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Mensajes - Marcos Castillo

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Hola

Como te dice feriva la función \( f \) es derivable en \( a \) luego continua,
Bueno, efectivamente; había reculado un instante, con el tema que me traía de cabeza; las palabras "cerca de a"
lo que pretende el ejercicio es que de todas las rectas que pasan por \( (a,f(a)) \) la recta \( L \) es la que mejor aproxima a \( f \) en \( a \), y cuando estés cerca de \( a \) (y lo tenemos probado)
Sí, está probado en esta siguiente cita:
Te dicen que de todas las rectas que pasan por \( (a,f(a)) \) la recta \( L(x) = f'(a) \cdot (x-a) + f(a)  \) es la recta que mejor aproxima y la prueba la puedes hacer por:
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) -f(a) - f'(a) \cdot (x-a) }{x-a} = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) -f(a)}{x-a} - f'(a) = f'(a) - f'(a)  \).

Luego \( \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \epsilon(x-a)  \) tal que \( \displaystyle \lim_{x \to a} \epsilon(x-a) = 0  \).
Queda \( f(x)-L(x) = (x-a) \cdot \epsilon(x-a)  \) que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( x-a \), por ser el producto de dos funciones que tienden a cero cuando \( x \) a a .

Luego cerca de a \( f(x) = L(x) + (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \approx L(x)  \)
Perdón por ser tan recurrente; es que quiero preguntar sobre esta cita, y fijarlo definitivamente: \( f(x)-L(x) \), al ser el producto de dos funciones que tienden a cero muy rápidamente cuando \( x\rightarrow{a} \), se puede hacer \( f(x)\approx{L(x)} \). Luego cerca de \( a \), o en otras palabras, \( [a-\rho,a+\rho]\;,\;\rho>0 \), \( f(x) = L(x) + (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \approx L(x)  \); y cuando \( x\rightarrow{a} \) se puede sustituir \( f \) por \( L \) porque su diferencia \( \left({(x-a) \cdot \epsilon(x-a)}\right)\rightarrow{0} \) muy rápido. ¡Me repito más que la morcilla pimentosa!

El error cometido es como máximo \( |x-a| \) si tomamos como condición \( |\epsilon(x-a)| < 1  \).

Por ejemplo: existe un \( \rho> 0  \) tal que si \(  |x-a| < \rho  \) entonces \( |\epsilon(x-a)| < \dfrac{1}{100}  \).
Luego para todo \( n \in \mathbb{N}  \) si \(  |x-a| < \dfrac{1}{n} < \rho  \) entonces:
\( |f(x)-L(x)| = |(x-a) \cdot \epsilon(x-a)| < \dfrac{1}{100n}  \).

¿Correcto?

Por eso, las coordenadas del vector, del verdadero (dx, df(x)), serán siempre, en valor, (0,0) para cualquier tangente a una curva (al operar la derivada se deshace la indeterminación 0/0 y se sabe la pendiente y, con el punto, se halla la ecuación, pero el vector sigue siendo (0,0)). 

Tenía pendiente este mensaje. No entiendo esta cita, pero la querría entender. Es muy cautivadora, fascinante.

¡Un saludo!

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Hola, feriva, Juan Pablo, Rincón

feriva, acabo de leer tu mensaje por encima. Luego lo leo más detenidamente

Luego \( \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \epsilon(x-a)  \) tal que \( \displaystyle \lim_{x \to a} \epsilon(x-a) = 0  \).
Queda \( f(x)-L(x) = (x-a) \cdot \epsilon(x-a)  \) que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( x-a \), por ser el producto de dos funciones que tienden a cero cuando \( x \) a a .
Creo que lo entiendo, es sólo que para mostrarlo emplearía la cita misma. Es exactamente lo que dice.
Luego cerca de a \( f(x) = L(x) + (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \approx L(x)  \)
Perfecto. Cuando dice cerca de \( a \), se refiere a... Aquí me pierdo un poco, pero creo que yo solito, porque en mi opinión está hablando de continuidad: la función \( f \) es continua en el punto \( a \) si y solo si, para todo \( \epsilon>0 \), existe \( \delta>0 \) tal que si \( |x-a|\leq\delta \), entonces \( |f(x)-f(a)|\leq\epsilon \). Geométricamente, esta condición significa que para cada \( \epsilon \) positivo existe un \( \delta \) positivo tal que la parte de la gráfica de \( f \) dada por
\( G_{\delta}=\{(x,f(x))|x\in{[a-\delta,a+\delta]}\} \)
está contenida en el rectángulo señalado en la figura



