Hola, estimado Rincón

¿Cómo encaja este ejemplo del Teorema del Valor Medio



en el Teorema de Taylor?

El ejemplo tiene un \( s=1.16 \). La función es \( y=e^x \), y el TVM se aplica entre el 2 y el 0.

El TVM aparece mencionado en el TT, en la demostración por inducción: \( \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(s) \), para algún \( s \) entre \( x \) y \( a \), para \( n=0 \).

La intriga que tengo es: ¿estoy evaluando sobre el 0, verdad?. Estoy casi seguro de que sí. ¿Estoy evaluando el 2, es decir, qué papel juega el 2?.

El asunto es que no encajo el TVM en el TT

Mis esfuerzos los he hecho... No los he hecho.

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón

Hay una función, \( y=e^x \), cuya imagen me interesa manipular: quiero que se vea más ancha que larga, para que el siguiente adjunto me quede más expandido horizontalmente que verticalmente. Pero, ¿cómo?

¡Un saludo!

No tiene por qué existir. Su existencia forma parte de las hipótesis del teorema.

Procesando...Voy a intentar entender el asunto con un teorema previo, pero análogo.

Análisis del error

En cualquier aproximación, se define el error como

error= valor verdadero-valor aproximado

Si la linealización de \( f \) alrededor de \( a \) se usa para aproximar \( f(x) \) en \( x=a \), es decir,

\( f(x)\approx{L(x)}=f(a)+f'(a)(x-a) \)

entonces el error \( E(x) \) de esta aproximación es

\( E(x)=f(x)-L(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) \)

Es la distancia vertical en \( x \) entre la gráfica de \( f \) y la tangente a esa gráfica en \( x=a \), como se muestra en la Figura 4.57. Obsérvese que si \( x \) está "cerca de" \( a \), entonces \( E(x) \) será pequeño comparado con la distancia horizontal entre \( x \) y \( a \)



El siguiente teorema y sus corolarios nos dan una forma de estimar este error si se conocen límites para la segunda derivada de \( f \)

TEOREMA 9 Una fórmula para el error de la linealización

Si existe \( f''(t) \) para todo \( t \) en un intervalo que contenga a \( a \) y a \( x \), entonces existe algún punto \( s \) entre \( a \) y \( x \) tal que el error \( E(x)=f(x)-L(x) \) en la aproximación lineal \( f(x)\approx{L(x)}=f(a)+f'(a)(x-a) \) cumple

\( E(x)=\dfrac{f''(s)}{2}(x-a)^2 \)

\( f''(t) \) sería el análogo de \( \dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!} \) en \( E_{n}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \) para la Fórmula de Taylor.

geó, comentas que no es necesario que exista esa derivada adicional, que forma parte de las hipótesis de partida.
Yo apoyo esta afirmación, pero en el sentido de que en el Análisis del error en la aproximación lineal a una función, de hecho se prescinde de esa derivada, segunda en este caso. Pero yo hablo de una fórmula para el error de la linealización, es decir, del mencionado Teorema 9; mejor dicho, de la fórmula para el error de la linealización. Y eso salvando las distancias con el Teorema 10, Teorema de Taylor.

En resumen, estoy pensando que la hipótesis de la que hablas, es una condición. Igual estoy equivocado, pero eso se me ocurre.

¡Un saludo!

¡Ya estaba buscando tres pies al gato! Gracias
¡Un saludo!

Hola, estimado foro

En la introducción a los polinomios de Taylor, el libro de texto dice:

4.8 Polinomios de Taylor
La linealización de la función \( f(x) \) en \( x=a \), es decir, la función lineal

\( P_{1}(x)=L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \)

describe el comportamiento de \( f \) cerca de \( a \) mejor que cualquier otro polinomio de grado 1 porque tanto \( P_1 \) como \( f \) tienen el mismo valor y la misma derivada en \( a \):

\( P_{1}(a)=f(a) \)  y  \( P'_{\;1}(a)=f'(a) \)

Se utiliza el símbolo \( P_1 \) en vez de \( L \) para subrayar el hecho de que la linealización es un polinomio de grado máximo 1.
Se pueden obtener mejores aproximaciones a \( f(x) \) utilizando polinomios de segundo grado o de grado superior y ajustando más derivadas en \( x=a \). Por ejemplo, si \( f \) es dos veces diferenciable cerca de \( a \), entonces el polinomio

