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Mensajes - Marcos Castillo

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Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 05 Febrero, 2022, 07:49 am »
Hola, estimado Rincón


 ¿Hay algo aprovechable en mi relato?


Esto es lo único aprovechable del anterior mensaje: que intuía que no había nada aprovechable. Otra intuición que tengo es que me toca trabajar un poco, yo solo.

¡Un cordial saludo! Estamos.

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Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 01 Febrero, 2022, 01:45 am »

Mi primera sugerencia es que si te dan una indicación en el problema... ¡intentes seguirla!.


En Physics Forums he querido también conseguir pistas, para en concreto saber por qué la desigualdad \( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \) implica continuidad

Citar
Continuidad de \( f \) en \( I=[a,b] \) significa que para todo \( v\in{I} \) y \( \epsilon>0 \) podemos encontrar un \( \delta>0 \) tal que \( \forall{u\in{I}} \) tenemos \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \).
Dado \( K \), \( \epsilon \) y \( v \), ¿ cómo usarías la desigualdad dada en el mensaje inicial para encontrar un \( \delta \) que satisfaga la requerida condición de continuidad?

\( \epsilon=K|u-v| \), con \( K\in{\Bbb{R}} \) y \( 0<K<1 \). Es decir, \( K \) es la constante que relaciona \( \epsilon \) con el \( \delta \) buscado: \( \delta=|u-v| \)

Preguntas:

1- ¿He acertado, y por qué?
2- Aunque haya acertado, o no, ¿ cómo puedo apoyarme en Geogebra? Es decir, \( \epsilon \) y \( \delta \) son valores absolutos. ¿Cómo se ve esto en unas coordenadas cartesianas?



3- ¿Hay algo aprovechable en mi relato?

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 30 Enero, 2022, 08:46 am »
Hola, estimado Rincón

La iteración del método del punto fijo no funciona siempre.



Funciona para una clase particular de funciones. El siguiente teorema garantiza que la iteración del método del punto fijo para cuáles:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i) \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)

convergen a \( r \).

Prueba

La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)

Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que

\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)

Como \( 0<K<1 \), sabemos que \( K^{n}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Esto demuestra que \( \lim_{n\rightarrow{\infty}}{x_n}=r \).

Pregunta: Pistas para arrancar yo solo

¡Un saludo!

64
Cálculo 1 variable / Re: Método de iteración del punto fijo
« en: 28 Enero, 2022, 07:57 pm »
¡Sigo adelante!

¡Un saludo!

65
Biblioteca de Geogebra / Re: Método de Iteraciones
« en: 28 Enero, 2022, 07:52 pm »
¡Muchas gracias!

66
Cálculo 1 variable / Método de iteración del punto fijo
« en: 28 Enero, 2022, 12:51 pm »
Hola, estimado Rincón

Como no me aclaraba con este método en la introducción que hace el libro de texto, me metí en internet y encontré el tutorial "Análisis Numérico -Método iterativo de punto fijo - Jesús Soto..." en YouTube. Jesús Soto es profesor de la UCAM (Universidad Católica de Murcia). Transcribo lo que he apuntado tras visualizarlo:

Análisis numérico

Método iterativo de punto fijo

Sea \( f\in{C([a,b])} \). Si se reemplaza la ecuación \( f(x)=0 \) por otra equivalente, de la forma \( x=g(x) \), entonces \( \alpha \) es una raíz de ambas si y sólo si \( \alpha \) es un punto fijo de \( g \); es decir, que satisface \( \alpha=g(\alpha) \)

Teorema de punto fijo

Si \( g:[a,b]\rightarrow{[a,b]} \) es continua y derivable en \( [a,b] \) con \( |g'(x)|\leq K<1\quad\forall{x\in[a,b]} \) y dado un \( x_0\in{[a,b]} \), siendo \( x_0 \) el punto inicial, si establecemos la sucesión \( x_n=g(x_{n-1}) \), ésta es convergente:

\( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{x_n}=\alpha \)

entonces \( \alpha \) es raíz de la ecuación \( x=g(x) \).