La idea era que vieras que \( f(x) -L(x) \) cerca de \( a \) tiende a cero muy rápidamente.
Mis remilgos sobre las palabras "cerca de \( a \)" están totalmente rebatidos. Es el soliloquio sobre la continuidad lo que me tiene intrigado. ¿Encaja?.
Cuando puse \( \epsilon \) lo puse como función podría haber puesto:
\( \dfrac{f(x)-L(x)}{x-a} = k(x-a)  \) con \( \displaystyle \lim_{x \to a} k(x-a) = 0 \).
\( \epsilon \) está perfecto también.

¡Un saludo!

PS: Publico sin previsualizar. Si eso, perdón.

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¡Hola, Rincón!


(Mira a ver si no me he equivocado al decir algo)


¡Todo entendido! Perfecto.


Luego \( \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \epsilon(x-a)  \) tal que \( \displaystyle \lim_{x \to a} \epsilon(x-a) = 0  \).
Queda \( f(x)-L(x) = (x-a) \cdot \epsilon(x-a)  \) que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( x-a \), por ser el producto de dos funciones que tienden a cero cuando \( x \) a a .


¿No sería "que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( \epsilon(x-a) \)"? Perdón, pero, para estar seguro, me gustaría preguntar por qué debería ser lo que digo. O por qué no, si no he dicho bien. O por qué sería indiferente afirmar que cuando \( x\rightarrow{a} \), bien \( (x-a)\rightarrow{0} \), bien \( \epsilon(x-a)\rightarrow{0} \).

Mi idea: Está bien dicho que tiende a cero más rápido que \( (x-a) \), porque se refiere a \( \epsilon(x-a) \), siempre que \( 0<\epsilon<1 \).

¡Un saludo!

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¡Estimado feriva! Hola



En el libro de de Matemáticas especiales de la UNED, creo recordar, lo explicaban con ayuda de la secante y quedaba bastante claro


Sí, es muy gráfico.


Sea \( f(x)=\sqrt{x}
  \). Directamente \( f(9)=3
  \), pero \( f(9,013
  \) ya no es fácil.

Tenemos que la pendiente en un punto (x, f(x)) la sabemos calcular con la derivada, siendo el límite de esto que sigue cuando la variación de equis tiende a cero: \( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\dfrac{df(x)}{dx}
  \).

Que resulta \( \dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{-2}}
  \) y es 1/6 para x=9.

Si en vez de que tienda a cero, haces que la variación tienda a la mantisa del otro número 0,013, ya no es la pendiente en el punto \( (9,3)
  \), pero es la pendiente en un punto cercano a (9,3), con lo que tal pendiente se parecerá bastante en valor; pues es la pendiente en un extremo de la secante cuando ésta ya está bastante “cortita”, cerca del punto.

Entonces, sustituyendo y aproximando a 1/6

\( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}\approx\dfrac{\sqrt{9+0,013}-\sqrt{9}}{0,013}\approx\dfrac{1}{6}
  \)

despejando

\( \sqrt{9+0,013}\approx\dfrac{0,013}{6}+3=3,00216666...
  \)

Y el valor que da la calculadora es \( \sqrt{9,013}=3,002165885
  \).

O sea, he usado la derivada de f(9) y como variación la mantisa, 0,013.


¿El término "mantisa" en este contexto es parecido al de "parte decimal"?