\( P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2}(x-a)^2 \)

cumple \( P_{2}(a)=f(a) \), \( P'_{\;2}(a)=f'(a) \) y \( P''_{\;2}(a)=f''(a) \) y describe el comportamiento de \( f \) alrededor de \( a \) mejor que cualquier otro polinomio de grado máximo 2

Ahora: \( P'_{\;1}(x)=f'(a) \), es decir, la derivada de \( P_{1}(x) \) es \( f'(a) \). La pregunta es: ¿Qué es entonces \( P'_{\;1}(a) \)?

Mi explicación: Una linealización de \( f(x)=x^2 \) en \( x=1/2 \) es \( P_{1}(x)=L(x)=1/4+1(x-1/2) \). \( P'_{\;1}(1/2)=1/4 \).

Bien. El problema es que he derivado algebraicamente \( P'_{\;1}(x)=L'(x)=f'(a) \), y es igual que \( P'_{\;1}(a) \). Hay algo que se me escapa. Derivando algebraicamente \( P_1(x)=L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) \), me da \( f'(a) \)

La pregunta es: ¿\( P'_{\;1}(x)=P'_{\;1}(a) \)?
 
¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón, tengo una cita de la Fórmula de Taylor, y una duda en relación con Geogebra. Primero la cita, y luego la duda

Formula de Taylor

El siguiente teorema proporciona una fórmula para el error en una aproximación de Taylor \( f(x)\approx{P_{n} (x)} \) similar a la proporcionada para la aproximación lineal (...).

Teorema de Taylor

Si la derivada de orden \( (n+1) \), \( f^{(n+1)} (t) \), existe para todo \( t \) en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} (x) \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), es decir,

\( P_{n} (x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \).

entonces el error \( E_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x) \) en la aproximación \( f(x)\approx{P_{n}(x)} \) se expresa como

\( E_{n}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)

siendo \( s \) un número entre \( a \) y \( x \). La fórmula resultante

\( f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \), para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \),

se denomina fórmula de Taylor con resto de Lagrange; el término del resto de Lagrange es la fórmula explícita dada anteriormente para \( E_{n}(x) \).

(Nótese que el término de error (resto de Lagrange) en la fórmula de Taylor se parece al siguiente término del polinomio de Taylor si continuáramos dicho polinomio para incluir un término más (de grado \( n+1 \)), excepto porque la derivada \( f^{(n+1)} \) no se evalúa en \( a \) sino en algún punto \( s \) (generalmente desconocido) entre \( a \) y \( x \). Esto facilita recordar la fórmula de Taylor)

Demostración Obsérvese que el caso \( n=0 \) de la fórmula de Taylor, concretamente

\( f(x)=P_{0}(x)+E_{0}(x)=f(a)+\dfrac{f'(s)}{1!}(x-a) \)

es justamente el Teorema del Valor Medio

\( \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(s) \) para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \).

Nótese también que el caso \( n=1 \) es justamente la fórmula del error para la linealización dada en el teorema anterior.

Completaremos la demostración para valores de \( n \) mayor usando inducción matemática.(...). Supongamos entonces, que ya hemos demostrado el caso \( n=k-1 \), donde \( k\geq{2} \) es un entero. Esto es, estamos suponiendo que ya hemos demostrado que si \( f \) es una función cualquiera cuya \( k \)-ésima derivada existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), entonces

\( E_{k-1}(x)=\dfrac{f^{(k)}(s)}{k!}(x-a)^k \)

siendo \( s \) algún número entre \( a \) y \( x \). Consideremos el caso siguente \( n=k \). Como en la demostración del Teorema 9 (previo), suponemos que \( x>a \) (el caso \( x<a \) es similar) y aplicamos el Teorema del Valor Medio Generalizado a las funciones \( E_{k}(t) \) y \( (t-a)^{k+1} \) en \( [a,x] \). Como \( E_{k}(a)=0 \), obtenemos un número \( u \) en el intervalo \( (a,x) \) tal que

\( \dfrac{E_{k}(x)}{(x-a)^{k+1}}=\dfrac{E_{k}(x)-E_{k}(a)}{(x-a)^{k+1}-(a-a)^{k+1}}=\dfrac{E'_{k}(u)}{(k+1)(u-a)^{k}} \)