Procedimiento

Dada \( f(x)=0 \) (una función que se plantea como una ecuación), debemos buscar que se transforme en \( x=g(x) \)

\( f(x)=0\Leftrightarrow{x=g(x)} \)

Tal que \( g \) verifique el Teorema del punto fijo, entonces la iteración nos llevará a la solución

1- \( g\in{C([a,b])} \), es decir, es continua en el intervalo donde se encuentra el \( 0 \) que

2- \( g \) está incluido dentro del intervalo

\( g([a,b])\subseteq{[a,b]} \)

3- Condición lepsiciana (que la derivada esté acotada en el intervalo siguiente)

\( |g'(x)|\leq K<1\quad{\forall{x\in{(a,b)}}} \)

Se mira la gráfica, establecer \( [a,b] \) (donde está el \( 0 \))

Ejemplo Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0 \)

Consideramos la función

\( f(x)=x-e^{-x} \)

Graficamos la función, por ejemplo con Wolfram Alpha. Vemos que (i) es continua y derivable, y (ii) \( 0\in{[0,1]} \)

\( f(x)=x-e^{-x}=0\Leftrightarrow{x=e^{-x}=g(x)} \)

Veamos las condiciones del punto fijo

(a) \( g\in{C([0,1])} \);

(b) Que el dominio de la función esté incluido en su imagen, \( g([0,1]) \): \( -g'(x)=-e^{-x}\in{C([0,1])} \) mantiene el signo; por lo tanto es estrictamente decreciente. Según el Teorema de Bolzano-Weierstrass, \( g(x) \) tiene sus máximos en los extremos: \( g(0),g(1)\in{[0,1]} \);

(c) Comprobar la propiedad lepsiciana

\( |g'(x)|\leq K<1\quad{\forall{x\in{(0,1)}}} \)

La segunda derivada de \( g(x) \), \( -g''(x)=e^{-x}\in{C([0,1])} \) es estrictamente creciente, y \( |g(0)|=1\in{[0,1]} \); y nos interesa que esté en \( (0,1) \). Basta con considerar el intervalo \( (0.09,1) \), dado que \( g(0)=1 \)

\( \color{magenta}-|g'(x)|\leq|g'(0.09)|<K=0.92<1\quad{\forall{x\in{(0.09,1)}}} \)

Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0\Rightarrow{g(x)=e^{-x}} \)

\( x_0=1 \)
\( x_1=g(x_0)=0.36787944117140 \)
\( x_2=g(x_1)=0.69220062755534 \)
\( x_3=g(x_2)=0.50047350056353 \)
\( x_4=g(x_3)=0.60624335085597 \)
...
\( x_{20}=g(x_{19})=0.567157044 \), con error \( <10^{-4} \)

¿Por qué veinte iteraciones? Porque \( K \) es muy alto.

Dudas

El Teorema de Bolzano Weierstrass, ¿es el del tutorial "Bolzano-Weierstrass (Convergencia monótona y Bolzano Weierstrass 3/3)"?
La misma pregunta que en rojo
¿Por qué nos interesa que esté en \( (0,1) \)?
¿Por qué el signo negativo en \( -|g'(x)| \)?
PS: Creo que podéis guiaros sólo por los títulos de los tutoriales; no haría falta que los vierais. Si el tutorial de Bolzano-Weierstrass es el correcto, no sé cómo encaja en el tutorial de la UCAM, es decir, ¿por qué implica que los valores máximo y mínimo de \( [0,1] \) están en los extremos del intervalo?.

¡Un saludo y gracias!

67
Cálculo 1 variable / Re: Límites de error del Método de Newton
« en: 25 Enero, 2022, 11:16 pm »
Uf, genial, Luis. Sigo adelante. ¡Lo he entendido!

