¡Muchas Felicidades, Marcos, que veo que es tu cumple!.
¡Gracias!
Hola
Este tiempo he estado leyendo sobre el concepto de diferencial, para por fin entender su significado. Creo que
(i) He estado leyendo un artículo que intenta clarificar el concepto de diferencial
(ii) Decidir si el pdf que he leído merece la pena. Yo pienso que tiene relación con este hilo, a través de la idea de aproximación lineal a una función.
(iii) Debería ofrecer un adelanto del texto mencionado. No puedo poner el enlace, por ser las reglas razonadas del Rincón (el enlace podría un día desaparecer de internet, y el hilo quedaría cojo). Así que escribo un poco lo que he visto:
LA DIFERENCIAL NO ES UN INCREMENTO INFINITESIMAL. EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE DIFERENCIAL Y SU CLARIFICACIÓN EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA
Resumen(...) Como resultado se describen las aportaciones e insuficiencias de sus dos concepciones históricas (Leibniz y Cauchy), y se presenta con detalle una propuesta alternativa basada en la concepción del matemático francés Fréchet, formulada a principios del siglo xx.
(...)
¿Qué es la diferencial?Como vemos, es dentro de esta estrategia global del cálculo donde la diferencial, la derivada y la integral definida, así como las relaciones entre ellos, adquieren su significado claro y justificad. A modo de resumen, podemos formular ahora una definición precisa de
diferencial de una magnitud \( (y) \) respecto de otra \( (x) \): es la única función lineal del incremento -aquí el texto se presenta tal y como voy a citar- (\( dy=k(x)\bullet{dx}) \), la única estimación lineal del \( \Delta{y} \), que permite obtener la relación exacta entre \( \Delta{y} \) y \( \Delta{x} \)
vía integral, y para ello su pendiente, \( k(x) \) debe coincidir con la función derivada: \( y^{'{8}} \).
\( ^{8} \) Esta condición equivale a exigir que la diferencial \( (dy) \) no difiera del incremento \( (\Delta{y}) \) más que en un infinitamente pequeño con relación a \( \Delta{x} \). Por tanto, lo que debe ser infinitamente pequeño, respecto a \( \Delta{x} \), no es ni \( \Delta{y} \) ni \( dy \), sino su diferencia \( (\Delta{y})-dy) \). Para salir al paso de incorrectas interpretaciones, conviene advertir que esa condición no significa que \( (\Delta{y}-dy) \) sea siempre un número muy pequeño, y mucho menos que \( \Delta{y} \) o \( dy \) lo sean. El significado correcto de la expresión "\( (\Delta{y}-dy) \) es infinitamente pequeño con relación a \( \Delta{x} \)" es que \( (\Delta{y}-dy) \) tiende a cero más rápidamente que \( \Delta{x} \), es decir, que el límite de \( (\Delta{y}-dy)/\Delta{x} \) es cero cuando \( \Delta{x} \) tiende a cero.
Preguntas: ¿Estoy frente a la clave para entender de paso el concepto de diferencial?
¿Por qué el artículo desliga lo infinitesimal de la idea de diferencial? ¿Por la formalización del concepto de límite?
¿Fue Cauchy el descubridor del argumento epsilon-delta para los límites, y que desterraba, o mejor dicho, formalizaba el cálculo?
¡Un saludo!