Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - Marcos Castillo

Páginas: 1 [2] 3 4 5 ... 107
21
¡el_manco, muchas gracias! Vaya lapsus. :banghead: Gracias. Hacía tiempo que no me reía de mí mismo :laugh:. Es de traca lo mío...¡Sigo adelante!

¡Un abrazo!

22
Hola, estimado Rincón

Tengo un texto y una duda. Primero cito, y luego la duda:

Citar

3.4 Crecimiento y decrecimiento

En esta sección estudiaremos el uso de funciones exponenciales para modelar las tasas de crecimiento de cantidades para las que dicha tasa de crecimiento está directamente relacionada con su tamaño. El crecimiento de estas cantidades está generalmente gobernado por ecuaciones diferenciales en cuya solución aparecen funciones exponenciales. Antes de entrar en materia, prepararemos el camino examinando la forma de crecimiento de las funciones exponencial y logarítmica.

Crecimiento de exponenciales y logaritmos

En la sección 3.3 demostramos que tanto \( e^x \) como \( \ln x \) crecen (hacia infinito) cuando \( x \) crece. Sin embargo \( e^x \) aumenta muy rápidamente cuando \( x \) crece, para \( x \) grande, más deprisa que cualquier potencia positiva de \( x \) (no importa lo grande que sea la potencia), mientras que \( \ln x \) crece más lentamente que cualquier potencia positiva de \( x \) (no importa lo pequeña que sea la potencia). Para verificar este comportamiento comenzaremos por una inecuación que cumple \( \ln x \). La recta \( y=x-1 \) es tangente a la curva \( y=\ln x \) en el punto \( (1,0) \). El teorema que sigue afirma que la curva está por debajo de esta recta (véase la Figura 3.14).(*)

TEOREMA 4 Si \( x>0 \), entonces \( \ln x\leq x-1 \)

DEMOSTRACIÓN Sea \( g(x)=\ln x - (x-1) \) para \( x>0 \). Entonces \( g(1)=0 \) y

\( g'(x)=\dfrac{1}{x}-1\begin{cases}{>0}&\text{si}& 0<x<1\\<0 & \text{si}& x>1\end{cases} \)

Como se observó en la sección 2.6, estas inecuaciones implican que \( g \) crece en \( (0,1) \) y decrece en \( (1,\infty) \). Por tanto \( g(x)\leq g(1)=0 \) para todo \( x>0 \) y \( \ln x\leq x-1 \) para esos valores de \( x \)

TEOREMA 5 Propiedades de crecimiento de exp y ln

Si \( a>0 \), entonces

(a) \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\dfrac{x^a}{e^x}}=0 \)

(b) \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\dfrac{\ln x}{x^a}}=0 \)

(c) \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{|x|^a e^x}=0 \)

(d) \( \displaystyle\lim_{x \to{0+}}{x^a \ln x}=0 \)

Cada uno de estos límites hace una afirmación sobre quién "gana" en una competición entre una exponencial o un logaritmo y una potencia. Por ejemplo, en el apartado (a), el denominador \( e^x \) crece cuando \( x\rightarrow{\infty} \), por lo que hace que la fracción \( x^a/e^x \) tienda a 0. Por otra parte, si \( a \) es un número positivo grande, el numerador \( x^a \) también crece y hace que la fracción tienda a infinito. Lo que afirma el apartado (a) es que en esta competición entre la exponencial y la potencia, la exponencial es más fuerte y gana; por tanto, la fracción tiende a 0. La competición del Teorema 5 se puede expresar como sigue:

En una lucha entre una potencia y una exponencial, gana la exponencial.
En una lucha entre una potencia y un logaritmo, gana la potencia

DEMOSTRACIÓN Demostraremos primero el apartado (b). Sea \( x>1 \), \( a>0 \) y sea \( s=a/2 \). Como \( \ln(x^s)=s \ln x \), tenemos que, utilizando el Teorema 4,

\( 0<s\ln x=\ln(x^s)\leq{x^s-1}<x^s \)

Por tanto, \( 0<\ln x<\dfrac{1}{s}x^s \) y, dividiendo por \( x^a=x^{2s} \),

\( 0<\dfrac{\ln x}{x^a}<\dfrac{1}{s}\dfrac{x^s}{x^{2s}}=\dfrac{1}{sx^s} \)

Pero \( 1/(sx^s)\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{\infty} \) (ya que \( s>0) \). Por tanto, por el Teorema del Sandwich

\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\dfrac{\ln x}{x^a}}=0 \)


Duda: ¿Por qué \( \ln x\leq x-1\Rightarrow{\ln(x^s)\leq{x^s-1}} \)

Mi intento: Si \( \ln x\leq x-1 \), puedo decir que si multiplico por \( s>0 \) el lado izquierdo de la inecuación, y me queda \( s\ln x\leq sx-s<x^s \)...  ??? No lo veo.