Bueno, ahora voy a escribir unas líneas de texto del libro de Cálculo, a ver si aporto algo al hilo:

Citar
4.7 Aproximaciones lineales
Muchos de los problemas de la matemática aplicada son difíciles de resolver exactamente, y todo lo que podemos esperar es obtener soluciones aproximadas que sean correctas dentro de unos límites pequeños de tolerancia aceptables. En esta sección examinaremos cómo el conocimiento de los valores de una función y de su derivada en un punto nos puede servir para obtener valores aproximados de la función en puntos cercanos.
La tangente a la gráfica \( y=f(x) \) en \( x=a \) describe el comportamiento de dicha gráfica cerca del punto \( P=(a,f(a)) \), mejor que cualquier otra línea recta que pase por \( P \), porque pasa por dicho punto en la misma dirección que la curva \( y=f(x) \) (véase la Figura 4.56). Explotaremos este hecho utilizando la altura hasta la tangente para calcular valores aproximados de \( f(x) \) para valores cercanos a \( a \). La ecuación de la recta tangente es \( y=f(a)+f'(a)(x-a) \)



Denominaremos al miembro derecho de esta ecuación linealización de \( f \) alrededor de \( a \) (o linealización de \( f(x) \)
en \( x=a \)

"DEFINICIÓN 8 La linealización de la función \( f \) alrededor de \( a \) es la función \( L \) definida como

\( L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \)

Se dice que \( f(x)\approx{L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)} \) proporciona una aproximación lineal de los valores de \( f \) cerca de \( a \)."

El siguiente ejemplo ilustra el uso de la linealización para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \)

Ejemplo 3 Utilice la linealización de \( \sqrt{x} \) en \( x=25 \) para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \).

Solución Si \( f(x)=\sqrt{x} \), entonces \( f'(x)=1/(2\sqrt{x}) \). Como sabemos que \( f(25)=5 \) y \( f'(25)=1/10 \), la linealización de \( f(x) \) en \( x=25 \) es

\( L(x)=5+\dfrac{1}{10}(x-25) \)

Haciendo \( x=26 \) se obtiene

\( \sqrt{26}=f(26)\approx{L(26)=5+\dfrac{1}{10}(26-25)=5.1} \)

PS: Mi opinión personal es que este mensaje, y este ejemplo en concreto, no significa nada. Tengo que leer (todavía no lo he hecho) el siguiente párrafo, y a continuación introducción del siguiente epígrafe, Análisis del error. Porque la palabra "cerca" de \( a \), es que no.

¡Un saludo!

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\( f(x) \simeq f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0) = g(x)  \)
Genial.
¡Un saludo! Sigo adelante

46
Hola, estimado Rincón

Citar
Si una cantidad, digamos \( y \), es una función de otra cantidad \( x \), es decir
\( y=f(x) \)
A veces queremos saber cómo un cambio en el valor de \( x \) por una cantidad \( \Delta{x} \) afectará el valor de \( y \). El cambio exacto \( \Delta{y} \) en \( y \) viene dado por

\( \Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x) \)

Pero si el cambio \( \Delta{x} \) es pequeño, entonces podemos obtener una buena aproximación a \( \Delta{y} \) usando el hecho de que \( \Delta{y}/\Delta{x} \) es aproximadamente \( dy/dx \). Entonces,

\( \Delta{y}=\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\Delta{x}\approx{\dfrac{dy}{dx}\Delta{x}=f'(x)\Delta{x}} \)

Es habitualmente conveniente representar esta aproximación en términos de diferenciales; si denotamos el cambio en \( x \) por \( dx \) en lugar de \( \Delta{x} \), entonces el cambio \( \Delta{y} \) en \( y \) es aproximado por el diferencial \( dy \), es decir (véase la Figura 2.25)



\( \Delta{y}\approx{dy=f'(x)dx} \)

Ejemplo 1 Sin usar la calculadora científica, determine aproximadamente por cuánto el valor de \( \sin{x} \) aumenta de \( \pi/3 \) a \( (\pi/3)+0.006 \). ¿Con tres decimales, cuál es el valor de \( \sin{((\pi/3)+0.006)} \)?

