 < x < 1 \) tenemos el área debajo de la gráfica \( \dfrac{1}{t}  \) desde uno hasta \( x \) que es  \( -A_x \) es negativa por que te dirijes hacia la izquierda, del uno al \( x \) esto lo verás mejor cuando des integrales de Riemmann.


Perfecto. Muy buena pista sobre lo que voy a encontrar.



Un ejemplo más sencillo.
Sea la función \( f(x) = 1 \) para todo \( x \in \mathbb{R}  \).
Sea \( g \) definida por \( f(x) \cdot (x-1) \) tenemos que \( g(1)=0 \) si \( x > 1 \) entences \( g(x) \) es el área que hay debajo de \( f(x) \) desde uno hasta \( x \).


¿No sería \( \dfrac{g(x)}{2} \)?


Si \(  0 < x < 1 \) tenemos que \( g(x) = f(x) \cdot (x-1) = -f(x) \cdot (1-x) \) que es menos el área que hay debajo de \( f(x) \) desde \( x \) hasta uno.


Creo que veo por dónde van los tiros. Voy a estudiarlo un poco, pero creo que me has sacado de una buena. Lo voy a estudiar.

Un saludo


[/quote]

¿El área de \( g(x) \) para \( x>1 \) no sería \( \dfrac{x-1}{2} \)

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Hola, Rincón, lucerito

Citar
La imagen de un objeto reflejado en un espejo plano parece estar a la misma distancia del plano del espejo que el objeto que está frente al mismo. Por tanto, un espejo corta en ángulo recto, y divide en dos partes iguales al segmento de recta que va desde cada punto del objeto al correspondiente punto en la imagen. Dada una recta \( L \) y un punto \( P \) que no pertenezca a la recta \( L \), se denomina al punto \( Q \) reflexión o imagen especular de \( P \) en la recta \( L \), si dicha recta \( L \) corta al segmento  \( PQ \) formando un ángulo recto y la divide en partes iguales. La reflexión en \( L \) de cualquier gráfica \( G \) es la gráfica formada por las reflexiones en \( L \) de todos los puntos de la gráfica de \( G \)

Por tanto la imagen especular de \( y=-(x-3)^2+1 \) respecto de \( y=x \) es \( x=-(y-3)^2+1 \). Respecto a la recta \( y=x+1 \), no tengo idea.

¡Un saludo!

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Pero te definen el logaritmo como:
\( \mbox{ln(x)}:\;\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases}  \)
Que es el área debajo de la curva \( \dfrac{1}{t} \) desde uno hasta \( x \).
Si \( x > 0 \) la gráfica está por encima del eje x y si \( 0 < x < 1 \) la gráfica está por debajo del eje x y el área será negativa.


Entonces \( \mbox{ln}\;(x+h) \), al ser ambos positivos (\( x \) y \( h \)), tiene signo positivo; pero, ¿por qué \( \mbox{ln}\;(x+h-h) \) tiene signo negativo?

Un saludo


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¡Hola, Juan Pablo Sancho!

Voy a trabajar tu respuesta. Mañana respondo.

Un saludo

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Dudas y sugerencias del foro / Re: Cerrar cuenta
« en: 02 Julio, 2021, 12:47 am »
Copiloto, no te cierres puertas. :'( Rincón siempre estará cuando quieras. :)

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Hola, RM

Tengo la siguiente definición de logaritmo natural, y una duda. Cito primero:

Citar
DEFINICIÓN 6 Logaritmo natural

Para \( x>0 \), sea el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( \mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln}=\;x\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)

y se muestra en la Figura 3.9.




