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Jusatamente dice eso y lo puede ver en la calculadora, la calculadora interpreta \( y^x = e^{x \cdot \log(y)} \).
Supón \( x = e \) e \( y=\sqrt{2} \) entonces haces \( \color{red}e\color{black} \cdot \log(\sqrt{2}) \) en la calculadora, llamas a la función \( e^x \) y le pones este resultado.
Directamente con la función \( x^{\blacksquare} \) escribes \( (\sqrt{2}) \) luego aprietas la función en la calculadora y luego pones el numero \( e \) elevado a uno.
está usando que por definición \( y^x = e^{x \cdot \log(y)} \).
No entiendo la primera cita que hago...Bueno, la duda está solucionada, pero me queda esa espina.
En el caso de \( x=1 \) la fórmula dada en el Teorema 6 toma la siguiente forma:\( e=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\left({1+\dfrac{1}{n}}\right)^n} \)
Podemos utilizar esta fórmula para calcular aproximaciones a \( e \), como se muestra en la Tabla 2. Al obtener los números de esta tabla hemos hecho trampa en cierto sentido. Se obtuvieron utilizando la función \( y^x \) en una calculadora científica. Sin embargo, esta función se calcula realmente como \( e^{x\ln y} \).
(...)
Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial
En muchos procesos naturales intervienen cantidades que crecen o decrecen con una velocidad proporcional a su tamaño. Por ejemplo, la masa de un cultivo de bacterias que crece en un medio que proporciona los nutrientes adecuados crecerá con una velocidad proporcional a dicha masa. El valor de una inversión con interés compuesto crece con una velocidad proporcional a dicho valor. La masa de material radiactivo no descompuesto en una muestra decrece con una velocidad proporcional a dicha masa.
Todos estos fenómenos, y otros que muestran un comportamiento similar, se pueden modelar matemáticamente de la misma forma. Si \( y=y(t) \) indica el valor de una cantidad \( y \) en el instante \( t \), y si \( y \) cambia con una velocidad proporcional a su tamaño, entonces\( \dfrac{dy}{dt}=ky \)
siendo \( k \) la constante de proporcionalidad. La ecuación anterior se denomina ecuación diferencial de crecimiento o decrecimiento exponencial ya que, para cualquier valor de la constante \( C \), la función \( y=Ce^{kt} \) cumple la ecuación. De hecho, si \( y(t) \) representa cualquier solución de la ecuación diferencial \( y'=ky \), entonces\( \dfrac{d}{dt}\left({\dfrac{y(t)}{e^{kt}}}\right)=\dfrac{e^{kt}y'(t)-ke^{kt}y(t)}{e^{2kt}}=\dfrac{y'(t)-ky(t)}{e^{kt}}=0\quad\mbox{para todo}\;{t} \)
Entonces \( y(t)/e^{kt}=C \), una constante, e \( y(t)=Ce^{kt} \). Como \( y(0)=Ce^0=C \),El problema de valor inicial \( \begin{cases}{\dfrac{dy}{dt}=ky}\\y(0)=y_0\end{cases} \) tiene como solución única \( y=y_0e^{kt} \)
Si \( y_0>0 \), entonces \( y(t) \) es una función creciente con \( t \) si \( k>0 \) y es una función decreciente con \( t \) si \( k<0 \). Se dice que la cantidad \( y \) presenta un crecimiento exponencial si \( k>0 \) y un decrecimiento exponencial si \( k<0 \). Véase la figura 3.15.
Figura 3.15 Soluciones del problema del valor inicial \( dy/dt=ky \), \( y(0)=y_0 \) para \( k>0 \), \( k=0 \) y \( k<0 \)
¿Pero exactamente qué duda tienes al respecto?.
Pero estás confundiendo dos cosas distintas:
- Una cosa es que la función \( x^x \) no esté definida para \( x=0 \).
- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:
\( a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)
y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.
Lo que nos puede servir es calcular el limite por derecha (ya que es solo para x>0) y ver que valor obtenemos.
Luego recordar que para x>0 tenemos base positiva y exponente positivo por lo que siempre será positiva.