Solución Si \( y=\sin{x} \), \( x=\pi/3\approx{1.0472} \), y \( dx=0.006 \), entonces
\( dy=\cos{(x)}dx=\cos\left({\dfrac{\pi}{3}}\right)dx=\dfrac{1}{2}(0.006)=0.003 \)
Por lo tanto, el cambio en el valor de \( \sin{x} \) es aproximadamente \( 0.003 \), y
\( \sin\left({\dfrac{\pi}{3}+0.006}\right)\approx{\sin{\dfrac{\pi}{3}}+0.003}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+0.003=0.869 \)
redondeado a tres decimales

Es esta aproximación \( \sin\left({\dfrac{\pi}{3}+0.006}\right)\approx{\sin{\dfrac{\pi}{3}}+0.003} \). Supongo que es extapolable a cualquier función. Estoy en cálculo, así que Wikipedia habla de cambio en la linealización de una función. La pregunta es: ¿a qué hace referencia, (¡o ya lo ha hecho el texto!) cuando en el ejemplo pide determinar por aproximadamente cuánto el valor de \( \sin{x} \) aumenta de \( \pi/3 \) a \( (\pi/3)+0.006 \)? Es que no lo veo ni en la figura adjunta.
¿Cuál sería la expresión para una función cualquiera?.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 28 Febrero, 2022, 02:51 pm »
¡Entendido! Sigo adelante.
¡Mil gracias, Rincón!

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Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 28 Febrero, 2022, 12:52 pm »
Si \( f(I) \subset I = [a,b]  \) tenemos que \( f(a) \in [a,b]  \) luego \( a \leq f(a) \leq b  \) lo mismo con \( f(b) \).
Por lo anterior , si \( f(b) \leq a  \) sólo ocurre si \( f(b)=a  \) será \(  a \leq f(b) \leq b  \) por lo anterior , por ser \( f(b) \in [a,b]  \)
¡Perfecto! Ya me ha costado
Para la inducción Sea \( x_o \in [a,b]  \), luego tenemos que:
\( |x_1 - r| = |f(x_0) - f(r)| \leq k \cdot |x_0 - r|  \) es cierto.
\( |x_2 - r| = |f(x_1) - f(r)| \leq k \cdot |x_1 - r| \leq  k \cdot k \cdot |x_0 - r| =  k^2 \cdot |x_0 - r|  \).

Lo suponemos cierto hasta \( n \) que \( |x_n - r| \leq k^n \cdot |x_0 - r|  \).
Luego para \( n+1 \).
\( |x_{n+1} - r|  = |f(x_n) - f(r)| \leq k \cdot |x_n - r| \leq k \cdot k^n \cdot |x_0 - r| = k^{n+1} \cdot |x_0 - r|  \)

\( \leq  \) si lo sustituyes por \( < \) , que pasa con el caso \( x_0 = r \), quedaría \( 0<0 \).

Hola

Para el caso en que \( x_0=r \), solamente hay una iteración, ¿no?: \( |x_1-r|=|f(x_0)-f(r)|\leq K |x_0-r|\Rightarrow{x_1=f(x_0)=f(r)}\Rightarrow{0\leq 0} \)

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 27 Febrero, 2022, 08:31 am »
Hola, estimado Rincón, creía haberlo solucionado casi, pero redactando el mensaje me han surgido dos dudas. Primero repito el enunciado del Teorema 8, y luego las soluciones y las dudas 1 y 2.


La iteración del método del punto fijo no funciona siempre. Funciona para una clase particular de funciones. El siguiente teorema garantiza que la iteración del método del punto fijo funciona para ciertas funciones:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i) \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)


convergen a \( r \).

Prueba

(a) La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)

(b) Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que

\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)

Como \( 0<K<1 \), sabemos que \( K^{n}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Esto demuestra que \( \lim_{n\rightarrow{\infty}}{x_n}=r \).

(a)

1) Justificar que \( g(x) \) es continua en \( [a,b] \). Ya probado.

2) Si \( g(a)=0 \) o \( g(b)=0 \), comprobar que ya tenemos punto fijo. Fácil

3) De otra forma, probar que \( g(a) \) y \( g(b) \) tienen diferentes signos. Una raíz de \( g(x) \) cumple que \( f(c)-c=0 \)

Si \( g(a)\neq 0 \), y \( g(b)\neq 0 \)... Se observa que si \( f(I)\subseteq{I} \), concluímos que \( f(a)\geq a \) y \( f(b)\leq b \). Aplicado esto a \( g(x)=f(x)-x \), \( g(a)\geq 0 \) y \( g(b)\leq 0 \). Teorema de Bolzano: existe un \( \delta\in{[a,b]} \) tal que \( g(\delta)=\delta \)

Esta es la solución que me han proporcionado. Pero, ¿por qué si \( f(I)\subseteq{I} \), concluímos que \( f(a)\geq a \) y \( f(b)\leq b \)?