Ahora

\( E'_{k}(u)=\dfrac{d}{dt}\left(f(t)-f(a)-f'(a)(t-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(t-a)^2-\ldots-\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(t-a)^{k}\right)\Bigg |_{t=u} \)

\( =f'(u)-f'(a)-f''(a)(u-a)-\ldots-\dfrac{f^{(k)}(a)}{(k-1)!}(u-a)^{k-1} \)

Esta última expresión es justamente \( E_{k-1}(u) \) para la función \( f' \) en lugar de \( f \). Por el supuesto de inducción es igual a

\( \dfrac{(f')^{(k)}(s)}{k!}(u-a)^{k}=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{k!}(u-a)^{k} \)

para algún \( s \) entre \( a \) y \( u \). Por tanto,

\( E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} \)

Hemos demostrado que el caso \( n=k \) del Teorema de Taylor es verdadero en el caso \( n=k-1 \), lo que completa la demostración por inducción

Observación: para cualquier valor de \( x \) para el que \( \lim_{x\rightarrow{\infty}}{E_{n}(x)}=0 \) podemos asegurar que la aproximación de Taylor \( f(x)\approx{P_n} \) estará tan cerca
como deseemos escogiendo \( n \) suficientemente grande.

Voy a adjuntar una imagen de un polinomio de Maclaurin.

Duda: ¿Cómo paso de Maclaurin a Taylor gráficamente?



PS: Esta duda tengo la sensación de que es un poco rarita. Me siento inseguro.

¡Un saludo!

Seguramente por mi culpa.

¡Fijo, jaja!

Tendrá un valor numérico, el que sea según los contextos, pero es algo más que un número. Pasa como si hablas de una raíz cuadrada, también tendrá un cierto valor, pero como concepto no es sólo un número.

Perfecto. Estoy leyendo una introducción a los infinitesimales, en inglés: Nonstandard Analysis, de Jaap Ponstein. De momento lo voy entendiendo, pero sólo he empezado; ya veremos cuando el artículo eche mano del Axioma de elección, o la lógica proposicional, en concreto el Principio del tercero excluído.

¡Un saludo!

¡Hola feriva!

Cero es el único diferencial en \( \Bbb R \), pero \( \Delta x=0 \)... Cuando precisamente lo que interesa es acercarse sin llegar a \( a \), según lo que dice la definición formal de límite...

¡Un saludo!

Un tema que siempre despierta la curiosidad de todos.

Ciertamente. Ahora estoy en encontrar una respuesta; pero me parece que estoy ante un gran reto. Creo que debo tomarlo con un poco de indolencia; el reto se me hace enorme, y a mi edad, tengo que cuidarme  ; en serio, quiero decir que tengo la sensación de que este terreno no en vano ha hecho correr ríos de tinta, como decías: es muy interesante, muy fundamental, pero tal vez controvertido (es mi sensación)

Yo entré en la UNED, como te conté, porque se me ocurrió la idea ésa del universo de materia expansiva. Por entonces había algunas cosas cruciales de matemáticas que no sabía; principalmente dos: la primera era que no sabia que los números naturales (o la parte entera de los reales) no podían tener infinitas cifras, (me lo dijo Carlos cuando él entró aquí) y la segunda que tampoco sabía consistía en que los infinitesimales tampoco se consideraban números (me lo dijo Luis, quizá dos años o tres, no mucho).
Pero sin saber eso, la idea del universo expansivo me hizo pensar en una unidad “pequeña” que cambiaba con el paso del tiempo. Me di cuenta de que los valores de las constantes, los numeritos, (gravedad, velocidad de la luz...) no significaban nada salvo por las equivalencias y relaciones que se establecían. Quería descubrir el “valor” de esa unidad, de la unidad de verdad. Pero tenía que ser así 0,000... respecto de la unidad actual (que para mí cambia constantemente con el paso del tiempo).
Y a partir de ahí concebí una idea que, mucho después, vi que tenía que ver con los “d(variable)”, por no decir diferenciales, ésos que se usan en las derivadas.

