Luego \( \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \epsilon(x-a)  \) tal que \( \displaystyle \lim_{x \to a} \epsilon(x-a) = 0  \).
Queda \( f(x)-L(x) = (x-a) \cdot \epsilon(x-a)  \) que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( x-a \), por ser el producto de dos funciones que tienden a cero cuando \( x \) a a .

Luego cerca de a \( f(x) = L(x) + (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \approx L(x)  \)

La idea era que vieras que \( f(x) -L(x) \) cerca de \( a \) tiende a cero muy rápidamente.

Cuando puse \( \epsilon \) lo puse como función podría haber puesto:
\( \dfrac{f(x)-L(x)}{x-a} = k(x-a)  \) con \( \displaystyle \lim_{x \to a} k(x-a) = 0 \).

En el libro de de Matemáticas especiales de la UNED, creo recordar, lo explicaban con ayuda de la secante y quedaba bastante claro

Sea \( f(x)=\sqrt{x}
  \). Directamente \( f(9)=3
  \), pero \( f(9,013
  \) ya no es fácil.

Tenemos que la pendiente en un punto (x, f(x)) la sabemos calcular con la derivada, siendo el límite de esto que sigue cuando la variación de equis tiende a cero: \( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}=\dfrac{df(x)}{dx}
  \).

Que resulta \( \dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{-2}}
  \) y es 1/6 para x=9.

Si en vez de que tienda a cero, haces que la variación tienda a la mantisa del otro número 0,013, ya no es la pendiente en el punto \( (9,3)
  \), pero es la pendiente en un punto cercano a (9,3), con lo que tal pendiente se parecerá bastante en valor; pues es la pendiente en un extremo de la secante cuando ésta ya está bastante “cortita”, cerca del punto.

Entonces, sustituyendo y aproximando a 1/6

\( \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}\approx\dfrac{\sqrt{9+0,013}-\sqrt{9}}{0,013}\approx\dfrac{1}{6}
  \)

despejando

\( \sqrt{9+0,013}\approx\dfrac{0,013}{6}+3=3,00216666...
  \)

Y el valor que da la calculadora es \( \sqrt{9,013}=3,002165885
  \).

O sea, he usado la derivada de f(9) y como variación la mantisa, 0,013.

4.7 Aproximaciones lineales
Muchos de los problemas de la matemática aplicada son difíciles de resolver exactamente, y todo lo que podemos esperar es obtener soluciones aproximadas que sean correctas dentro de unos límites pequeños de tolerancia aceptables. En esta sección examinaremos cómo el conocimiento de los valores de una función y de su derivada en un punto nos puede servir para obtener valores aproximados de la función en puntos cercanos.
La tangente a la gráfica \( y=f(x) \) en \( x=a \) describe el comportamiento de dicha gráfica cerca del punto \( P=(a,f(a)) \), mejor que cualquier otra línea recta que pase por \( P \), porque pasa por dicho punto en la misma dirección que la curva \( y=f(x) \) (véase la Figura 4.56). Explotaremos este hecho utilizando la altura hasta la tangente para calcular valores aproximados de \( f(x) \) para valores cercanos a \( a \). La ecuación de la recta tangente es \( y=f(a)+f'(a)(x-a) \)



Denominaremos al miembro derecho de esta ecuación linealización de \( f \) alrededor de \( a \) (o linealización de \( f(x) \)
en \( x=a \)

"DEFINICIÓN 8 La linealización de la función \( f \) alrededor de \( a \) es la función \( L \) definida como

\( L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \)

Se dice que \( f(x)\approx{L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)} \) proporciona una aproximación lineal de los valores de \( f \) cerca de \( a \)."

El siguiente ejemplo ilustra el uso de la linealización para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \)

Ejemplo 3 Utilice la linealización de \( \sqrt{x} \) en \( x=25 \) para obtener un valor aproximado de \( \sqrt{26} \).