(*) No la adjunto

¡Un saludo!

23
Perfecto, Masacroso, franma, sigo adelante.

¡Un saludo!

24
Unos razonamientos.
Sencillamente perfecto. El álgebra de la que yo afirmaba adolecía el asunto. Luego lo repaso otra vez (son las 4.46 AM), pero creo que perfecto.

¡Un saludo!

25
¡Hola franma!

Ahora que lo comentas lo veo más claro.

¡Un saludo!

26
¡Hola, Masacroso!


No lo sé, supongo que es porque no quiere usar ese dato, quiere hacer demostraciones más básicas sin necesidad de utilizar la continuidad de la función logaritmo.


Perfecto.


Citar
El apartado (iv) del Teorema 2 demuestra que \( \ln(2^n)=n\ln2\rightarrow{\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Por tanto, tenemos también que \( \ln(1/2)^n=-n\ln2\rightarrow{-\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \) (creo que lo entiendo, si \( \ln 2 \) es una constante)


Esto se asume ya sabido, seguramente de algún resultado anterior. Es decir: seguramente en una parte previa han debido de demostrar que \( -\ln x=\ln \frac1{x} \).


Cierto, ahora lo veo.


Un posible razonamiento para explicar lo de los límites es el siguiente: como \( \lim_{n\to\infty}\ln (1/2)^n=-\infty  \) entonces para un \( K >0 \) cualquiera existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( \ln (1/2)^n <-K \) para todo \( n\geqslant N \), por tanto \( \ln x\leqslant \ln(1/2)^N<-K \) cuando \( 0<x\leqslant (1/2)^N \) (ya que la función logaritmo es creciente), que es justamente la definición de \( \lim_{x\to 0^+}\ln x=-\infty  \). Y otro tanto ocurre con el otro límite.


Seguro que sí, pero ni idea. Tengo un razonamiento:

- \( \ln x \) es creciente: \( \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}>0 \) si \( x>0 \).
- Si es diferenciable, es continua.
- \( \ln 1=0 \), \( \ln x>0 \) si \( x>1 \), y \( \ln x<0 \) si \( 0<x<1 \) (por definición, una hoja antes)
- \( \ln(2^n)=n\ln2\rightarrow{\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \)
- \( \ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x \)

Ahora viene el que yo creo que es el truco; yo no había reparado en ello:

Citar
El apartado (iv) del Teorema 2 demuestra que \( \ln(2^n)=n\ln2\rightarrow{\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Por tanto, tenemos también que \( \ln(1/2)^n=-n\ln2\rightarrow{-\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Como \( (d/dx)\ln x=1/x>0 \) si \( x>0 \), se deduce que \( \ln x \) es creciente, por lo que debemos tener... (véase la Figura 3.11 gráfica de la función \( y=\ln x \))

Pero...Bueno, resumiendo, por ver si lo he entendido:
1- Cuando \( n\in{\mathbb{Q}} \) tiende a infinito, \( \ln(x^n)\rightarrow{\infty} \); como \( \ln x \) es creciente (y continua, por ser derivable), \( \ln x \), tal que \( x\in{\mathbb{R}} \), tiende a infinito cuando \( x\rightarrow{\infty} \).
2- Cuando \( n\in{\mathbb{Q}} \) tiende a infinito, \( \ln(1/x)^n\rightarrow{-\infty} \); como \( \ln x \) es creciente (y continua, por ser derivable), \( \ln x \), tal que \( x\in{\mathbb{R}} \), tiende a menos infinito cuando \( x\rightarrow{0+} \).

El truco del almendruco. ¿Por qué no enseñan directamente la gráfica de la función?; yo por lo menos algebraicamente sólo, ni idea.

¡Un saludo!

