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Mensajes - Marcos Castillo

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2081
Teoría de Conjuntos / Re: Coeficiente binomial y conjuntos
« en: 22 Septiembre, 2012, 11:18 pm »
Hola. Con un ejemplo a ver si me aclaro: Sea \( A=\left\{{a,b,c}\right\} \). \( P(A)=\left\{{\emptyset,\left\{{a}\right\},\left\{{b}\right\},\left\{{c}\right\},\left\{{a,b}\right\},\left\{{a,c}\right\},\left\{{b,c}\right\},A}\right\} \).
Es fácil ver que hay el mismo número de conjuntos con un elemento (\( n=1 \)) que el número de conjuntos con \( m-n=3-1=2 \). Pero no consigo probarlo a través de una aplicación. Si para cada subconjunto B de cardinalidad 1 la aplicación le asigna su complementario, éste sería \( f(\left\{{a}\right\})=\left\{{\emptyset,\left\{{b}\right\},\left\{{c}\right\},\left\{{a,b}\right\},\left\{{a,c}\right\},\left\{{b,c}\right\},A}\right\} \); \( f(\left\{{b}\right\})=\left\{{\emptyset,\left\{{a}\right\},\left\{{c}\right\},\left\{{a,b}\right\},\left\{{a,c}\right\},\left\{{b,c}\right\},A}\right\} \); y finalmente \( f(\left\{{c}\right\})=\left\{{\emptyset,\left\{{a}\right\},\left\{{b}\right\},\left\{{a,b}\right\},\left\{{a,c}\right\},\left\{{b,c}\right\},A}\right\} \). Pero entonces estos conjuntos tienen cardinalidad 7.
¿En qué me equivoco? ???

2082
Teoría de Conjuntos / Coeficiente binomial y conjuntos
« en: 22 Septiembre, 2012, 06:28 pm »
Hola. Me ha surgido una duda más en el libro que estoy estudiando de mates. El texto primero enuncia una proposición, y luego el ejemplo. Dice así:
"Proposición: Sea \( A \) un conjunto finito tal que \( card(A)=m \). Sea \( 0\leq{n}\leq{m} \). El número de subconjuntos de \( A \) que poseen exactamente \( n \) elementos es \( \displaystyle\binom{m}{n} \).
Ejemplo: Interpretación teórica de la fórmula \( \displaystyle\binom{m}{n}=\displaystyle\binom{m}{m-n} \) si \( 0\leq{n}\leq{m} \).
La fórmula es evidente si se utiliza la expresión \( \displaystyle\binom{m}{n}=\displaystyle\frac{m!}{n!(m-n)!} \).
Conceptualmente es también sencilla de establecer: La aplicación \( f:P(A)\longrightarrow{P(A)} \)(del conjunto de las partes del conjunto \( A \) en sí mismo) tal que \( f(B)=A-B \) es una biyección. En particular establece una biyección entre el conjunto de subconjuntos de \( n \) elementos con el conjunto de subconjuntos de \( m-n \) elementos."
No consigo ver la biyección entre el conjunto de subconjuntos de \( n \) con el conjunto de subconjuntos de \( m-n \) elementos. ¿La cardinalidad de estos dos conjuntos no sería distinta (\( 2^n \) y \( 2^{m-n} \))?.
Un saludo y gracias. :)

2083
Teoría de Conjuntos / Re: Función indicatriz o característica
« en: 21 Septiembre, 2012, 09:40 pm »
Gracias, soneu, specu, Fernando Revilla. :)

2084
Teoría de Conjuntos / Re: Función indicatriz o característica
« en: 21 Septiembre, 2012, 07:28 pm »
Hola, soneu y specu. :) De repente me he dado cuenta de mi ignorancia de las lecciones básicas e introductorias de teoría de conjuntos. Tendría que haber hecho estas preguntas en el apartado de Escuela Secundaria.
specu: ¿no confundes conjunto imagen y codominio de una aplicación?.
Sigo teniendo las mismas dudas que he planteado en mi mensaje anterior.  :banghead: :banghead: :banghead:
Un saludo.