Cita de: Physics Forums
\( I \) está definido como \( [a,b] \), es decir, como \( \{x\in\Bbb{R}\;:\;a\leq x\leq b\} \). De esta forma, decir que \( f(a) \) está en \( I \) es otra forma de decir que \( f(a) \) es real y \( f(a)\geq{a} \) y \( f(a)\leq{b} \). Similarmente para \( f(b) \)

Duda 1: ¿Por qué \( f(I)\subseteq{I} \) implica \( f(a)\geq{a} \) y \( f(a)\leq{b} \). Similarmente por qué \( f(b)\leq{a} \) y \( f(b)\geq{b} \) (no estoy seguro de estas dos últimas desigualdades)

(b)

Utilice la condición (ii) del Teorema 8 e inducción matemática para demostrar que

\( |x_n-r|\leq K^{n}|x_0-r| \)

Como \( 0<K<1 \), sabemos que \( K^{n}\rightarrow{0} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Esto demuestra que \( \lim_{n\rightarrow{\infty}}{x_n}=r \).


Debemos probar que

\( |x_n-r|\leq K^n |x_0-r| \)

1-Observemos para \( n=1 \) y \( n=2 \) (probar base inductiva)

\( |x_1-r|=|f(x_0)-f(r)|\leq K|x_0-r| \)

\( |x_2-r|=|f(x_1)-f(r)|\leq K|x_1-r|\leq\cdot K\cdot |x_0-r|=K^2|x_0-r| \)

2-Asumamos \( n=s \) (plantear la hipótesis)

\( |x_s-r|\leq K^s |x_0-r| \)

3- Demostrar igualdad \( n=s+1 \), para \( s\in{\Bbb{K}} \)

\( |x_{s+1}-r|=|f(x_s)-f(r)|\leq K^{s+1}|x_0-r| \)

Pero \( \begin{cases}K\in{\Bbb{R}}\quad{0<K<1}\\s\in{\Bbb{N}}\end{cases}\Rightarrow{K^{s+1}<K^s} \)

\( |x_{s+1}-r|=|f(x_s)-f(r)|\leq K|x_s - r|\leq K \cdot K^s|x_0-r|= K^{s+1}|x_0-r| \)

Duda 2: me lío. Digo "Pero" hace dos líneas y escribo \( < \):sin embargo en la línea siguiente son \( \leq{} \)

¡Un saludo!

50
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 25 Febrero, 2022, 07:09 am »
Si tienes \(  f(I) \subset I  \) queda que \(  f(a) \geq a  \) y \( f(b) \leq b  \) luego:
\( g(x) = f(x)-x  \) tenemos \( g(a) \geq 0  \) y \( g(b) \leq 0  \) luego por Bolzano existe \( \delta \in [a,b]  \) con \( g(\delta) = \delta  \)   
Genial
Luego \( g(x) = e^{-x} - x  \) tenemos \( g'(x) = -e^{-x} - 1 \) nos queda \( |g'(x)| > 1  \) el punto será repelente.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=119482.0

!Hola primero de todo!

Creo que \( g(x) \) es en este ejercicio \( e^{-x} \)

Juan Pablo, el_manco, geómetracac, Rincón, me sentía tan avergonzado por mis anteriores intervenciones, que he estado estudiando el tema con otro foro, Physics Forums. Y lo que he hecho es en realidad todo lo que me aconsejaba Luis. Creo que se ha solucionado, pero tengo dudas, que en mi próximo mensaje os cuento.

¡Un saludo cordial!