Solución Si \( f(x)=\sqrt{x} \), entonces \( f'(x)=1/(2\sqrt{x}) \). Como sabemos que \( f(25)=5 \) y \( f'(25)=1/10 \), la linealización de \( f(x) \) en \( x=25 \) es

\( L(x)=5+\dfrac{1}{10}(x-25) \)

Haciendo \( x=26 \) se obtiene

\( \sqrt{26}=f(26)\approx{L(26)=5+\dfrac{1}{10}(26-25)=5.1} \)

Si una cantidad, digamos \( y \), es una función de otra cantidad \( x \), es decir

\( y=f(x) \)

A veces queremos saber cómo un cambio en el valor de \( x \) por una cantidad \( \Delta{x} \) afectará el valor de \( y \). El cambio exacto \( \Delta{y} \) en \( y \) viene dado por

\( \Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x) \)

Pero si el cambio \( \Delta{x} \) es pequeño, entonces podemos obtener una buena aproximación a \( \Delta{y} \) usando el hecho de que \( \Delta{y}/\Delta{x} \) es aproximadamente \( dy/dx \). Entonces,

\( \Delta{y}=\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\Delta{x}\approx{\dfrac{dy}{dx}\Delta{x}=f'(x)\Delta{x}} \)

Es habitualmente conveniente representar esta aproximación en términos de diferenciales; si denotamos el cambio en \( x \) por \( dx \) en lugar de \( \Delta{x} \), entonces el cambio \( \Delta{y} \) en \( y \) es aproximado por el diferencial \( dy \), es decir (véase la Figura 2.25)

\( \Delta{y}\approx{dy=f'(x)dx} \)

Ejemplo 1 Sin usar la calculadora científica, determine aproximadamente por cuánto el valor de \( \sin{x} \) aumenta de \( \pi/3 \) a \( (\pi/3)+0.006 \). ¿Con tres decimales, cuál es el valor de \( \sin{((\pi/3)+0.006)} \)?

Solución Si \( y=\sin{x} \), \( x=\pi/3\approx{1.0472} \), y \( dx=0.006 \), entonces

\( dy=\cos{(x)}dx=\cos\left({\dfrac{\pi}{3}}\right)dx=\dfrac{1}{2}(0.006)=0.003 \)

Por lo tanto, el cambio en el valor de \( \sin{x} \) es aproximadamente \( 0.003 \), y

\( \sin\left({\dfrac{\pi}{3}+0.006}\right)\approx{\sin{\dfrac{\pi}{3}}+0.003}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+0.003=0.869 \)

redondeado a tres decimales

Si \( f(I) \subset I = [a,b]  \) tenemos que \( f(a) \in [a,b]  \) luego \( a \leq f(a) \leq b  \) lo mismo con \( f(b) \).
Por lo anterior , si \( f(b) \leq a  \) sólo ocurre si \( f(b)=a  \) será \(  a \leq f(b) \leq b  \) por lo anterior , por ser \( f(b) \in [a,b]  \)

Para la inducción Sea \( x_o \in [a,b]  \), luego tenemos que:
\( |x_1 - r| = |f(x_0) - f(r)| \leq k \cdot |x_0 - r|  \) es cierto.
\( |x_2 - r| = |f(x_1) - f(r)| \leq k \cdot |x_1 - r| \leq  k \cdot k \cdot |x_0 - r| =  k^2 \cdot |x_0 - r|  \).

Lo suponemos cierto hasta \( n \) que \( |x_n - r| \leq k^n \cdot |x_0 - r|  \).
Luego para \( n+1 \).
\( |x_{n+1} - r|  = |f(x_n) - f(r)| \leq k \cdot |x_n - r| \leq k \cdot k^n \cdot |x_0 - r| = k^{n+1} \cdot |x_0 - r|  \)

\( \leq  \) si lo sustituyes por \( < \) , que pasa con el caso \( x_0 = r \), quedaría \( 0<0 \).

Si tienes \(  f(I) \subset I  \) queda que \(  f(a) \geq a  \) y \( f(b) \leq b  \) luego:
\( g(x) = f(x)-x  \) tenemos \( g(a) \geq 0  \) y \( g(b) \leq 0  \) luego por Bolzano existe \( \delta \in [a,b]  \) con \( g(\delta) = \delta  \)   

Luego \( g(x) = e^{-x} - x  \) tenemos \( g'(x) = -e^{-x} - 1 \) nos queda \( |g'(x)| > 1  \) el punto será repelente.

El siguiente teorema garantiza para qué funciones el método de iteración del punto fijo funciona:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i) \( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)

convergen a \( r \).