Vamos con ello:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{e^{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{\frac{\ln(x)}{1/x}}} \)
Aquí aplicamos L'hopital:
\( \displaystyle e^{\lim_{x \to{0^+}}{-x}}=1 \)
Luego no puede tener raices.
Lo que vale \( 0^0 \) depende de la convención que se tome y el contexto. Si lo que quieres es continuar la función \( f(x)=x^x \) en el cero lo puedes hacer definiendo \( f(0):= \lim_{x\to 0}f(x) \), si tal límite existe (que en este caso existe y es \( 1 \), como se ve en la gráfica). Debido a lo anterior la convención usual es definir \( 0^0:=1 \). Pero en este caso sería una función diferente a la original, ya que su dominio es distinto.
La pregunta es: ¿por qué nunca vale cero?. Se me ocurre que la forma de probarlo es probar la discontinuidad en ese punto; o que no esté definido:
\( x^0=1 \), y \( 0^x=0 \)
Pero estás confundiendo dos cosas distintas:
- Una cosa es que la función \( x^x \) no esté definida para \( x=0 \).
- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:
\( a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)
y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.
- Otra cosa distinta es que la función \( f(x)=x^x \) con \( x>0 \) nunca tome el valor \( 0 \), es decir, no exista un \( a>0 \) tal que \( a^a=0 \). Esto es consecuencia directa de la definición:
\( a^a=e^{a\cdot ln(a)} \)
y de las propiedades/definición de la exponencial sabes que esta nunca sea anula.
Lo que nos puede servir es calcular el limite por derecha (ya que es solo para x>0) y ver que valor obtenemos.
Luego recordar que para x>0 tenemos base positiva y exponente positivo por lo que siempre será positiva.
Vamos con ello:
\( \displaystyle\lim_{x \to{0^+}}{e^{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{x\ln(x)}}=e^{\lim_{x \to{0^+}}{\frac{\ln(x)}{1/x}}} \)
Aquí aplicamos L'hopital:
\( \displaystyle e^{\lim_{x \to{0^+}}{-x}}=1 \)
Luego no puede tener raices.
Espero que esto te aclare la duda, si no, pregunta nuevamente.
Ejemplo 7 Calcule el punto crítico de \( y=x^x \)
Solución No se puede diferenciar \( x^x \) tratándolo como una potencia (como \( x^a \)), ya que el exponente varía. Tampoco se puede tratar como una función exponencial (como a^x) porque la base varía. Pero podemos diferenciarlo si lo escribimos primero en términos de la función exponencial \( x^x=x^{x\mbox{ln}\;x} \) y utilizamos después la Regla de la Cadena y la Regla del Producto:\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x\mbox{ln}\;x}=e^{x\mbox{ln}\;x}\left({\mbox{ln}\;x+x\left({\dfrac{1}{x}}\right)}\right)=x^x(1+\mbox{ln}\;x) \)
\( x^x \) está definida sólo para \( x>0 \) y nunca vale 0 (¿por qué?). Por tanto el punto crítico se produce cuando \( 1+\mbox{ln}\;x=0 \), es decir, \( \mbox{ln}x=-1 \) o \( x=1/e \)
Hola, Marcos.
A mí esto me pasaba mucho cuando estaba en la UNED y estudiaba solo con los libros. Cuando algo es sencillo, muchas veces, le buscamos cinco pies al gato, nos decimos: “no puede ser sólo eso”. Esperamos de antemano que todo sea más o menos difícil y cueste esfuerzo. Con un profesor delante, en cambio, es mucho más raro que ocurra, aunque sea sólo por el tono de voz y por los gestos. Si, en directo, por ejemplo (esto es una exageración en cuanto a sencillez) un profesor te dice que para todo real conocemos la propiedad \( a\cdot1=a
\), que se había visto para \( r \cdot 1=r \) y que ahora podemos ver que tampoco hay problema para \( x\cdot1=x
\), lo cuenta como quien no quiere la cosa, sin darle mucha importancia, y continúa explicando. Cuando realmente hay algo que requiere esfuerzo en cuanto entendimiento, el profesor se para, pide especial atención... no es igual.