51
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 16 Febrero, 2022, 10:35 pm »
Estimado Rincón:
Perdón, acabo de leer mi último mensaje, y os ruego que sólo os quedéis con... Con nada. Es más, el anterior que publiqué no le va a la zaga. Lo siento, de verdad.  :'(
No sé qué más decir. Bueno, lo que voy a hacer es imprimir el hilo, y estudiarlo.
Un saludo

52
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 16 Febrero, 2022, 05:16 am »
Hola, Luis, estimado Rincón

Este gráfico de Geogebra para un caso concreto (\( x=e^{-x} \)) me ha ayudado un poco.

Voy a repetir el enunciado del teorema (la primera parte y su comprobación), luego la imagen, y finalmente dos dudas:

Citar

El siguiente teorema garantiza para qué funciones el método de iteración del punto fijo funciona:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i) \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)

convergen a \( r \).

Prueba (voy a por la primera de las dos)

La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)


Conclusión que he sacado. El Teorema del Valor Intermedio me ha servido para encontrar en el gráfico algo parecido a un punto fijo: \( f(r)\approx{r} \)



Dudas

Estoy seguro del \( r \) que planteo para la ecuación \( x=e^{-x} \); proviene de un tutorial que parece serio.
¿Por qué \( f(r) \) sólo se aproxima unos pocos decimales, y luego difiere?
¿Cómo es que me estoy apoyando en la condicción (i)? ¿Porque \( [0,1]\subseteq{[0,1]} \)? ¿Que trascendencia tiene esto?

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 13 Febrero, 2022, 02:32 pm »
Hola, estimado Rincón

Cuando dice que \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \) pertenece a \( I \). Por poner un ejemplo: \( f(x)=e^{-x} \) pertenece a \( [0,1] \) siempre que \( x\in {[0,1]} \), sería gráficamente como un cuadrado: es decir, una relación biyectiva. ¿No? Entonces:


1) Justifica que \( g(x) \) es continua en \( [a,b] \).
2) Si \( g(a)=0 \) ó \( g(b)=0 \) entonces comprueba que ya tienes el punto fijo que querías.
3) En otro caso comprueba que \( g(a) \) y \( g(b) \) tienen distinto signo y aplícale el Teorema de Bolzano.


1) La resta de funciones continuas es continua.
2) Si \( x=a \), \( f(a)=a \)
3) En cualquier caso, \( g(x)=0 \)

 ???


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Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 11 Febrero, 2022, 04:17 pm »
Hola, estimado Rincón


La iteración del método del punto fijo no funciona siempre.

Funciona para una clase particular de funciones. El siguiente teorema garantiza que la iteración del método del punto fijo para cuáles:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i)\( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)

convergen a \( r \).

Prueba (1 de 2)

La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)


Mi intento por entenderlo:
1-\( f \) es continua en el intervalo \( I=[a,b] \)
2-\( x\in{I=[a,b]}\Rightarrow{f(x)\in{I=[a,b]}} \), en notación conjuntista, \( \color{red}Im(f)\subseteq{Dom(f)} \); una función que cumple (i): \( f(x)=e^{-x} \), dado que
\( \color{red}Im(f)\subseteq{Dom(f)}\quad \mbox{con}\quad{Dom(f)}=\Bbb{R}\quad{Im(f)=\Bbb{R}\geq{0}} \)

3-Teorema del Valor Intermedio:
Si \( f(x) \) es continua en el intervalo \( [a,b] \) y si \( s \) es un número entre \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un número \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \).
En particular, una función continua definida en un intervalo cerrado toma todos los valores entre su valor mínimo \( m \) y su valor máximo \( M \), de forma que su rango es también un intervalo cerrado, \( [m,M] \).

Mi intento: un corolario del Teorema del Valor Intermedio, el Teorema de Bolzano, al tener una raíz en las abscisas, \( g(c)=0=f(c)-c \), y solucionado. Y \( f(x) \) y \( x \) tienen signos contrarios.

Preguntas: tengo la sensación de ir por el buen  camino, pero no sé por qué

¡Un saludo!

55
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 08 Febrero, 2022, 09:25 pm »
¡Gracias, Rincón!

Un saludo

56
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 08 Febrero, 2022, 05:20 pm »

Que te asegura una derivada no es cierto; ese cociente podría estar acotado pero no existir el límite del mismo. Por ejemplo si consideras la función valor \( f(x)=|x| \) se tiene que:

\( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}={||u|-|v||}{|u-v|}\leq 1 \)

Pero la función valor absoluto no es derivable en cero.

Lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad); si puntos cercanos (denominador pequeño) fuesen a puntos no cercanos (numerador grande) ese cociente no estaría acotado.


Hola, Luis, estimado Rincón

Lo he intentado, pero no lo consigo: no sé si hay que factorizar, o basarse en las propiedades del valor absoluto, pero la expresión (ahora, al visualizar el LaTeX empleado, creo que falta un comando "\dfrac") se me resiste. El \( K \) impuesto, ¿por qué es \( 1 \)? ¿por qué \( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}={||u|-|v||}{|u-v|}\leq 1 \) significa que el cociente está acotado? Es \( {||u|-|v||}{|u-v|}\leq 1 \) la expresión que no consigo.

Mi intento: \( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}=\dfrac{||u|-|v||}{|u-v|}=\dfrac{|u-v|}{|u-v|}= 1\quad{\forall{u,v\in{\Bbb{R}}}} \)
... Un momento...Se ha acotado por \( 1 \)

\( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}=\dfrac{||u|-|v||}{|u-v|}=\dfrac{|u-v|}{|u-v|}= 1\Rightarrow{||u|-|v||\leq 1 |u-v|} \)

No, está mal.

¡Un saludo cordial!

57
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 07 Febrero, 2022, 04:42 pm »
Hola, Luis, Rincón


1) Que el cociente del que hablamos esté acotado, no implica que la función es derivable. Esto es lo más importante que quería señalar ahí.


Perfecto el contraejemplo de la función valor absoluto,


2) Esto es algo general en matemáticas; las ideas intuitivas están bien, muy bien diría, para entender la cosas. Pero no hay que perder de vista que no prueban nada. Uno tiene que ser capaz de demostrar mediante una prueba formal que esas ideas funcionan. Esto puede ser matizable; en la práctica y con experiencia uno tiene clara que cosas pueden ser delicadas a la hora de pasar del esbozo de una idea a una prueba formal concreta, y entonces uno sólo se molesta en detallar lo delicado. Pero no deberías de complicarte mucho con esto.


Totalmente de acuerdo.


Si hice el matiz (2) es porque me sorprendió un poco que, después de estar preguntando sobre la demostración epsilon-delta de la continuidad, te preguntases en alto esto:

Citar
La gran pregunta es: ¿por qué el valor absoluto del cociente de Newton acotado implica continuidad?


Te explico: es un razonamiento que introduje en el hilo a contrapelo, porque quería verter en este hilo toda mi trayectoria hasta la fecha.


como si la demostración sobre la que estabas preguntando antes no contestase a esa pregunta. Pensé que ahí buscabas una idea más intuitiva del asunto. Lo cuál esta muy bien. Aproveché  para recordar qué papel juega lo intuitivo y lo formal en matemáticas.


Lógico.


Entonces para mi no tiene mucho sentido la pregunta: ¿qué tipo de continuidad se formula intuitivamente?. No hay ningún tipo de continuidad que se diferencie de otra por poder ser formulada intuitivamente. Tampoco sé que quieres decir con "contextualizar la prueba formal".


Para mí, ahora, tampoco. Sinceramente, repaso ese mensaje, y es que no lo entiendo. Lo digo de verdad.

Os confieso que este mensaje es el que debéis tener en cuenta. Tengo montado un circo de tres pistas, y algunas veces pues eso, que me despisto.

Conclusión, que persigo este teorema con irregularidades, determinación, incertidumbre...Y eso. También sospecho que voy a tener que echar mano de una profa que ya me ha ayudado en una ocasión. También me persigue la sombra de la derrota...Es igual, esa sombra es un invariante de todas las empresas.

Bueno, no sé cómo terminar este mensaje. Sí, con un abrazo.

¡Un saludo!

 


58
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 07 Febrero, 2022, 02:23 am »

Nosotros queremos conseguir:

OBJETIVO: \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \) bajo el supuesto de que \( |u-v|<\delta \).