La definición implica que \( \mbox{ln}\;1=0 \), que \( \mbox{ln}\;x>0 \) si \( x>1 \), que \( \mbox{ln}\;x<0 \) si \( 0<x<1 \) y que es una función uno a uno. Ahora demostraremos que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \). La demostración de este resultado es similar a la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo que proporcionaremos en la sección 5.5

TEOREMA 1 Si \( x>0 \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\dfrac{1}{x} \)

DEMOSTRACIÓN Para \( x>0 \) y \( h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región plana limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \). Corresponde al área sombreada en la Figura 3.10. Comparando esta área con la de los dos rectángulos se puede ver que

\( \dfrac{h}{x+h}<\mbox{area sombreada}=\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x<\dfrac{h}{x} \)

Por tanto, el cociente de Newton de \( \mbox{ln}\;x \) cumple

\( \dfrac{h}{x+h}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x} \)

Haciendo que \( h \) tienda a cero por la derecha, se obtiene (por el Teorema del Sandwich aplicado a límites unilaterales)

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)





Un argumento similar permite demostrar que si \( 0<x+h<x \), entonces

\( \dfrac{1}{x}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x+h} \)

por lo que

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)

Combinando estos dos límites laterales se obtiene el resultado deseado:

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)


Duda: ¿es a partir de la definición de logaritmo natural la demostración de que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \)? En ese caso tendría una duda que no sé concretar muy bien: ¿cómo sabe que \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distingo tres casos:

1- para \( 1>x>0 \) y \( 1>h>0 \), a partir de la definición, el área de la región limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \), sería \( -(\mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x) \);

2- para \( x>1 \) y \( 1>h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \);

3- para \( x>1 \) y \( h>1 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x \).

¡Un saludo!

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Hola, supongo que la "reflexión" es, vamos, tiene que ser de \( y=-(x-3)^2+1 \) sobre \( y=x+1 \)

Citar
Reflexiones en rectas especiales
(...)
1- Al cambiar \( x \) por \( -x \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación en el eje \( y \).
2- Al cambiar \( y \) por \( -y \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación en el eje \( x \).
3- Al cambiar \( x \) por \( a-x \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación de la recta en la recta \( x=a/2 \).
4- Al cambiar \( y \) por \( b-y \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación de la recta en la recta \( y=b/2 \).
5- Al intercambiar \( x \) e \( y \) en una ecuación en \( x \) e \( y \) se refleja la gráfica de la ecuación en la recta de ecuación \( y=x \).

¿Pueden ir por aquí los tiros?.

Un saludo

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Temas de Física / Re: Satélites artificiales y caída libre
« en: 24 Junio, 2021, 08:11 pm »
¡Gracias!

Me había ido por los cerros de Úbeda.

Pero el hecho de que \( \Delta{r}/r \) sea pequeño solo afecta a una simplificación de la ley de la fuerza gravitatoria para que la intensidad del campo gravitatorio sea constante igual a g , pero nada más.

Dos cuerpos alejados una distancia finita aislados de otras interacciones (libres) están en caída libre uno sobre el otro, igual que un cometa que pasa cercano al sol esta en caída libre respecto a este, o como dije cualquier objeto que lancemos desde cierta altura en ausencia de otras fuerzas.

Perfecto.

Hay un problema de lenguaje.  El significado mas común "Caída" es ir de arriba hacia abajo por acción del propio peso.
Pero estas "caídas libres" son mas generales, son el cuerpo en movimiento bajo acción de la gravedad.

Creo que exigía al texto más de lo que decía, pero lo que dice es correcto.

Para cada tipo de orbita, hay que dotar al satélite con una velocidad y direccion inicial  justa o especial, que se calcula en función de esos potenciales necesarios. Las órbitas bajas son mas rápidas que las mas altas o lejanas , el periodo de cada revoluciòn es función del semieje mayor del la orbita de acuerdo a la tercera ley de Kepler.

Hmm...Tela, muy interesante. Es lo que me veo tentado de estudiar, pero estoy con este libro de cálculo. Bueno, de hecho creo que primero tengo que estudiar cálculo.

¡Un saludo!


