Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - Marcos Castillo

Páginas: 1 ... 4 5 6 [7] 8 9 10 ... 107
121
¡Hola, RM!

Richard R Richard, por favor, explícame tu aproximación. En el foro Physics Forums creo que lo he entendido; Luis Fuentes entendido, pero tu enfoque es lo único que me falta por entender, y es fundamental.


eso refiere a que la ecuación del costo es una recta, son la suma de los costos fijos más los variables

\( C=C_F+xc_v \)


\( C_F \) es una constante. \( c_v \) es la pendiente de la recta \( x \). Pero \( \dfrac{dC}{dx} \) es \( C'(x)=5.40-0.002x+0.000006x^2 \). ¿Cómo has hallado \( c_v \)?

el coste crece con tasa

\( \dfrac{dC}{dx}=c_v \)

Para mí \( \dfrac{dC}{dx}=c_v=5.40-0.002x+0.000006x^2 \)

pero el coste medio es

\( C_m=\dfrac{C}{x}=\dfrac{C_F+xc_v}{x}=\dfrac{C_f}{x}+c_v \)


¿Qué es \( C_f \)?

la tasa de crecimiento del coste medio es

\( \dfrac{dC_m}{dx}=-\dfrac{C_F}{x^2} \)


¿Cómo has derivado? :-[


es negativa... el coste medio cae  pero el coste variable permanece constante.


¿El coste variable, cómo has conseguido que permanezca constante?

¡Un saludo!

122
¡Hola, RRR!

La traducción (si mi inglés no me falla) de la novena edición inglesa (yo tengo la sexta en castellano): "Si el nivel de producción \( x \) es ligeramente incrementado desde \( x=1000 \), entonces el costo medio por tonelada caerá, porque el costo es incrementado en una tasa más baja que el costo medio. En \( x=2000 \) se verifica lo opuesto; un incremento en la producción incrementará el costo medio por tonelada."

Vamos, que bien. Cito otra vez mi libro:
"Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste medio por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio. En \( x=2000 \) ocurre lo contrario. Un incremento en la producción aumentará el coste medio por tonelada."

Voy a trabajar un poco sobre tu mensaje, Richard. Y tal vez abra un hilo en Physics Forums, donde me han proporcionado información sobre la cita.

¡Un saludo!

123

Por otra parte no entiendo muy bien lo de la tangente


Nada, estaba mezclándo churras con merinas: la idea de derivada con la de pendiente expresada en porcentaje


Citar
Me centro en la primera frase: "Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio."


No sé qué quiere decir aquí con tasa de crecimiento, es decir, no tengo una idea clara de a lo que se refiere que está marcado en negrita, sin eso no puedo ayudarte mucho más.


Yo tampoco. He visto esto:

Respecto al coste medio:
\( C(1000)/1000=10.6/\mbox{ton} \)
\( C(1001)/1001=10.5948042/\mbox{ton} \)

Coste marginal:
\( C'(1000)=9.4/\mbox{ton} \)
\( C'(1001)=5.4/\mbox{ton} \)

Pero esto lo ve cualquiera. Voy a enterarme si puedo de la frase original en inglés.

¡Un saludo!

124
Hola, ¿qué tal?. Tengo un texto y al final me ha surgido una duda. Primero el texto y luego la duda:

"Derivadas en economía

Del mismo modo que los físicos utilizan los términos de velocidad y aceleración para referirse a las derivadas de ciertas cantidades, los economistas también tienen su vocabulario especializado para denominar a las derivadas. Las denominan marginales. En economía el término marginal se refiere a la velocidad o tasa de cambio de una cantidad con respecto a la variable de la que depende. Por ejemplo, el coste de producción \( C(x) \) en una operación de fabricación es función de \( x \), el número de unidades de producto producidas. El coste marginal de producción es la velocidad de cambio de \( C \) con respecto de \( x \), y por tanto es \( dC/dx \). Algunas veces el coste marginal de producción corresponde aproximadamente al coste extra de producir una unidad más, es decir,

\( \Delta{C}=C(x+1)-C(x) \)

Para ver por qué esto es aproximadamente correcto, observemos en la Figura 2.32 que si la pendiente de \( C=C(x) \) no varía muy rápidamente cerca de \( x \), entonces el cociente de incrementos \( \Delta{C}/\Delta{x} \) tomará un valor próximo a su límite, la derivada \( dC/dx \), incluso cuando \( \Delta{x}=1 \).