Un saludo

68
Cálculo 1 variable / Re: Límites de error del Método de Newton
« en: 25 Enero, 2022, 08:31 pm »
Hola

En el mensaje inicial del hilo citaba mi libro de texto


TEOREMA 7 Límites de error del Método de Newton
Supongamos que \( f \), \( f' \) y \( f'' \) son continuas en un intervalo \( I \) que contiene a \( x_n \), \( x_{n+1} \) y a una raíz \( x=r \) de \( f(x)=0 \). Supongamos también que existen constantes \( K \) y \( L>0 \) tales que para todo \( x \) perteneciente a \( I \) se cumple

(i) \( |f''(x)|\leq{K} \) y

(ii) \( |f'(x)|\geq{L} \)

Entonces,

(a) \( |x_{n+1}-r|\leq{\dfrac{K}{2L}|x_{n+1}-x_n|^2} \) y

(b) \( |x_{n+1}-r|\leq{\dfrac{K}{2L}|x_{n}-r|^2} \)

Las condiciones (i) y (ii) aseguran que cerca de \( r \) la pendiente de \( y=f(x) \) no es demasiado pequeña y que no cambia con  demasiada rapidez. Si \( K/(2L)<1 \), el teorema demuestra que \( x_n \) converge rápidamente a \( r \) cuando \( n \) se hace lo suficientemente grande para que \( |x_n-r|<1 \).

La demostración del Teorema 7 depende del Teorema del Valor Medio. No la daremos aquí ya que este teorema es de uso práctico limitado. (...)
 

¿Por qué (i) y (ii) aseguran que cerca de \( r \) la pendiente de \( y=f(x) \) no es demasiado pequeña y que no cambia con  demasiada rapidez?. Debería aportar mi esfuerzo por explicarlo: ¿demasiado pequeña es \( <25º \) respecto a la abscisa?¿por debajo de estas inclinaciones el Método de Newton no representa más efectividad que, por ejemplo, el Método de la Bisección?; ¿ que no cambia con demasiada rapidez significa que está lejos de un punto de inflexión, cosa que no conviene al Método de Newton, como por ejemplo \( y=x^{1/3} \)?

PS: En cuanto al artículo que traduje, creo que tengo dos certidumbres. Por una parte, hay una errata, la de la raíz cuadrada de dos; por otra parte está el hecho de que cambiando \( < \) por \( \leq \) y \( > \) por \( \geq \) para mí resulta más comprensible el texto; por otra la incógnita es la naturaleza de \( C \), en concreto, ¿debe ser menor el numerador que el denominador? Es obvio que de esta forma la tasa de convergencia es superior. Pero no queda claro en el artículo, o yo soy incapaz de encontrar evidencia de ello. Al respecto el libro de texto tampoco es muy explícito. O yo no lo veo.

¡Un saludo!

69
Cálculo 1 variable / Re: Límites de error del Método de Newton
« en: 24 Enero, 2022, 07:35 am »

1- ¿Por qué \( C\in{\Bbb Q} \)?¿por qué \( B<A \)?

No entiendo esta pregunta. ¿A qué parte del texto se refiere?.


No lo menciona. Y no lo mantengo. Creo que estamos en los reales. Por otra parte, me empeño en sonsacar información sobre la relación entre \( A \) y \( B \).



2- El Teorema del Valor Medio, ¿se puede aplicar a primeras, segundas,... derivadas, como lo hace en este caso?


A cualquier función que cumpla las hipótesis, que sea derivable. Si \( g(x)=f'(x) \) es una función que cumple las hipótesis le puedes aplicar el teorema y no hay nada de especial. Su derivada será \( g'(x)=f''(x) \).


Perfecto. No encontraba en internet esta respuesta explícita.


No entiendo porque dices que se emplea la negación de los resultados.


Parte teórica:

\( A,B>0\Rightarrow{A,B\in{\Bbb{R}^+}} \)

\( C=\dfrac{B>|f''(x)|}{A<|f'(x)|} \), \( \forall{x\in{D}} \)

Encuentro diferente el enfoque del ejemplo

\( C=\dfrac{|f''(x)|=2=B}{|f'(x)|=|2x|\geq 4} \), \( \forall{x\in{D}} \)

No sé. No lo concilio. Es primero un \( > \) y luego un \( = \) para \( B \); y primero un \( < \) y luego un \( \geq{} \) para \( A \).