Prueba (voy a por la primera de las dos)

La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)

La iteración del método del punto fijo no funciona siempre.

Funciona para una clase particular de funciones. El siguiente teorema garantiza que la iteración del método del punto fijo para cuáles:

TEOREMA 8 Un teorema del punto fijo

Supongamos que \( f \) está definida en un intervalo \( I=[a,b] \) y cumple las dos siguientes condiciones:

(i)\( f(x) \) pertenece a \( I \) siempre que \( x \)  pertenezca a \( I \).
(ii) Existe una constante \( K \), con \( 0<K<1 \), tal que para todos \( u \) y \( v \) pertenecientes a \( I \),

\( |f(u)-f(v)|\leq K|u-v| \)

Entonces \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \), es decir, \( f(r)=r \), y empezando con cualquier número \( x_0 \) en \( I \), las iteraciones

\( x_1=f(x_0),\qquad x_2=f(x_1),... \)

convergen a \( r \).

Prueba (1 de 2)

La condición (ii) del Teorema 8 implica que \( f \) es continua en \( I=[a,b] \). Utilice la condición (i) para demostrar que \( f \) tiene un punto fijo \( r \) en \( I \).
Sugerencia: Aplique el Teorema del Valor Intermedio a \( g(x)=f(x)-x \) en \( [a,b] \)

Que te asegura una derivada no es cierto; ese cociente podría estar acotado pero no existir el límite del mismo. Por ejemplo si consideras la función valor \( f(x)=|x| \) se tiene que:

\( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}={||u|-|v||}{|u-v|}\leq 1 \)

Pero la función valor absoluto no es derivable en cero.

Lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad); si puntos cercanos (denominador pequeño) fuesen a puntos no cercanos (numerador grande) ese cociente no estaría acotado.

Nosotros queremos conseguir:

OBJETIVO: \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \) bajo el supuesto de que \( |u-v|<\delta \).

Sabemos por el momento que:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

Entonces completaríamos la prueba si fuesemos capaces de asegurar que \( K\delta<\epsilon \) porque en ese caso tendríamos:

\( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta\color{red}<\color{black}\epsilon \)

Entonces tenemos que es coger un \( \delta \) que nos garantice que ese menor que he puesto en rojo se cumple.

Citar

está acotado por \( K \), es decir, tendremos un límite para ese cociente de Newton, y por lo tanto una derivada, y finalmente continuidad.

Que te asegura una derivada no es cierto; ese cociente podría estar acotado pero no existir el límite del mismo. Por ejemplo si consideras la función valor \( f(x)=|x| \) se tiene que:

\( \dfrac{|f(u)-f(v)|}{|u-v|}={||u|-|v||}{|u-v|}\leq 1 \)

Pero la función valor absoluto no es derivable en cero.

Lo que dice la acotación de ese cociente es que "puntos cercanos van a puntos cercanos" (idea de continuidad); si puntos cercanos (denominador pequeño) fuesen a puntos no cercanos (numerador grande) ese cociente no estaría acotado.


Entonces está bien mezclar intuición y rigurosidad.

El \( \epsilon \) es un valor dado; no puede escoger tu el que quieras. Ahora necesitamos escoger un \( \delta \) que nos garantice que si \( |u-v|<\delta \) entonces \( |f(u)-f(v)|<\epsilon \)

 Para ello sabemos que \( |f(u)-f(v)|<K|u-v| \). Entonces si \( |u-v|<\delta \) tendríamos:

 \( |f(u)-f(v)|<K|u-v|<K\delta \)

para poder garantizar que eso es menor que \( \color{red}\delta \), es decir, \( K\delta<\color{red}\delta \) basta escoger \( \delta\color{red}\leq\color{black}\epsilon/K \) (por ejemplo por concretar \( \delta\color{red}\leq\color{black}\epsilon/(2K) \) )

No estoy seguro de entender la pregunta. \( \epsilon \)  y \( \delta \) son radios de entornos (intervalos) que tomamos respectivamente centrados en la imagen del punto y en en punto.

Aunque falles estrepitosamente en las conclusiones, intentando hacer las cosas y equivocándose es como se aprende. Así que todo es aprovechable.