Así me percaté de que hasta cierto punto se podían mezclar peras con manzanas (que se dice de las unidades físicas; no se puede trabajar con metros y centímetros, hay que convertir a la misma unidad).  Por ejemplo:
\( \dfrac{3,5\mu m}{1\mu m}=\dfrac{3,5km}{1km}{\color{red}\Rightarrow}{\color{red}3,5}\mu m\cdot km={\color{red}3,5}km\cdot\mu m
  \)
 (había puesto un 2 en vez de 3,5, qué horror, en qué estaría pensando)

La unidad “pequeña” y la “grande” no funcionan como elemento neutro, pero sí son equivalentes para los respectivos números pequeños y grandes.

Sí

Y de ahí surge esta idea:

Si \( \dfrac{b}{a}
  \) es la penbdiente de un vector de coordenadas \( (a,b) \) es obvio que multiplicando por “a” obtenemos la coordenada “b”. Pero, además, como el valor de \( \dfrac{b}{a}
  \) es único (aunque a él se asocien infinitas fracciones equivalentes) si multiplicamos la pendiente por cualquier número elegido al azar obtendremos un vector con las misma dirección del vector \( (a,b) \); por ejemplo, si multiplicamos por 7, \( (7,\,7\dfrac{b}{a})
  \) tiene la misma dirección que \( (a,b) \). Como podemos multiplicar la pendiente por cualquier número, el más fácil es 1, y entonces tenemos \( (1,\,\dfrac{b}{a})
  \) que sigue teniendo la misma dirección: \( a(1,\,\dfrac{b}{a})\equiv(a,b)
  \); la pendiente del propio vector hace de coordenada “y” si elegimos el valor 1 para la “x”.

Por esto, si conocemos la pendiente, podemos conocer un vector director, porque la propia pendiente puede funcionar como coordenada de vector. Da igual que la pendiente sea una proporción entre nanómetros o años luz, la cuestión es que la proporción sea la misma.

La última frase es muy buena, muy práctica.
 

Pero las diferenciales, o lo que sea, son fáciles en \( \mathbb{R}^{2} \), casi todas las complicaciones teóricas que puedas encontrar (y no entender) al leer sobre diferenciales surgieron porque se trabaja en dimensiones más grandes; si no, seguramente, no haría falta tanta teoría

Fijo.

(aunque hablo de oído, porque de esto no sé casi nada).

Hmmm... Disiento. Por mi experiencia, tus mensajes son razonados, argumentados.

No rebusques mucho en “números pequeñitos”, es sólo eso, cuestión de equivalencia, la dificultad grande está en la visualización geométrica; en la corriente, con “cosas rectas”.

Entendido; me refiero a que se trata de una afirmación muy sensata: evitar descontextualizar, ¿no?.

¿Alguna vez se te ha ocurrido pensar en, por ejemplo, qué pendiente tiene este vector (5,6,3)? Depende de qué  pendiente hablemos y de otras cosas. Considerando una base ortogonal, con origen en (0,0,0) ese vector es

 \( (5,6,2)-(0,0,0)=(5,6,2)
  \)

Su “sombra” o proyección sobre el “suelo” o plano XY es el vector componente

\( (5,6,0)-(0,0,0)=(5,6,0)
  \)

Y del punto (5,6,0) sube un vector hasta al punto \( (5,6,2)
  \), que es el vector

\( (5,6,2)-(5,6,0)=(0,0,2)
  \); la componente Y del vector (5,6,2).

Entonces podemos representar su pendiente así \( \dfrac{|(0,0,2)|}{|(5,6,0)|}=\dfrac{2}{\sqrt{61}}
  \).

Pero ésa es su pendiente considerando la proyección sobre el plano XY, podemos también considerar su proyección sobre el plano XZ ó YZ (dibújalo girando la base ortogonal, lo que supone cambiar letras de sitio nada más y pensar igual al restar puntos para hallar vectores).

Si ahora el suelo es el plano XZ, la componente ahí será análogamente (5,0,2) y el vector que va de ahí al punto (5,6,2), sera (0,6,0) que es la componente “Y” (bueno, la que hace de "Y"), y la pendiente será \( \dfrac{|(0,6,0)|}{|(5,0,2)|}=\dfrac{6}{\sqrt{29}}
  \). Del mismo modo, considerando la proyección sobre YZ, la pendiente será \( \dfrac{|(5,0,0)|}{|(0,6,2)|}=\dfrac{5}{\sqrt{40}}
  \).