27
Cálculo 1 variable / Propiedades y límites del logaritmo natural
« en: 08 Agosto, 2021, 02:30 am »
Hola, estimado Rincón

Tengo una cita de "Cálculo", de Robert A. Adams, y unas dudas:

Citar
El apartado (iv) del Teorema 2

Spoiler
(iv) \( \ln(x^r)=r\ln x \)

Como no deseamos suponer que las exponenciales son continuas (como hicimos en la Sección 3.2), diremos por el momento que (iv) sólo es válido para exponentes \( r \) que sean números racionales.
[cerrar]


demuestra que \( \ln(2^n)=n\ln2\rightarrow{\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Por tanto, tenemos también que \( \ln(1/2)^n=-n\ln2\rightarrow{-\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Como \( (d/dx)\ln x=1/x>0 \) si \( x>0 \), se deduce que \( \ln x \) es creciente, por lo que debemos tener (véase la Figura 3.11-gráfica de la función \( y=\ln x \))

\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\ln x}=\infty \)         \( \displaystyle\lim_{x \to{}0+}{\ln x}=-\infty \)

Dudas:
-¿Por qué no desea suponer que las exponenciales son continuas?
-No entiendo el razonamiento que he citado. Lo divido en tres partes, que no conecto:
 1-El apartado (iv) del Teorema 2 demuestra que \( \ln(2^n)=n\ln2\rightarrow{\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \). Por tanto, tenemos también que \( \ln(1/2)^n=-n\ln2\rightarrow{-\infty} \) cuando \( n\rightarrow{\infty} \) (creo que lo entiendo, si \( \ln 2 \) es una constante)
 2-Como \( (d/dx)\ln x=1/x>0 \) si \( x>0 \), se deduce que \( \ln x \) es creciente (lo entiendo)
 3-, por lo que debemos tener (véase...)

\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\ln x}=\infty \)         \( \displaystyle\lim_{x \to{}0+}{\ln x}=-\infty \)

¡Un saludo!

28
Hola, estimado Rincón, franma, ahora soy yo el que teme sobrecargar el hilo. El caso es que he resuelto la duda: primero, ahora sé cuál era la pregunta:


¿Cómo se sabe, partiendo de la definición de logaritmo natural, que \( \ln(x+h)-\ln x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distinguimos tres casos ( \( x \) y \( h \) son ambos mayores que cero):

1) \( x<1 \) y \( (x+h)<1 \)
2) \( x<1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)
3) \( x\geq1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)


Y los han resuelto por mí. Yo os lo traslado en tres archivos de Geogebra.







¡Un abrazo!

29
Yo probaría la inyectividad pasando primero por demostrar que es una función estrictamente monótona.

¡Perfecto! Me paso otra vez a Physics Forums. Volveré, como ese de la peli... :laugh:

¡Un saludo!

30
Ya me he enterado. He ido a publicar y estaba todo indicado.

¡Un saludo, Rincón!

31
Hola, RM

Tengo 5 archivos de 173 kb cada uno, y quería adjuntarlos todos en un mismo mensaje. ¿Es posible? ¿Alguna recomendación?

¡Un saludo!

32
¡Hola,franma!

Muy interesante tu último mensaje, pero el empleo de integrales es tabú :laugh:. Hay que llegar a \( \ln(x+h)-\ln x \) prescindiendo de nada que no sea la definición del libro. Revisando el hilo he visto una aportación tuya que me ha resultado muy interesante. Voy a investigar por aquí, y voy a seguir tu consejo de hacer un dibujo. Lo voy a intentar con Geogebra. ¡Estamos!


...En ese caso tendría una duda que no sé concretar muy bien: ¿cómo sabe que \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. ...

Como nos definen el logaritmo, pensémoslo como esa función que nos da el área debajo de \( f(t)=\dfrac{1}{t} \).
Entonces primero tenemos \( \ln(x+h) \) que es al área entre la recta \( y=1 \) e \( y=x+h \).
Luego le quitamos \( \ln(x) \) que es el área entre la recta \( y=1 \) e \( y=x \).

Puedes ayudarte de un dibujo para convencerte, esta operación nos dejara solamente con el área entre las rectas \( y=x \) e \( y=x+h \).

Luego si te han presentado las sumas superiores o inferiores puedes ayudarte de ellas, para aproximar / acotar el valor del logaritmo.
\( \dfrac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \)
Aunque también es posible hacerlo con un argumento geométrico.

Espero haya sido de ayuda :).

Saludos,
Franco.

33
Hola, estimado Rincón. Me ha vuelto a surgir la duda que planteaba al principio de este hilo. Cito el primer mensaje:

Hola, RM

Tengo la siguiente definición de logaritmo natural, y una duda. Cito primero:

Citar
DEFINICIÓN 6 Logaritmo natural

Para \( x>0 \), sea el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( \mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln}=\;x\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)

y se muestra en la Figura 3.9.