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Temas de Física / Re: Satélites artificiales y caída libre
« en: 24 Junio, 2021, 03:34 pm »
Es que no me cuadraba, o tal vez no estoy entendiendo, o sacando de contexto, esta cita del libro de texto que tengo:

Citar

Caída libre

De acuerdo con la Segunda Ley del Movimiento de Newton, una roca de masa \( m \) sobre la que actúa una fuerza \( F \) experimentará una aceleración \( a \) proporcional a \( F \) y en su misma dirección. Utilizando las unidades apropiadas de fuerza, \( F=ma \). Si la roca está en el suelo, sobre ella actúan dos fuerzas: la fuerza de la gravedad hacia abajo, y la reacción del suelo hacia arriba. Las dos fuerzas se equilibran, por lo que la aceleración resultante es nula. Por otra parte, si la roca está en el aire y no se apoya en ningún sitio, la fuerza gravitacional no resulta equilibrada, y la roca experimentará una aceleración hacia abajo, es decir, caerá.

De acuerdo con la Ley de la Gravitación Universal de Newton, la fuerza con la que la Tierra atrae a la roca es proporcional a la masa \( m \) de la roca e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia \( r \) al centro de la Tierra: \( F=km/r^2 \). Si el cambio relativo \( \Delta{r}/r \) es pequeño, como sucede cuando la roca está cerca de la Tierra, entonces \( F=mg \), siendo \( g=k/r^2 \) aproximadamente constante. Se deduce entonces que \( ma=F=mg \) y la roca experimenta una aceleración constante \( g \) hacia abajo. Como \( g \) no depende de \( m \), todos los objetos experimentan la misma aceleración cuando caen cerca de la superficie de la Tierra, suponiendo que se ignora la resistencia del aire y otras fuerzas que pudieran estar actuando. Las leyes de Newton implican, por tanto, que si la altura a la que está un objeto en el instante \( t \) es \( y(t) \), entonces

\( \dfrac{d^2y}{dt^2}=-g \)

El signo negativo es necesario porque la aceleración gravitacional es hacia abajo, en la dirección opuesta a la que crece \( y \). Los experimentos físicos permiten medir los siguientes valores aproximados de \( g \) en la superficie de la Tierra:

\( g=32\;\mbox{pies/s}^2 \)       o       \( g=9.8\;\mbox{m/s}^2 \)


He leído caída libre, y \( \Delta{r}/r \) "pequeño", y no me cuadraba. Por \( \Delta{r} \) entiendo la altura sobre el nivel del mar del objeto, y por \( r \) el radio de la Tierra...

¡Un saludo!

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Temas de Física / Satélites artificiales y caída libre
« en: 24 Junio, 2021, 01:00 pm »
Hola

Según la órbita que describen, se distinguen tres tipos de satélites artificiales:

LEO Órbita baja terrestre: son satélites de órbita baja. Están a una altura de 700 a 1400 km y tienen un período orbital de 80 a 150 min;

MEO Órbita media terrestre. Es de órbita mediana rota de 9000 a 20000 km tienen un período orbital de 10 a 14 horas. También se conocen como órbitas circular intermedia

GEO Órbita geoestacionaria. Es una órbita a una altura de 35786 km sobre el ecuador terrestre. Tiene un período orbital de 24 horas, permaneciendo siempre sobre el mismo lugar de la Tierra.

La duda es: ¿todos ellos se encuentran en caída libre?

¡Un saludo!

91
A todo esto, hemos dervirtuado bastante la pregunta original con esta discusión, pero como ya creo que estaba resuelta no creo que hayamos entorpecido la pregunta hecha por Marcos Castillo.

Sí, ya estaba resuelta, y no habéis entorpecido para la nada la pregunta. Tampoco la habéis desvirtuado, a mi parecer. Se ha contextualizado.




Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.



Después que te han dado la explicación matemática, te doy un interpretación física de la frase,

La velocidad tanto como la posición , no pueden ser funciones  a saltos, no existe aún "teletransportación" de un sitio a otro, ni tampoco fuerzas infinitamente grandes para que la cantidad de movimiento salte  de un valor a otro sin pasar por todos los valores intermedios... es decir la velocidad es continua.

Es decir todo cambio en la velocidad proviene de una aceleración y esta está justificada por algún tipo de interacción (fuerza) que se sostiene durante alguna cantidad de tiempo finita, la fuerza aplicada no puede ser infinita, ni el intervalo de tiempo en que se la aplica nulo.

la variación de velocidad para una masa m constante

\( \displaystyle \Delta v=v(t)-v_0=\dfrac{\Delta P}{m}=\dfrac{I}{m}=\dfrac{\int F dt}{m} \) donde I es el impulso que tampoco puede ser infinito.

la única forma para que la velocidad entre dos instantes de tiempo consecutivos tenga un salto es si la fuerza es infinita , y no hay ningún indicio para pensar que en el universo exista alguna forma de interacción que pueda ejercer semejante cosa.