2085
Teoría de Conjuntos / Re: Función indicatriz o característica
« en: 21 Septiembre, 2012, 11:44 am »
Hola soneu. Siguiendo con el ejemplo, el conjunto imagen de cada subconjunto \( B \) de \( A \), ¿sería el siguiente?:
\( X_\emptyset=\left\{{0,0,0}\right\} \)
\( X_{\left\{{a}\right\}}=\left\{{1,0,0}\right\} \)
\( X_{\left\{{a,b}\right\}}=\left\{{1,1,0}\right\} \)
etc.
¿Se podría decir, por ejemplo, que \( Im(X_{\left\{{a}\right\}})=Im(X_{\left\{{b}\right\}})=Im(X_{\left\{{c}\right\}}) \)?.
Sin embargo son aplicaciones distintas, ¿no?.
Un saludo. :)

2086
Teoría de Conjuntos / Función indicatriz o característica
« en: 20 Septiembre, 2012, 11:19 pm »
Hola. Me he topado con el concepto de función característica (o indicatriz) en la demostración de la siguiente proposición:
"Proposición: Sea \( A \) un conjunto finito. Entonces, el número de subconjuntos de \( A \) es \( 2^{card(A)} \), es decir: \( card(P(A))=2^{card(A)} \).
DEMOSTRACIÓN: Basta observar que existe una aplicación biyectiva entre el conjunto \( P(A) \) de las partes de un conjunto \( A \) y el conjunto \( F(A,\left\{{0,1}\right\}) \) de las aplicaciones de \( A \) en \( \left\{{0,1}\right\} \), que asocia a todo subconjunto \( B \) de \( A \) la función característica \( X_B:A\longrightarrow{\left\{{0,1}\right\}} \) tal que \( X_B(x)=\begin{Bmatrix} 1 & \mbox{ si }& x\in{B}\\0 & \mbox{si}& x\in{A-B}\end{matrix} \). En consecuencia, \( card(P(A)=card(F(A,\left\{{0,1}\right\}))=2^{card(A)} \)."
No entiendo el concepto de función característica. ¿Cómo se aplicaría por ejemplo en el caso de \( A=\left\{{a,b,c}\right\} \)?. En este caso, los subconjuntos \( B \) de \( A \) son: \( P(A)=\left\{{\emptyset,\left\{{a}\right\},\left\{{b}\right\},\left\{{c}\right\}\left\{{a,b}\right\},\left\{{a,c}\right\}\left\{{b,c}\right\},A}\right\} \), y su cardinal es \( 2^3=8 \).
¿Por qué en este caso el número de aplicaciones de \( A \) en \( \left\{{0,1}\right\} \) es 8?; ¿cómo funciona \( X_B(x) \)?. Un saludo.

2087
Tienes razón, Tanius, había olvidado por completo esa parte de la demostración en la que toman un elemento fijo de \( A_y \), y teniendo eso en cuenta el razonamiento es más sencillo.
En fin, que muchas gracias; ya puedo pasar página del libro que estoy estudiando. Lo he entendido. :)

2088
Esquemas de demostración - Inducción / Re: Conjunto finito y acotado
« en: 19 Septiembre, 2012, 05:52 pm »
La impresión era acertada, no te equivocas. Y el caso es que no aparece en la demostración nada que lo sugiera; es decir, intentando entenderlo lo había supuesto yo.
Gracias, mathtruco. Lo he entendido por fin. :D :D

2089
Hola, Tanius
Solo me queda una duda: ¿por qué si \( c\neq{c'} \), entonces existen \( y,y'\in{f(A)} \) tales que \( y\neq{y'} \)?. Es porque \( c=h(y) \) y \( c'=h(y') \), ¿no?. Entonces, \( h \) es una aplicación de \( f(A) \) en \( C \); ¿es así?. ¿Se deduce que \( y\neq{y'} \) de la definición del concepto de aplicación?. :)
Añado la siguiente pregunta: en la última frase de la demostración dice: " Recíprocamente, si \( f \) es inyectiva sobre \( A \), entonces \( A \) y \( f(A) \) son biyectivos y por tanto, \( card(f(A))=card(A) \)." ¿Por qué si \( f \) es inyectiva sobre \( A \), entonces \( A \) y \( f(A) \) son biyectivos?.  :banghead: :banghead: :banghead:

2090
Gracias, Tanius. Al leer el problema ya estaba pensando en sesudos cálculos, pero ya veo que en realidad es muchísimo más sencilla. Me da hasta corte haberlo preguntado. Gracias. :D

2091
Esquemas de demostración - Inducción / Re: Conjunto finito y acotado
« en: 19 Septiembre, 2012, 02:21 pm »
Hola mathtruco
Caso 2: si \( S\leq f(n+1) \), entonces (como los naturales es un conjunto totalmente ordenado) por transitividad \( p=f(n+1)\geq f(j) \) para todo \( j=1,2\dots n+1 \).
Si \( f(n)\leq{S}\leq{f(n+1)} \), entonces \( f(n)\leq{f(n+1)} \) (por transitividad de la relación de orden). ¿Es así?. Si es así, \( f(n+1) \) sería un máximo de \( A \), ¿no?.  :)