¡Un saludo!

70
Cálculo 1 variable / Re: Límites de error del Método de Newton
« en: 23 Enero, 2022, 12:38 pm »
Hola, estimado Rincón

He tirado por la calle del medio. He intentado traducir el texto, y concretar las dudas resaltando en rojo o subrayando allí donde tengo dudas. Y finalmente, las preguntas.

0.1 Método de Newton y el Teorema del Valor Medio

El método de Newton para calcular los ceros de funciones es un buen ejemplo de aplicación práctica del Teorema del Valor Medio. Sea \( f(x) \) una función real con dos derivadas continuas. Buscamos una raíz de \( f \), es decir, un punto \( \hat{x} \) tal que \( f(\hat{x})=0 \). En el método de Newton, el cual es geométrico, consideramos la curva \( y=f(x) \). Esta curva cruza el eje \( x \) en el punto \( (x,f(x)) \). Sea \( x_0 \) la estimación inicial para la raíz. Para mejorar en la estimación dibujamos la línea tangente a la curva \( y=f(x) \) que pasa sobre el punto \( (x_0,f(x_0)) \) de la curva. Esta línea tangente satisface la ecuación

\( y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \)

La línea tangente atraviesa el eje \( x \) en el punto

\( x_1=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)} \)

y tomamos \( x_1 \) como nuestra estimación mejorada de la raíz \( \hat{x} \). Ahora repetimos con \( x_1 \) este procedimiento para obtener una estima mejorada \( x_2 \), y así sucesivamente. Por lo tanto tenemos la secuencia \( \{x_n\} \) tal que

\( x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\qquad{n=0,1,...,} \)

Necesitamos dar condiciones que garanticen que la secuencia convergerá a una raíz de \( f(x) \), y den información acerca de la tasa de convergencia. Para analizar este procedimiento definimos una función apropiada \( T(x) \) de esta forma

\( T(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)} \)

Todavía no estableceremos el dominio \( D \) de esta función, pero es claro que requiere \( f'(x)\neq{0} \) para todo \( x\in{D} \). Entonces \( \hat{x} \) será un punto fijo de \( T \) (\( T(\hat{x})=\hat{x} \)) si y sólo si \( f(\hat{x})=0 \). Para obtener la tasa de crecimiento de la iteración calculamos la derivada de \( T(x) \):

\( T'(x)=\dfrac{f(x)f''(x)}{[f'(x)]^2} \)

Como \( T'(\hat{x})=0 \), en la vecindad de la raíz seremos capaces de seleccionar una constante de decaimiento \( c<1 \), tal que la raíz sea un benevolente punto fijo de \( T \). En particular sea \( D=[\hat{x}-r,\hat{x}+r] \), donde \( |T'(x)|\leq{c<1} \) para todo \( x\in{D} \). (Si \( f'(\hat{x})\neq{0} \) siempre podemos encontrar una \( r \) tal que la desigualdad se cumpla para la constante \( c \) dada). Entonces si \( u,v\in{D} \), el Teorema del Valor Medio da \( T(u)-T(v)=T'(\tilde{u})(u-v) \), para algún \( \tilde{u}\in{D} \) entre \( u \) y \( v \). Por lo tanto \( |T(u)-T(v)|\leq{c\;|u-v|} \) para todo \( u,v\in{D} \). En particular

\( |x_n-\hat{x}|\leq\;c\;|x_{n-1}-\hat{x}|\leq...\leq\;c^n\;|x_0-\hat{x}| \)

Por lo tanto si \( x_0\in{D} \) entonces así son todos los \( x_n\in{D} \) y \( x_n\rightarrow{\hat{x}} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \)

La convergencia del algoritmo de Newton es de hecho mucho más rápido que el indicado desde este análisis. Esto se debe al hecho de que \( T'(\hat{x})=0 \). Podemos, de hecho, probar convergencia cuadrática.