La definición implica que \( \mbox{ln}\;1=0 \), que \( \mbox{ln}\;x>0 \) si \( x>1 \), que \( \mbox{ln}\;x<0 \) si \( 0<x<1 \) y que es una función uno a uno. Ahora demostraremos que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \). La demostración de este resultado es similar a la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo que proporcionaremos en la sección 5.5

TEOREMA 1 Si \( x>0 \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\dfrac{1}{x} \)

DEMOSTRACIÓN Para \( x>0 \) y \( h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región plana limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \). Corresponde al área sombreada en la Figura 3.10. Comparando esta área con la de los dos rectángulos se puede ver que

\( \dfrac{h}{x+h}<\mbox{area sombreada}=\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x<\dfrac{h}{x} \)

Por tanto, el cociente de Newton de \( \mbox{ln}\;x \) cumple

\( \dfrac{h}{x+h}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x} \)

Haciendo que \( h \) tienda a cero por la derecha, se obtiene (por el Teorema del Sandwich aplicado a límites unilaterales)

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)





Un argumento similar permite demostrar que si \( 0<x+h<x \), entonces

\( \dfrac{1}{x}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x+h} \)

por lo que

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)

Combinando estos dos límites laterales se obtiene el resultado deseado:

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)


Duda: ¿es a partir de la definición de logaritmo natural la demostración de que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \)? En ese caso tendría una duda que no sé concretar muy bien: ¿cómo sabe que \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distingo tres casos:

1- para \( 1>x>0 \) y \( 1>h>0 \), a partir de la definición, el área de la región limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \), sería \( -(\mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x) \);

2- para \( x>1 \) y \( 1>h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \);

3- para \( x>1 \) y \( h>1 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x \).

¡Un saludo!

He iniciado un hilo en Physics Forums para solucionar la duda:

https://www.physicsforums.com/threads/how-to-conclude-a-mathematical-expression-with-the-provided-background.1005619/

¿Se sabe, partiendo de la definición de logaritmo natural, que \( \ln(x+h)-\ln x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distinguen tres casos ( \( x \) y \( h \) son ambos mayores que cero):

1) \( x<1 \) y \( (x+h)<1 \)
2) \( x<1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)
3) \( x\geq1 \) y \( (x+h)\geq 1 \)

La definición implica que \( \mbox{ln}\;1=0 \), que \( \mbox{ln}\;x>0 \) si \( x>1 \), que \( \mbox{ln}\;x<0 \) si \( 0<x<1 \) y que es una función uno a uno.

Batería >:D de preguntas:

a-¿Cómo ha llegado a este desglose de casos para \( x \) y \( (x+h) \)? Antes de leerlo me parecía una tarea complicadísima y no llegaba a ninguna conclusión; ahora que lo veo tengo la sensación de que era terríblemente sencillo. ¿Por qué es exhaustivo?.

b-¿Por qué para estos tres casos, el área de la región limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \) y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \), es, en los tres casos, \( \ln (x+h)-\ln x \)?.

Mi intento:

a- Ha partido del hecho de que \( x \) y \( h \) eran ambos mayores que cero:
1)-Tanto \( x \) como \( (x+h) \) son mayores que cero. Ambos están en el caso donde el área es negativa.
2)-\( x \) está en el caso del área negativa, y \( (x+h) \) cubre cuando el área es nula o mayor que cero.
3)-Para \( x \) tal que esta se encuentre allí donde el área es menor o igual a cero, y \( (x+h) \) igual o mayor que cero.
¿Es una cuestión de combinatoria de casos distintos para la variable independiente?.

b- Una función inyectiva, o uno a uno, lo es si a elementos distintos de una función de dominio \( X \) le corresponden elementos distintos del codominio \( Y \). ¿Por qué es inyectiva? ¿Me sirve esto para afirmar que para todos los escenarios posibles establecidos anteriormente, el área bajo la curva \( y=1/t \), \( x \) y \( (x+h) \) es \( \ln(x+h)-\ln x \)?

¡Vaya intento! ???

¡Un saludo!

34
Dudas y sugerencias del foro / Re: Arqueólogo
« en: 01 Agosto, 2021, 03:43 pm »
¡Gracias, martiniano, Rincón!

De momento voy a esforzarme un poco yo solo, aunque sólo sea por madurar las dudas.

¡Un saludo!