2092
Hola. Tengo una proposición y su demostración, que entiendo bien, pero el ejemplo que dan me lía. La proposición dice: "Sean \( A \) y \( B \) dos conjuntos finitos. Supongamos que \( a=card(A)\neq{0} \) y \( b=card(B)\neq{0} \). Entonces, el número de aplicaciones de \( A \) en \( B \) es \( b^a \). Es decir: \( card(F(A,B))=card(B^A)=b^a \)."
Y el ejemplo dice: "Ejercicio: ¿Cuántas apuestas sencillas distintas (resultados 1, X y 2 en catorce encuentros de fútbol) se pueden hacer en una quiniela?.
Solución: Basta observar que existe una biyección entre el conjunto de apuestas y el conjunto de aplicaciones del conjunto \( A=\left\{{1,2,3,...,14}\right\} \) en el conjunto \( B=\left\{{1,X,2}\right\} \). Por tanto el número de apuestas posibles es \( 3^1^4 \)."
La pregunta es: ¿cómo se demuestra dicha biyeccción?. Un saludo.  :)

2093
Hola. Voy a citar la proposición y luego las dudas que tengo:
"Proposición: Sean \( A \) un conjunto finito y \( f \) una aplicación de \( A \) en un conjunto cualquiera \( B \). Entonces \( f(A) \) es un conjunto finito y \( card(f(A))\leq{card(A)} \). Además, se tiene la igualdad \( card(f(A))=card(A) \) si y solo si \( f \) es una aplicación inyectiva.
DEMOSTRACIÓN: Sea para todo \( y\in{f(A)} \) el conjunto \( A_y=\left\{{x\in{A}, tal que f(x)=y}\right\} \) que es un subconjunto de \( A \) no vacío. Tomamos un elemento fijo en cada \( A_y \), que designamos por \( h(y) \). Claramente, se tiene \( f(h(y))=y \). Sea el conjunto: \( C=\left\{{h(y), y\in{f(A)}}\right\}\subset{A} \). \( C \) es un conjunto finito pues \( C \) es un subconjunto del conjunto finito \( A \). Además \( card(C)\leq{card(A)} \). Veamos que \( C \) y \( f(A) \) son equipotentes. Sea \( g \) la restricción de \( f \) al conjunto \( C \). Esto es, \( g \) es la aplicación definida por \( g:C\longrightarrow{f(A)} \) tal que \( g(c)=f(c) \) para todo \( c\in{C} \). La aplicación \( g \) es inyectiva pues si \( c\neq{c'} \), existen \( y,y'\in{f(A)} \) tales que \( y\neq{y'} \), \( c=h(y) \) y \( c'=h(y') \). Pero \( y=f(c)=g(c) \) e \( y'=f(c')=g(c') \) y por tanto \( g(c)\neq{g(c')} \). Por construcción, la aplicación \( g \) es claramente sobreyectiva. En consecuencia, \( card(f(A))=card(C)\leq{card(A)} \). Si \( card(f(A))=card(A) \) entonces \( card(C)=card(A) \) y por tanto \( C=A \). En consecuencia, \( f \) y\( g \) coinciden sobre \( A \)
 y \( f \) es inyectiva sobre \( A \). Recíprocamente, si \( f \) es inyectiva sobre \( A \), entonces \( A \) y \( f(A) \) son biyectivos y por tanto, \( card(f(A))=card(A) \)."
Dudas: La demostración comienza definiendo subconjuntos de \( A \) en función de cada aplicación, pero por definición, una aplicación de \( A \) en \( B \) siempre tiene como conjunto inicial el propio \( A \), ¿no?;
más adelante dice: " La aplicación \( g \) es inyectiva pues si \( c\neq{c'} \), existen \( y,y'\in{f(A)} \) tales que \( y\neq{y'} \),...", pero, ¿no es \( y\neq{y'} \) lo que hay que demostrar?. Finalmente, si \( f \) y \( g \) coinciden sobre \( A \), ¿por qué \( f \) es inyectiva sobre \( A \)?. Un saludo.  ???