Así sin más, la velocidad no puede cambiar de signo sin pasar por el cero en velocidad al menos durante un breve instante...(que se puede extraer de corolarios de los teoremas que presentas) y dicho de otro modo si su signo cambia es porque ha pasado por el cero de velocidad.

\( Sgn(v)=\dfrac{v}{|v|} \)

como \( a=\dfrac{\partial v}{\partial t} \) es finita  la función \( v(t) \) no puede ser a saltos, y el signo no puede cambiar sino sucede antes \( v=0 \) para algún instante \( t \), 

Para los matemáticos... creo que se demuestra que no hay cota para los \( \epsilon\to 0 \) por encima o por debajo del cero si la derivada \( a \) es finita... pero ya no lo recuerdo como se hace tal demostración. o quizá como ya dijeron ni siquiera son necesarios esos teoremas para explicar ese porqué.


Sigo el hilo a partir de este mensaje con la fascinación de quien ve una partida de ajedrez por primera vez. Esta cita es la última que entiendo.

Este tiempo he estado preguntando en Physics Forums por la cita que abre el hilo, y me han respondido que la frase (no sé si se trata de una edición posterior) es, traducida más o menos:

"La velocidad es continua para todo \( t \) luego, por el Teorema del Valor Intermedio, tiene un signo constante en los intervalos entre los puntos donde es 0"

¡Un saludo, gracias, Rincón!


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¡Muchas gracias! En el libro llaman Teorema del Valor Medio tanto a éste como al Teorema del Valor Intermedio.

Un saludo

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Hola, creo que debo contextualizarlo para compartir la hipótesis con el Foro:

Hipótesis: es indiferente apelar al Teorema del Valor Medio que al del Valor Intermedio, en este caso

Cito el ejercicio:

Citar
Un punto \( P \) se mueve por el eje \( x \) de forma que su posición en el instante \( t \) se expresa como

\( x=2t^3-15t^2+24t\;\mbox{m} \)

(a) Calcule la velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \).
(b) ¿En qué dirección y con qué velocidad se mueve \( P \) en \( t=2\;\mbox{s}? \).
(c) ¿Cuándo está \( P \) en reposo instantáneo?¿Cuándo no cambia instantáneamente el módulo de su velocidad?.
(d) ¿Cuándo se mueve \( P \) a la izquierda? ¿Y a la derecha?.
(e) ¿Cuándo está \( P \) acelerando?¿Y desacelerando?.


(a) La velocidad y la aceleración de \( P \) en el instante \( t \) son

\( v=\dfrac{dx}{dt}=6t^2-30t+24=6(t-1)(t-4)\;\mbox{m/s} \) y

\( a=\dfrac{dv}{dt}=12t-30=6(2t-5)\;\mbox{m/s}^2 \)

(b) En \( t=2 \) tenemos \( v=-12 \) y \( a=-6 \). Por lo tanto \( P \) se mueve hacia la izquierda con una velocidad de \( 12\;\mbox{m/s} \), y como la velocidad y la aceleración son negativas, el módulo de la velocidad aumenta.
(c) \( P \) está en reposo cuando \( v=0 \), es decir, cuando \( t=1\;\mbox{s} \) o \( t=4\;\mbox{s} \). Su velocidad no cambia cuando \( a=0 \), es decir, en \( t=5/2\;\mbox{s} \).
(d) La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0. Examinando los valores de \( v(t) \) en \( t=0 \), \( 2 \) y \( 5 \) (o analizando los signos de los factores \( (t-1) \) y \( (t-4) \) en la expresión de \( v(t) \), se concluye que \( v(t)<0 \) (y \( P \) se mueve a la izquierda) en el intervalo \( (1,4) \) y \( v(t)>0 \) (y \( P \) se mueve a la derecha) en los intervalos \( (-\infty,1) \) y \( (4,\infty) \).
(e) La aceleración \( a \) es negativa para \( t<5/2 \) y positiva para \( t>5/2 \). La tabla 3 combina esta información con la información de \( v \) para demostrar cuándo \( P \) está acelerando y decelerando.