Supongamos que podemos que podemos encontrar \( A,\;B \), números finitos positivos tal que \( B>|f''(x)| \) para todo \( x\in{D} \), y \( A<|f'(x)| \) para todo \( x\in{D} \), y establezcamos \( C=B/A \). Por el Teorema del Valor Medio hay un punto \( \tilde{x}_n\in{D} \), entre \( \hat{x} \) y \( x_n \), tal que

\( f(x_n)=f(x_n)-f(\hat{x})=f'(\tilde{x}_n)(x_n-\hat{x}) \)

así \( x_n-\hat{x}=f(x_n)/f(\hat{x}_n) \). Además, el Teorema del Valor Medio aplicado a \( f'(x) \) depara un punto \( \breve{x}_n \) entre \( x_n \) y \( \tilde{x}_n \) tal que

\( \color{red}f'(x_n)-f'(\tilde{x}_n)=f''(\breve{x}_n)(x_n-\tilde{x}_n) \)

Entonces

\( |x_{n+1}-\hat{x}|=|(x_{n+1}-x_n)+(x_n-\hat{x})|=\left |{\dfrac{f(x_n)}{f'(\tilde{x}_n)}-\dfrac{f(x_n}{f'(x_n)}}\right | \)

\( \left |{\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)f'(\tilde{x}_n)}\left({f'(x_n)-f'(\tilde{x}_n)}\right)}\right |=\left |{\dfrac{x_n-\hat{x}}{f'(x_n)}(f'(x_n)-f'(\tilde{x}_n))}\right | \)

\( \left |{(x_n-\tilde{x}_n)(x_n-\hat{x})\dfrac{f''(\color{green}\breve{x}_n\color{black})}{f'(x_n)}}\right |\color{red}\leq{C\color{black}\;|x_n-\hat{x}|^2} \)

Por lo tanto \( |x_{n+1}-\hat{x}|\leq{C\;|x_n-\hat{x}|^2} \) y la convergencia es cuadrática. Esto significa que el número de dígitos de precisión en nuestra aproximación casi dobla con cada iteración.

Ejemplo 1 Aproximamos \( \sqrt{7} \) empleando el método de Newton para encontrar la raíz positiva de la función

\( f(x)=x^2-7 \)

Aquí el paso de iteración es dado por la función

\( T(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2x} \)

Sea \( D=\{x:2\leq x\leq 7\} \) y elegimos la aproximación inicial \( x_0=2 \). Nótese que

\( \left |{\dfrac{f(x)f''(x)}{(f'(x))^2}}\right |=\left |{\dfrac{x}{2}+\dfrac{7}{2x}}\right |\leq{\dfrac{3}{8}}=c \)

Para \( x\in{D} \). Por lo tanto

\( |x_n-\color{red}\sqrt{2}\color{black}|\leq\dfrac{3}{8}|x_{n-1}-\sqrt{7}|\leq\;...\;\leq\left({\dfrac{3}{8}}\right)^n|2-\sqrt{7}|\rightarrow{0} \)

cuando \( n\rightarrow{\infty} \). La tasa de convergencia es más rápida que esta, sin embargo. Realmente \( |f''(x)|=2=B \) y \( |f'(x)|=|2x|\geq 4=A \) para todo \( x\in{D} \). Por lo tanto, estableciendo \( C=\dfrac{B}{A}=\dfrac{1}{2} \), tenemos

\( |x_{n+1}-\sqrt{7}|\leq\dfrac{1}{2}|x_n-\sqrt{7}|^2\qquad{n=0,1,...,} \)

y el número de dígitos de precisión garantizada más que se duplica con cada iteración. Realmente, tenemos (calculando los primeros 10 dígitos)

\( x_0=2 \)
\( x_1=2.75 \)
\( x_2=2.647727273 \)
\( x_3=2.645752048 \)
\( x_4=2.645751311 \)

Aquí, \( x_4 \) es correcto hasta más de 10 dígitos (si calculamos a tantos decimales) y \( (x_4)^2=7.0000000000 \). Como \( x_3 \) tiene 6 dígitos de precisión, \( x_5 \) tendría 24 dígitos de precisión.