La idea se complica notablemente, ya no hay una sola pendiente asociada porque el espacio ha crecido; y tan sólo en una dimensión. No obstante, es visualizable, uno se las puede apañar para dibujar y entender. Ahora bien, si a este tipo de ideas propias del álgebra lineal se añaden símbolos como \( \partial \), funciones, conceptos como el de límite, números o cosas pequeñas que actúan sin ser vistas, numerosos métodos que aprenderse... la cosas se complica mucho. Pero antes de todo eso está la visualización mediante el álgebra lineal y la geometría analítica corriente, porque, si no,  ya sí que uno va a oscuras del todo.

Sí, pero confieso que voy a oscuras; es decir, casi hasta lo busco. Perdonad este inciso, es una licencia que no quiere rebatir la cita, totalmente
incuestionable.

Abrazos..

¡Igualmente!

¡Muchas Felicidades, Marcos, que veo que es tu cumple!.

¡Gracias!

Hola

Este tiempo he estado leyendo sobre el concepto de diferencial, para por fin entender su significado. Creo que
(i) He estado leyendo un artículo que intenta clarificar el concepto de diferencial
(ii) Decidir si el pdf que he leído merece la pena. Yo pienso que tiene relación con este hilo, a través de la idea de aproximación lineal a una función.
(iii) Debería ofrecer un adelanto del texto mencionado. No puedo poner el enlace, por ser las reglas razonadas del Rincón (el enlace podría un día desaparecer de internet, y el hilo quedaría cojo). Así que escribo un poco lo que he visto:
LA DIFERENCIAL NO ES UN INCREMENTO INFINITESIMAL. EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE DIFERENCIAL Y SU CLARIFICACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA
Resumen(...) Como resultado se describen las aportaciones e insuficiencias de sus dos concepciones históricas (Leibniz y Cauchy), y se presenta con detalle una propuesta alternativa basada en la concepción del matemático francés Fréchet, formulada a principios del siglo xx.
(...)
¿Qué es la diferencial?
Como vemos, es dentro de esta estrategia global del cálculo donde la diferencial, la derivada y la integral definida, así como las relaciones entre ellos, adquieren su significado claro y justificad. A modo de resumen, podemos formular ahora una definición precisa de diferencial de una magnitud \( (y) \) respecto de otra \( (x) \): es la única función lineal del incremento -aquí el texto se presenta tal y como voy a citar- (\( dy=k(x)\bullet{dx}) \), la única estimación lineal del \( \Delta{y} \), que permite obtener la relación exacta entre \( \Delta{y} \) y \( \Delta{x} \) vía integral, y para ello su pendiente, \( k(x) \) debe coincidir con la función derivada: \( y^{'{8}} \).

\( ^{8} \) Esta condición equivale a exigir que la diferencial \( (dy) \) no difiera del incremento \( (\Delta{y}) \) más que en un infinitamente pequeño con relación a \( \Delta{x} \). Por tanto, lo que debe ser infinitamente pequeño, respecto a \( \Delta{x} \), no es ni \( \Delta{y} \) ni \( dy \), sino su diferencia \( (\Delta{y})-dy) \). Para salir al paso de incorrectas interpretaciones, conviene advertir que esa condición no significa que \( (\Delta{y}-dy) \) sea siempre un número muy pequeño, y mucho menos que \( \Delta{y} \) o \( dy \) lo sean. El significado correcto de la expresión "\( (\Delta{y}-dy) \) es infinitamente pequeño con relación a \( \Delta{x} \)" es que \( (\Delta{y}-dy) \) tiende a cero más rápidamente que \( \Delta{x} \), es decir, que el límite de \( (\Delta{y}-dy)/\Delta{x} \) es cero cuando \( \Delta{x} \) tiende a cero.

Preguntas: ¿Estoy frente a la clave para entender de paso el concepto de diferencial?
¿Por qué el artículo desliga lo infinitesimal de la idea de diferencial? ¿Por la formalización del concepto de límite?
¿Fue Cauchy el descubridor del argumento epsilon-delta para los límites, y que desterraba, o mejor dicho, formalizaba el cálculo?

¡Un saludo!