2094
Esquemas de demostración - Inducción / Conjunto finito y acotado
« en: 18 Septiembre, 2012, 09:56 pm »
Hola. Se trata de una demostración por inducción. La proposición dice así: "Sea \( A \) un subconjunto no vacío de \( \mathbb{N} \). \( A \) es un conjunto finito si y solo si \( A \) es un conjunto acotado superiormente.
DEMOSTRACIÓN: Supongamos que \( A \) es un conjunto finito no vacío y sean \( n=card(A) \) y \( f \) una biyección de \( [1,n]_\mathbb{N} \) sobre \( A \). Demostraremos que \( A \) es un conjunto acotado superiormente procediendo por inducción sobre \( n \).
i) Si \( n=1 \), entonces \( A=\left\{{f(1)}\right\} \) está acotado superiormente por todos los números naturales superiores a \( f(1) \).
ii) Supongamos que todo conjunto de cardinal \( n \) es un conjunto acotado superiormente y supongamos que \( card(A)=n+1 \). Sea \( f \) una biyección de \( [1,n+1]_\mathbb{N} \) sobre \( A \). Por la hipótesis de inducción \( f([1,n]_\mathbb{N}) \) está acotado superiormente y sea \( S \) una cota superior de \( f([1,n]_\mathbb{N}) \). Si \( p=max(S,f(n+1)) \), que existe pues la relación de orden en \( \mathbb{N} \) es total, \( p \) es una cota superior de \( A \)."
No sigo citando la demostración porque la implicación en el otro sentido la entiendo. Lo que no entiendo es la última frase que he citado del libro: ¿no basta con decir que \( f((n+1) \) es un máximo de \( A \)?; ¿por qué hace falta \( S \)?; ¿qué tiene que ver que la relación de orden es total en \( \mathbb{N} \)?. ???

2095
Esquemas de demostración - Inducción / Re: Suma en N
« en: 15 Septiembre, 2012, 11:38 pm »
Hola, Carlos Ivorra. Gracias al enlace que pusiste he podido contar con la ayuda de argentinator, y he podido entender el Principio de Definición por Recurrencia a partir de los Axiomas de Peano.
Espero que el libro de texto de la UNED que estoy leyendo sea un poco más "formal" en adelante. Y si no, espero contar con este foro. ¡Muchas gracias!.  :)

2096
Hola, argentinator:
Ya he entendido el Primer Principio de Definición por Recurrencia. Me ha costado cuatro días, pero ya estoy en condiciones de definir por recurrencia cosas como por ejemplo la suma de números naturales. En el libro que estoy leyendo (y del que ahora me fío un poco menos), decía literalmente:
Citar
Suma en \( \mathbb{N} \)
La suma de números naturales se define por recurrencia utilizando el axioma \( A_5 \) (aquí se refiere al Principio de Inducción).
Definición 5.1. Se define por recurrencia sobre \( n \) la suma \( m+n \) mediante:
1. \( m+0=m \) para todo \( m\in{\mathbb{N}} \).
2. \( m +s(n)=s(m+n) \) para todo \( m,n\in{\mathbb{N}} \).
.
Para definir por recurrencia, sin embargo, hace falta un teorema de recursión, para el que a su vez, y en este caso, hacen falta los axiomas de Peano (y no solo el Principio de Inducción, como menciona el libro).
En resumen, que muchas gracias, argentinator!

2097
Hola, argentinator
Muchas gracias por tu respuesta a mi duda. He entendido todo lo que has dicho. Pero todavía tengo dudas respecto a la Demostración del Primer Principio de Definición por Recurrencia. He avanzado un poco y me he encontrado con la siguiente duda. Primero te cito:


Supongamos ahora el caso en que \( S(n) \) no pertenece a \( D \).
En tal situación, construiremos una función \( h_1 \) de la siguiente manera:
Definimos \( D_1 = D\cup\{S(n)\} \),
y hacemos que \( h_1 \) sea una función con dominio \( D_1 \), dada por:

\( h_1(k)=\begin{Bmatrix} h(k) & \mbox{ si }& k\in D\\G(n,h(n)) & \mbox{si}& k=S(n)\end{matrix} \).

Mostremos que \( h_1 \in K_\alpha. \)

En efecto, sea \( k\in N \) tal que \( S(k)\in D_1 \).
Si \( k\neq n \), entonces necesariamente \( S(k)\in D \), el dominio de \( h \),
y esto significa que \( k\in D \),
y además \( h(S(k))=G(k,h(k)) \).
Pero también, como \( k,S(k)\in D \), la definición de \( h_1 \) nos da
que \( h_1(S(k))=h(S(k))=G(k,h(k))=G(k,h_1(k)) \).

Por otra parte, si \( k=n \), recordemos que
teníamos al principio de todo que \( n \) es un elemento de \( D \) (pues \( (n,y)\in h\subset f \)),
luego \( h_1(n)=h(n) \), y por definición: \( h_1(S(n))=G(n,h(n))=G(n,h_1(n)). \)
Esto prueba que \( h_1 \in K_\alpha. \)
Por lo tanto, \(  h_1 \subset f \), y esto quiere decir que existe \( z\in X \) tal que \( (S(n),z)\in f. \)

En cualquier caso, hemos probado que existe \( z\in X \) tal que \( (S(n),z)\in f. \)
Esto indica que \( S(n)\in A \).