Preguntas

1- ¿Por qué \( C\in{\Bbb Q} \)?¿por qué \( B<A \)?
2- El Teorema del Valor Medio, ¿se puede aplicar a primeras, segundas,... derivadas, como lo hace en este caso?
3- En el ejemplo, para determinar \( A \) y \( B \), emplea la negación de lo que afirma en la teoría. ¿Cómo se concilian los dos enunciados?
4- He resaltado \( \sqrt{2} \). ¿Es una errata?.

¡Un saludo!

Editado en verde

71
Cálculo 1 variable / Límites de error del Método de Newton
« en: 21 Enero, 2022, 09:09 pm »
Hola, estimado Rincón

Me he liado la manta tirando del hilo con una cita del libro de texto. Cito primero

Citar
TEOREMA 7 Límites de error del Método de Newton
Supongamos que \( f \), \( f' \) y \( f'' \) son continuas en un intervalo \( I \) que contiene a \( x_n \), \( x_{n+1} \) y a una raíz \( x=r \) de \( f(x)=0 \). Supongamos también que existen constantes \( K \) y \( L>0 \) tales que para todo \( x \) perteneciente a \( I \) se cumple

(i) \( |f''(x)\leq{K}| \) y

(ii) \( |f'(x)|\geq{L} \)

Entonces,

(a) \( |x_{n+1}-r|\leq{\dfrac{K}{2L}|x_{n+1}-x_n|^2} \) y

(b) \( |x_{n+1}-r|\leq{\dfrac{K}{2L}|x_{n}-r|^2} \)

Las condiciones (i) y (ii) aseguran que cerca de \( r \) la pendiente de \( y=f(x) \) no es demasiado pequeña y que no cambia con  demasiada rapidez. Si \( K/(2L)<1 \), el teorema demuestra que \( x_n \) converge rápidamente a \( r \) cuando \( n \) se hace lo suficientemente grande para que \( |x_n-r|<1 \).

La demostración del Teorema 7 depende del Teorema del Valor Medio. No la daremos aquí ya que este teorema es de uso práctico limitado. (...)

Y vengo yo y encuentro un texto en inglés que lo explica; y además me hago un lío

Dos problemas: está en inglés, y no lo entiendo; y pregunta: ¿alguien podría proporcionarme un texto en castellano que me lo explicara?
Un tercer problema: voy a adjuntar el texto en inglés, pero desconozco si es un enlace.

Bueno, ahí va. ¡Un saludo! 

72
Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 16 Enero, 2022, 09:08 pm »
Los puntos fijos son \( 2 \) y \( -2 \) como menciones en mi último mensaje, buscas:
\( g(\alpha) = \alpha \) no \( g(\alpha) = 0 \).

Editado
R es el valor fijo, vamos \( g(R) = R \) es el valor que buscamos.
Pongamo \( R = \alpha \), entonces \( \alpha \) debe pertenecer al intervalo donde \( |g'| < 1 \).

Perfecto. Sigo adelante. Un saludo, Rincón

PS: Algún día hablaré de Wikipedia quizá en algún hilo sobre aristas de las matemáticas. Ahora mismo podría decir que me ha ayudado el enlace de Juan Pablo, y que he tergiversado su contenido, como claramente resalta la cita de este mensaje.

73
Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 16 Enero, 2022, 06:53 pm »

Para utilizar punto fijo te pongo otra

\( f(x)=x-e^{-x} \)


Muchas gracias. Un ejemplo muy esclarecedor del Método de Iteración del Punto Fijo


Para la función \( f(x)=x^2-4 \) (que ya conocemos sus raíces) necesitamos despejar x a una función g(x) que nos funciones, no todo despeje funciona.


¿Los puntos fijos son \( x=-1.56 \) y \( x=2.56 \)?


¿Saber cómo se obtiene la fórmula para el método de Newton-Raphson?


Sí. Supongo que lo dices porque he preguntado cuáles son las hipótesis.