En fin, que es el problema de estudiar solo (Solo en casa, como la peli).
Saludos.
No tienes que pedir perdón
Me faltó también explicar mejor sobre tu segunda duda. La notación \( A:=B \) significa que el símbolo \( A \) se va a utilizar como sinónimo del símbolo \( B \) (del cual ya supuestamente conocemos su significado). Entonces decimos que definimos lo que significa \( A \) como sinónimo de \( B \). Por ejemplo si escribo \( f(x):=\sen x \) estoy diciendo que el símbolo (o conjunto de símbolos más bien) \( f(x) \) es lo mismo que si hubiese escrito \( \sen x \), donde se sobreentiende que \( x \) es una variable, entonces la igualdad \( f(\pi/2)=1 \) es cierta, ya que hemos definido el símbolo \( f(\pi/2) \) como sinónimo de \( \sin (\pi/2) \).
Esto se usa muchísimo en matemáticas, ya que si tenemos una expresión muy complicada podemos darle un nombre más corto para no tener que escribirla cada vez. En tu caso el libro define \( e^x:=\exp(x) \) cuando \( x \) es irracional, lo que significa que los símbolos \( e^x \) van a significar lo mismo que los símbolos \( \exp(x) \) cuando \( x \) es irracional. Como tenías la igualdad (no definición) \( e^x=\exp(x) \) para todo número racional \( x \), entonces con la definición anterior tienes que \( e^x=\exp(x) \) para todo número real \( x \). Espero que quede más claro, aunque con la explicación de Luis seguro ya te quedó claro.
Sobre la primera duda: ahí mismo te están diciendo que \( \ln x \) está definido para todo \( x>0 \), si \( x\in (0,1) \) entonces \( \ln x =-A_x \), y si \( x\geqslant 1 \) entonces \( \ln x=A_x \). Es decir. ahí sólo se define el logaritmo para \( x>0 \) solamente.
. Quería preguntar: ¿\( \mbox{dom}=\{x\in\mathbb R:x>0\} \)? Duda solucionada
- Ahora no sabemos que significa \( e^x \) cuando \( x \) es irracional, porque aun no te han definido las potencias irracionales de un número. Pues bien el libro propone DEFINIR:
\( e^x=exp(x) \) cuando \( x \) es irracional
La definición es coherente en cuanto que de manera independiente sabemos que significa \( e^r \) y \( exp(r) \) cuando \( r \) es racional y hemos demostrado que en ese caso ambas nociones coinciden \( e^r=exp(r) \).
porque aun no te han definido las potencias irracionales de un número
Primera duda: ¿lo hace para todo \( x \) real?
Segunda duda: no entiendo esta observación crucial. He perdido la visión de conjunto.
Las dos propiedades \( (d/dx)\mbox{ln}\;x=1/x \) y \( \mbox{ln}\;1=0 \) sirven para determinar completamente la función \( \mbox{ln}\;x \) (esto se deduce del Teorema 13 de la sección 2.6). A partir de estas dos propiedades se puede deducir que \( \mbox{ln}\;x \) cumple las leyes apropiadas de los logaritmos.Teorema 13Si una función es constante en un intervalo, entonces su derivada será cero en dicho intervalo. El Teorema del Valor Medio nos permite
demostrar la afirmación recíproca[cerrar]
TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior del \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos). Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \).
DEMOSTRACIÓN Sea un punto \( x_0 \) de \( I \) y sea \( C=f(x_0) \). Si \( x \) es otro punto de \( I \), entonces el Teorema del Valor Medio dice que debe existir un punto \( c \) entre \( x_0 \) y \( x \) tal que\( \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(c) \)
El punto \( c \) debe pertenecer a \( I \) porque el intervalo contiene a todos los puntos entre los dos citados, y \( c \) no puede ser un extremo de \( I \) ya que \( c\neq x_0 \) y \( c\neq x \). Como \( f'(c)=0 \) para todos esos puntos \( c \), tenemos que \( f(x)-f(x_0)=0 \) para todo \( x \) en \( I \), y \( f(x)=f(x_0)=C \), como queríamos demostrar.