En resumen, tenemos que \( 1\in A \) y \( n\in A\Rightarrow{S(n)\in A} \).
Aplicando Principio de Inducción, obtenemos que \( A=N \).
Por lo tanto, para todo \( n\in N \),
existe algún \( z\in X \) tal que \( (n,z)\in f. \)

Dices que si \( k\neq{n} \), entonces necesariamente \( S(k)\in{D} \). ¿Cuál es en este caso \( n \) y \( k \)?; ¿cómo es que \( S(k)\in{D} \)?. Además, ¿cómo es \( h_1 \)?. Muchas gracias de antemano. Ya ves que estoy un poco pez; es el primer obstáculo consistente con el que me he encontrado.

2098
Hola, argentinator. Estoy leyendo un libro que habla de los números naturales, y para definir con rigor la suma en \( \mathbb{N} \), necesito primero entender la Demostración del Primer Principio de Definición por Recurrencia que usted explica en este thread. Ha sido Carlos Ivorra, quien también participa en este foro, el que me ha aconsejado que lea lo que escribió.
El caso es que me han surgido unas dudas, porque soy un principiante (estoy estudiando por mi cuenta, al tiempo que trabajo, el grado en matemáticas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia, y estoy en el primer curso).
Me gustaría contar con usted para, en unos pocos mensajes, terminar entendiendo la Demostración del Primer Principio de Definición por Recurrencia.
Para empezar voy a citarle en unas líneas que escribió, posteriores a la citada Demostración:

"Explicación y aplicación del Primer Principio de Definición por Recurrencia.

Básicamente, el modo de aplicar este Principio consiste en dos pasos:
Primero, se le asigna un valor cualquiera a la función \( f(n) \), para \( n =1 \).
Luego se usa una función \( G \) de \( N\times X \) en \( X \)
para asignar valores a los sucesivos \( n=2,3,... \), etcétera,
mediante una regla tal que, si se conoce el valor de \( f(n) \),
entonces el valor de \( f(S(n)) \) queda automáticamente establecido.
Esto es \( G(n,f(n)) \), lo cual significa que
el valor de la función \( f \) asignado al "siguiente" de \( n \)
está dado por una "fórmula" \( G \),
que depende ahora tanto del mismo valor \( n \) como del valor de \( f \) en \( n \)."

La pregunta es: ¿podría definir la suma en \( \mathbb{N} \), aplicando paso a paso lo que dice en el párrafo citado?; ¿ en qué momento se echa mano de \( G \) y de qué forma?; ¿por qué hace falta \( G \)?; ¿cuál es la naturaleza de \( G \)?; ¿es una función que a un par de números asigna un único número?.
Un saludo. :D

2099
Esquemas de demostración - Inducción / Re: Suma en N
« en: 13 Septiembre, 2012, 10:20 pm »
Hola. Tengo que estudiarlo.

2100
Esquemas de demostración - Inducción / Suma en N
« en: 12 Septiembre, 2012, 10:57 pm »
Hola. Estoy leyendo una introducción sobre los números naturales, y me he topado con una definición (porque ni siquiera es una demostración) que no entiendo.
Primero, el libro que tengo menciona los axiomas de Peano, que voy a escribir:
"\( A_1 \). El elemento 0 es un número natural.
\( A_2 \). Todo número natural \( n \) tiene un único elemento sucesor que es también un número natural.
\( A_3 \). 0 no es el sucesor de ningún número natural.
\( A_4 \). Dos números naturales cuyos sucesores son iguales, son iguales.
\( A_5 \). Si un conjunto de números naturales contiene al 0 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales."
Unos párrafos despues, dice:
"Suma en \( \mathbb{N} \):
La suma de números naturales se define por recurrencia utilizando el axioma \( A_5 \).
Definición: Se define por recurrencia sobre \( n \) la suma \( m+n \) mediante: 1. \( m+0=m \)para todo\( m\in{\mathbb{N}} \); 2.\( m+s(n)=s(m+n) \) para todo \( m,n\in{\mathbb{N}} \)."
Mi pregunta es: si \( s(n) \) es el sucesor de \( n \), ¿cómo sé cuál es la suma \( m+n \)?. Dice que define por recurrencia sobre \( n \) la suma \( m+n \), pero no menciona \( n \), sino su sucesor. No entiendo. :-[. Un saludo.

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