¿Ahora sí tiene sentido el Teorema del Valor Medio?.

Un saludo

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Hola, estimado Rincón

En un ejercicio de cálculo me he encontrado con una frase que creo que puedo sacar de contexto y citar

Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.

Cito también los dos teoremas

Citar

Teorema del Valor Medio

Sea una función \( F \) continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que

\( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

Teorema del Valor Intermedio

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \) y \( s \) es un número real comprendido entre los números \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \)


La función es \( v=6t^2-30t+24 \), correspondiente a la velocidad en función del tiempo de un punto \( P \) que se mueve por el eje \( x \).

La duda es sobre la cita primera: ¿Por qué el Teorema del Valor Medio implica signo constante en los intervalos entre los que que vale 0?¿Y por qué no el Teorema del Valor Intermedio?

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio afirma que una función continua en un intervalo \( [a,b] \) toma todos los valores comprendidos entre \( f(a) \) y \( f(b) \). Así que creo que así sí entiendo la cita; el Teorema del Valor Medio es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Y aquí dudo, pero tengo la sensación de que es igual de válido.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Problema de valor inicial
« en: 16 Junio, 2021, 07:30 pm »
¡Puf! :-[ Muchas gracias. Adjunto imagen de la primitiva para \( C=0 \), \( f \) y para \( C=\dfrac{7}{2} \), \( g \), que pasa por el punto \( (-2,1) \). Se ve muy gráficamente.



¡Un saludo!

96
Cálculo 1 variable / Problema de valor inicial
« en: 16 Junio, 2021, 02:15 pm »
Hola

Tengo un ejercicio resuelto ilustrativo y una cuestión teórica

Citar
Ejemplo 7 Resuelva el problema de valor inicial

\( \begin{cases}{y'=\dfrac{3+2x^2}{x^2}}\\y(-2)=1 \end{cases} \)

¿Dónde es válida la solución?

Solución

\( y=\displaystyle\int \left ({\dfrac{3}{x^2}+2}\right )dx=-\dfrac{3}{x}+2x+C \)

\( 1=y(-2)=\dfrac{3}{2}-4+C \)

Por tanto, \( C=\dfrac{7}{2} \) y

\( y=-\dfrac{3}{x}+2x+\dfrac{7}{2} \)

Aunque la solución parece estar definida para todo valor de \( x \) excepto el 0, el PVI sólo tiene solución para \( x<0 \). Esto se debe a que \( (-\infty,0) \) es el mayor intervalo que contiene al punto inicial -2 pero no \( x=0 \), donde la \( y \) está indefinida

Cito el texto de la cuestión teórica:

Citar

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. La ED del ejemplo 5 (\( x^2y''-xy'-3y=0 \)) es de segundo orden ya que en ella interviene \( y'' \), y no hay derivadas de \( y \) de orden superior. Nótese que en la solución que se ha verificado en el ejemplo 5 intervienen dos constantes arbitrarias, \( A \) y \( B \). Esta solución se denomina solución general de la ecuación, ya que se puede demostrar que cualquier solución es de esta forma, dando valores concretos a las constantes \( A \) y \( B \). Se obtiene una solución particular de la ecuación asignando valores concretos a esas constantes. En la solución general de una ecuación diferencial de orden \( n \) aparecen \( n \) constantes arbitrarias.
Un problema de valor inicial (PVI) está formado por:

(a) una ecuación diferencial (para resolverla encontrando una función desconocida) y
(b) valores de la solución y de un número suficiente de sus derivadas en un punto determinado (el punto inicial) para determinar los valores de todas las constantes arbitrarias en la solución general de la ED y obtener, así, una solución particular.