Es que creo que hipótesis se refiere a condiciones sine qua non: diferenciable cerca de la raíz


Esto pasa porque \( f'(0)=0 \) y  \( 0 \) es la raíz de la función. (no se cumplen las hipótesis)


No es diferenciable cerca de la raíz, como apunta mg. Esa es la hipótesis

PS: mg, Juan Pablo, leídos vuestros mensajes, publicados hace poco. Sigo sin entender qué son los valores del rango de R, ni el Número de R

74
Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 16 Enero, 2022, 03:04 pm »
El método requiere volver a escribir la ecuación \( f(x)=0 \) en la forma \( x=g(x) \)

Llamemos \( x^* \) a la raíz de \( f \). Supongamos que existe y es conocida la función \( g \) tal que \( f(x)=x-g(x) \) \( \forall{x\in{D_f}} \); entonces \( f(x^*)=0\Leftrightarrow{x^*-g(x^*)=0} \)

¿Puede ser \( g(x)=-x^2+x+4 \), y \( x=\dfrac{-1\pm{\sqrt{1-4\cdot{(-1)}\cdot{4}}}}{-2}\Rightarrow{x=-1.56,\;2.56} \)?

¿Es correcto?

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 16 Enero, 2022, 01:36 pm »
Hola

JP, he leído el enlace. Muy sugerente

Se me ocurre una idea. Empezar con un ejemplo sencillo



El método y el algoritmo del ejemplo los sigo a trancas y barrancas, pero sé de qué está hablando.

¿Empezamos entonces con \( f(x)=x^2-4 \)?

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 16 Enero, 2022, 07:01 am »
Mañana lo reviso es un poco tarde, mira este enlace punto fijo  .

\( \mbox{R}=1.85 \), ¿cómo se llega?

¡Un saludo!

PS: Tengo un poco de miedo de no entenderlo :-[

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Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 16 Enero, 2022, 02:54 am »
Toma \( x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{f(x_n}{f'(x_n)} \), eso da que \( x_{n+1}=x_n-\displaystyle\frac{x^{1/3}}{\displaystyle\frac{1}{3}x^{-2/3}}=-2x_n \). Fijate que \( x_1=-2,\,x_2=4,\;x_3=-8.... \) y entonces el método diverge. Esto pasa porque \( f'(0)=0 \) y  \( 0 \) es la raíz de la función. (no se cumplen las hipótesis)

¿Que hipótesis? \( f'(0)=0 \) estaría en el denominador de... :banghead:

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Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 16 Enero, 2022, 01:40 am »
Hola, escribo para pedir un favor. Si seguimos leyendo la cita

Citar
Observación
(...)
El Método de Newton no siempre funciona tan bien (...). Si la primera derivada \( f' \) es muy pequeña cerca de la raíz, o si la segunda derivada \( f'' \) es muy grande cerca de la raíz, una sola iteración de la fórmula nos puede llevar desde un punto muy cercano a la raíz a un punto muy lejano. La figura 4.53 (que adjunto arriba) ilustra esta posibilidad (véanse también los ejercicios 15 y 16 al final de esta sección )

16. (Oscilaciones divergentes) Aplique el Método de Newton a \( f(x)=x^{1/3} \) con \( x_0=1 \). Calcule \( x_1,\;x_2,\;x_3 \) y \( x_4 \) ¿Qué sucede? Obtenga una fórmula para \( x_n \).

Mi duda: ¿qué sucede y por qué?.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 14 Enero, 2022, 10:21 am »
¡Muchas gracias, manooooh!

Un saludo

80
Cálculo 1 variable / Re: Método de Newton, observación
« en: 14 Enero, 2022, 06:39 am »
Hola, manooooh, estimado Rincón


La cita dice explícitamente "la segunda derivada \( f'' \)".


Sólo necesito una pista: ¿por qué la segunda derivada? La única idea que tengo es que el Método de Newton no precisa de la existencia de una segunda derivada, mientras el otro método para encontrar raíces, la iteración del punto fijo, sí. Creo.

¡Un saludo!

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