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Cálculo 1 variable / Re: Derivadas para aproximación de pequeños cambios
« en: 09 Marzo, 2022, 05:46 am »
Hola
El error cometido es como máximo \( |x-a| \) si tomamos como condición \( |\epsilon(x-a)| < 1 \).
Por ejemplo: existe un \( \rho> 0 \) tal que si \( |x-a| < \rho \) entonces \( |\epsilon(x-a)| < \dfrac{1}{100} \).
Luego para todo \( n \in \mathbb{N} \) si \( |x-a| < \dfrac{1}{n} < \rho \) entonces:
\( |f(x)-L(x)| = |(x-a) \cdot \epsilon(x-a)| < \dfrac{1}{100n} \).
¿Correcto?
Tenía pendiente este mensaje. No entiendo esta cita, pero la querría entender. Es muy cautivadora, fascinante.
¡Un saludo!
Como te dice feriva la función \( f \) es derivable en \( a \) luego continua,Bueno, efectivamente; había reculado un instante, con el tema que me traía de cabeza; las palabras "cerca de a"
lo que pretende el ejercicio es que de todas las rectas que pasan por \( (a,f(a)) \) la recta \( L \) es la que mejor aproxima a \( f \) en \( a \), y cuando estés cerca de \( a \) (y lo tenemos probado)Sí, está probado en esta siguiente cita:
Te dicen que de todas las rectas que pasan por \( (a,f(a)) \) la recta \( L(x) = f'(a) \cdot (x-a) + f(a) \) es la recta que mejor aproxima y la prueba la puedes hacer por:Perdón por ser tan recurrente; es que quiero preguntar sobre esta cita, y fijarlo definitivamente: \( f(x)-L(x) \), al ser el producto de dos funciones que tienden a cero muy rápidamente cuando \( x\rightarrow{a} \), se puede hacer \( f(x)\approx{L(x)} \). Luego cerca de \( a \), o en otras palabras, \( [a-\rho,a+\rho]\;,\;\rho>0 \), \( f(x) = L(x) + (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \approx L(x) \); y cuando \( x\rightarrow{a} \) se puede sustituir \( f \) por \( L \) porque su diferencia \( \left({(x-a) \cdot \epsilon(x-a)}\right)\rightarrow{0} \) muy rápido. ¡Me repito más que la morcilla pimentosa!
\( \displaystyle \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) -f(a) - f'(a) \cdot (x-a) }{x-a} = \lim_{x \to a} \dfrac{f(x) -f(a)}{x-a} - f'(a) = f'(a) - f'(a) \).
Luego \( \dfrac{f(x) - L(x)}{x-a} = \epsilon(x-a) \) tal que \( \displaystyle \lim_{x \to a} \epsilon(x-a) = 0 \).
Queda \( f(x)-L(x) = (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \) que en \( a \) tiende a cero más rápido que \( x-a \), por ser el producto de dos funciones que tienden a cero cuando \( x \) a a .
Luego cerca de a \( f(x) = L(x) + (x-a) \cdot \epsilon(x-a) \approx L(x) \)
El error cometido es como máximo \( |x-a| \) si tomamos como condición \( |\epsilon(x-a)| < 1 \).
Por ejemplo: existe un \( \rho> 0 \) tal que si \( |x-a| < \rho \) entonces \( |\epsilon(x-a)| < \dfrac{1}{100} \).
Luego para todo \( n \in \mathbb{N} \) si \( |x-a| < \dfrac{1}{n} < \rho \) entonces:
\( |f(x)-L(x)| = |(x-a) \cdot \epsilon(x-a)| < \dfrac{1}{100n} \).
¿Correcto?
Por eso, las coordenadas del vector, del verdadero (dx, df(x)), serán siempre, en valor, (0,0) para cualquier tangente a una curva (al operar la derivada se deshace la indeterminación 0/0 y se sabe la pendiente y, con el punto, se halla la ecuación, pero el vector sigue siendo (0,0)).
Tenía pendiente este mensaje. No entiendo esta cita, pero la querría entender. Es muy cautivadora, fascinante.
¡Un saludo!