35
Dudas y sugerencias del foro / Arqueólogo
« en: 01 Agosto, 2021, 12:19 pm »
Hola, Rincón

Querría postear de nuevo en el hilo "Derivada del logaritmo natural a partir de la definición", iniciado por mí. Di por solucionada la duda, y así lo creí, pero avanzando en el temario vi la necesidad de echar marcha atrás y revisar lo leído sobre funciones transcendentes. Surgió de nuevo la duda, y publiqué en Physics Forums.

¿Podría publicar un enlace al hilo? Querría pistas sobre cómo responder.

¡Un saludo!

36
¡Gracias, mathtruco!

37
Hola, necesito un libro de texto actualizado de "Calculus", de Robert A. Adams. Creo que en inglés lo hay, pero he estado mirando en internet, y creo que en la séptima (u octava) edición en este idioma, cambia el título y se añaden autores. El contenido es lo que me interesa. ¿Es una edición renovada del que tengo (sexta edición en español, de título "Cálculo").
Un saludo, Rincón.

38
Cálculo 1 variable / Re: Crecimiento logístico
« en: 24 Julio, 2021, 02:07 pm »
¡Muchas gracias, Luis Fuentes!

Había derivado \( y \), y esperaba obtener \( \dfrac{dy}{dt}=ky_0\left({1-\dfrac{y_0}{L}}\right) \). Partía de dos premisas: \( L=y_0e^{kt} \), e \( y=y_0 \). Una chapuza.

¡Un saludo!

39
Cálculo 1 variable / Crecimiento logístico
« en: 24 Julio, 2021, 11:22 am »
Hola

Tengo un texto y unas dudas. Primero cito el texto, y luego las dudas:

Citar
Crecimiento logístico

Pocas cantidades en la naturaleza pueden sostener un crecimiento exponencial durante períodos extensos de tiempo. El crecimiento generalmente estará limitado por restricciones externas. Por ejemplo, supongamos que un pequeño número de conejos (de ambos sexos) se introduce en una pequeña isla donde no había conejos previamente, y donde no existen depredadores que puedan comerse a los conejos. En virtud de su fertilidad natural, el número de conejos podría crecer exponencialmente, pero este crecimiento al final estará limitado por la cantidad de alimento disponible para los conejos. Supongamos que la isla puede proporcionar suficiente alimento para sostener indefinidamente una población de \( L \) conejos. Si hay \( y(t) \) en el instante \( t \), podemos esperar que \( y(t) \) crezca con una velocidad proporcional a \( y(t) \) siempre que  \( y(t) \) sea lo suficientemente pequeño (mucho menor que \( L \)). Un posible modelo para este comportamiento es la ecuación difrerencial

\( \dfrac{dy}{dt}=ky\left({1-\dfrac{y}{L}}\right) \)

que se denomina ecuación logística ya que modela un crecimiento limitado por el suministro de recursos necesarios. Obsérvese que \( dy/dt>0 \) si \( 0<y<L \) y que esta velocidad es pequeña si \( y \) es pequeña (hay pocos conejos para reproducirse) o si \( y \) tiene un valor cercano a \( L \) (hay casi tantos conejos como los recursos disponibles pueden alimentar). Obsérvese también que \( dy/dt<0 \) si \( y>L \). Si hay más animales de los que los recursos pueden alimentar, los conejos mueren con mayor velocidad que nacen. Por supuesto, las poblaciones en estado estacionario \( y=0 \) y \( y=L \) son soluciones de la ecuación logística: en ambos casos \( dy/dt=0 \). En la sección 7.9 examinaremos técnicas para resolver ecuaciones diferenciales como la ecuación logística. Por ahora, invitaremos al lector a verificar por diferenciación que la solución que cumple \( y(0)=y_0 \) es

\( y=\dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}} \)

Me sale un enredo algebraico irreductible:

\( \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{Ly_0^2e^{-kt}kt-L^2y_0kt}{y_0^2+e^{-2kt}L-y_0e^{-2kt}+2y_0L-2y_0^2e^{-kt}} \)

¡Un saludo!

40
 :laugh:

https://www.manualslib.com/download/1112279/Casio-Fx-82ms.html

Me refiero a que, aparte de la duda sobre la calculadora, he detectado que no he comprendido como a mí me gustaría las páginas que creo haber estudiado. Y no es una cuestión de disciplina académica, sino de actitud: estudio porque me lo paso bien. Ni siquiera me preocupa mi rendimiento efectivo en la Uned; incluso me siento incómodo diciendo que soy estudiante de Grado...Nada más ni menos que Físicas.

No, yo estoy...Pasándolo bien.  ;)

¡Un saludo!

Páginas: 1 [2] 3 4 5 ... 107