Observación Es habitual utilizar el mismo símbolo, por ejemplo \( y \), para indicar la variable independiente y la función solución de una ED o de un PVI. Es decir, la función solución se denominará \( y=y(x) \), en vez de \( y=f(x) \).

Observación La solución de un PVI es válida en el máximo intervalo que contenga a los puntos iniciales donde se define la función solución.


Es esta última observación: no entiendo por qué la solución es válida en el máximo intervalo que contenga al punto inicial.

¡Un saludo!

97
Cálculo 1 variable / Re: Primitivas e intervalos
« en: 15 Junio, 2021, 10:00 am »
Hola

¡Así sí lo entiendo! El problema es, a mi parecer, que sí es un intervalo, pero no es conexo.

No, no es un intervalo. Son DOS intervalos.


Perfecto


De todas formas esto es cuestión de nombre, de "a que cosa" llamamos intervalo. El principio lo importante es la idea, no el nombre. Lo que pasa es que en este caso el nombre de intervalo se utiliza tanto que si no sabes bien lo que es te acabarás liando al leer literatura al respecto.

Saludos.

el_manco, gracias

¡Un saludo!

98
Cálculo 1 variable / Re: Primitivas e intervalos
« en: 14 Junio, 2021, 04:12 pm »

Y la observación es que si \( I \) NO es un intervalo (no es conexo de hecho) el Teorema puede fallar. Y te da un ejemplo. Si consideras la función:

\( f(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x>0\\-1 & \text{si}& x<0\end{cases} \)

 definida en \( I=(-\infty,0)\cup (0,+\infty) \), cumple que su derivada es nula en todo punto interior de \( I \), pero la función no es constante en \( I \).


¡Así sí lo entiendo! El problema es, a mi parecer, que sí es un intervalo, pero no es conexo.

¡Un saludo!

99
Cálculo 1 variable / Primitivas e intervalos
« en: 14 Junio, 2021, 01:22 pm »
Hola, tengo un texto y dos dudas. Primero cito:


Citar
PRIMITIVAS

Comenzaremos por definir la primitiva de una función \( f \) como una función \( F \) cuya derivada es \( f \). Es apropiado requerir que \( F'(x)=f(x) \) en un intervalo.

DEFINICIÓN 7

La primitiva de una función \( f \) en un intervalo \( I \) es otra función \( F \) que cumple
\( F'(x)=f(x) \) para \( x \) en \( I \)

Las primitivas no son únicas. De hecho si \( C \) es una constante, entonces \( F(x)=x+C \) es una primitiva de \( f(x)=1 \) en cualquier intervalo. Siempre se puede añadir una constante a la primitiva \( F \) de una función \( f \) en un intervalo y obtener otra derivada de \( f \). Lo que es más importante, todas las primitivas de \( f \) en un intervalo se pueden obtener sumando constantes a una primitiva concreta. Si \( F \) y \( G \) son primitivas de \( f \) en un determinado intervalo \( I \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}(G(x)-F(x))=f(x)-f(x)=0 \)

en dicho intervalo \( I \), de forma que \( G(x)-F(x)=C \) (una constante) en \( I \) por el Teorema 13 de la sección 2.6.

Spoiler
TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior de \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos. Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \)
[cerrar]

Por tanto, \( G(x)=F(x)+C \) en \( I \).

Nótese que ni esta conclusión ni el Teorema 13 son válidos en un conjunto que no sea un intervalo. Por ejemplo la derivada de

\( \mbox{sgn}\;x=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Es 0 para todo \( x\neq 0 \), pero \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio.

Es el razonamiento de por qué debe ser un intervalo:

\( \mbox{sgn}\;x=\dfrac{d|x|}{dx}=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Citar
Es 0 para todo \( x\neq 0 \)

Aquí está la clave de mi duda: si es 0 para todo \( x\neq 0 \), ya no es un intervalo. El razonamiento queda: "No debe ser un intervalo, porque no es un intervalo, pero  \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio."

Vamos, que algo se me escapa, y no sé qué.

Un saludo

100
Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 12 Junio, 2021, 05:06 pm »
¡Fantástico!

Perdona, Masacroso, he tardado en saber cuál era la duda exactamente  :(

Un saludo

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