Sabemos por el momento que:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

Entonces completaríamos la prueba si fuesemos capaces de asegurar que \( K\delta<\epsilon \) porque en ese caso tendríamos:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta\color{red}<\color{black}\epsilon \)

Entonces tenemos que es coger un \( \delta \) que nos garantice que ese menor que he puesto en rojo se cumple.


Perfecto. Una pregunta: hemos realizado una prueba epsilon-delta, lo cual implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b],\quad{\forall{u,v\in{I}}} \). Realizaré la pregunta en la próxima cita que hago a continuación;


Citar
está acotado por \( K \), es decir, tendremos un límite para ese cociente de Newton, y por lo tanto una derivada, y finalmente continuidad.

Que te asegura una derivada no es cierto; ese cociente podría estar acotado pero no existir el límite del mismo. Por ejemplo si consideras la función valor \( f(x)=|x| \) se tiene que:

\( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}={||u|-|v||}{|u-v|}\leq 1 \)

Pero la función valor absoluto no es derivable en cero.

Lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad); si puntos cercanos (denominador pequeño) fuesen a puntos no cercanos (numerador grande) ese cociente no estaría acotado.


Entonces está bien mezclar intuición y rigurosidad.


Intuición: lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad)
Rigurosidad: se ha probado formalmente la continuidad

Preguntas: ¿qué tipo de continuidad se formula intuitivamente?;¿hay que contextualizar la prueba formal? Está claro que intuitivamente, por sí misma, no funciona.

¡Un saludo!

59
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 06 Febrero, 2022, 02:55 pm »
La gran pregunta es: ¿por qué el valor absoluto del cociente de Newton acotado implica continuidad?

Todavía tengo incertidumbre, pero pienso lo siguiente después de haber leído el libro de texto (Calculus, a complete course, 9th edition, Robert A. Adams, Christopher Essex): "(...) una precisa definición de límite está basada en la idea de controlar la entrada \( x \) de una función \( f \) tal que la salida \( f(x) \) permanezca en un intervalo específico. Cuando decimos que \( f(x) \) tiene límite \( L \) cuando \( x \) se aproxima a \( a \), estamos realmente diciendo que podemos asegurar que el error \( |f(x)-L| \) será menor que cualquier tolerancia admisible, no importa cuán pequeña, tomando un \( x \) suficientemente cercano a \( a \) (pero no igual a \( a \))." Estas palabras significan que
\( \dfrac{f(u)-f(v)}{u-v} \)
está acotado por \( K \), es decir, tendremos un límite para ese cociente de Newton, y por lo tanto una derivada, y finalmente continuidad.
¿Es correcto?

¡Un saludo!

60
Cálculo 1 variable / Re: Pistas para un teorema del punto fijo
« en: 06 Febrero, 2022, 11:55 am »

El \( \epsilon \) es un valor dado; no puede escoger tu el que quieras. Ahora necesitamos escoger un \( \delta \) que nos garantice que si \( |u-v|<\delta \) entonces \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \)

 Para ello sabemos que \( |f(u)-f(v)|<K|u-v| \). Entonces si \( |u-v|<\delta \) tendríamos:

 \( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)


Perfecto


para poder garantizar que eso es menor que \( \color{red}\delta \), es decir, \( K\delta<\color{red}\delta \) basta escoger \( \delta\color{red}\leq\color{black}\epsilon/K \) (por ejemplo por concretar \( \delta\color{red}\leq\color{black}\epsilon/(2K) \) )


Yo lo escribiría así en el caso de esta cita.

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<\delta\Rightarrow{k\delta<\delta}\rightarrow{\delta\leq{(\epsilon/k)}} \)

Pero no estoy seguro de haber entendido la cita de Luis que he chapuceado de color rojo.


No estoy seguro de entender la pregunta. \( \epsilon \)  y \( \delta \) son radios de entornos (intervalos) que tomamos respectivamente centrados en la imagen del punto y en en punto.


Era una pregunta que en la imagen adjuntada posteriormente se aclaraba (pero no lo he sabido hasta hace poco tiempo)


Aunque falles estrepitosamente en las conclusiones, intentando hacer las cosas y equivocándose es como se aprende. Así que todo es aprovechable.


¡Gracias!

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