Ejemplo 5 (Tasas marginales de impuestos). Si la tasa marginal de impuestos sobre ingresos es del 35% y los ingresos crecen en 1000 Euros, habrá que pagar unos 350 Euros extras en impuestos. Significa que en el nivel de ingresos actual \( l \), la tasa de incremento de de los impuestos \( T \) con respecto a los ingresos es \( dT/dl=0,35 \). Es decir, se pagan 0,35 Euros de impuestos por cada euro extra que se ingresa. Por supuesto, si el nivel de ingresos aumenta mucho, puede pasarse a otro segmento impositivo y aumentar las tasas marginales.

Ejemplo 6 (Coste marginal de producción) El coste de producir \( x \) toneladas de carbón por día en una mina es \( C(x) \) Euros, siendo

\( C(x)=4200+3.40x-0.001x^2+0.000002x^3 \)

(a) ¿Cuál es el coste medio de producir cada tonelada si el nivel diario de producción es de 1000 toneladas? ¿Y si es de 2000 toneladas?

(b) Calcule el coste marginal de producción diaria es de 1000 toneladas y de 2000 toneladas.

(c) Si el nivel de producción crece ligeramente de las 1000 toneladas o de las 2000 toneladas, ¿qué sucederá con el coste medio por tonelada?

Solución

(a) El coste medio por tonelada de carbón es

\( \dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{4200}{x}+5.40-0,001x+0.000002x^2 \)

Si \( x=1000 \), el coste medio por tonelada es de \( C(1000)/1000=10.6/\mbox{ton} \). Si \( x=2000 \), el coste medio por tonelada es de \( C(2000)/2000=13.5\;\mbox{E/ton} \).

(b) El coste marginal de producción es

\( C'(x)=5.40-0.002x+0.000006x^2 \)

Si \( x=1000 \), el coste marginal es de \( C'(1000)=9.4/\mbox{ton} \). Si \( x=2000 \), el coste marginal es de \( C'(2000)=25.4\;\mbox{E/ton} \).

(c) Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste medio por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio. En \( x=2000 \) ocurre lo contrario. Un incremento en la producción aumentará el coste medio por tonelada."

Dudas:

Voy a hablar, a ver si es correcto:

En el ejemplo 5, la tasa es \( dT/dl\cdot 100 \), porque para ángulos pequeños, \( \tan \alpha \approx \alpha \)

En relación al párrafo (c) último de la cita. Me centro en la primera frase: "Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio."

He dibujado con Geogebra \( C(x) \), y he visto que las pendientes cerca de \( x=1000 \) son muy pronunciadas. No sirve la fórmula \( dC/dx \cdot 100 \). Hallo el arcotangente de 9,4/ton, que es 83,92º, y esa es la tasa marginal de costes en \( x=1000 \): 83,92%

¿El criterio de la segunda derivada no sería más rápido?: \( C''(1000)=0,118>0 \), y por lo tanto es un mínimo local en ese intervalo (¿qué intervalo?, me pregunto)....Pero no, porque \( C''(2000)=0,24 \)...

¡Un saludo!

125
¡Luis, Juan Pablo, Rincón, muchísimas gracias!
feriva, ¡un saludo!

126
Hola, estimado RM

¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en \( x=3 \)?

1- \( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)


Si, SI es una función a trozo. Un trozo son los racionales en los que está definida de una manera y otro trozo los irracionales en los que está definida de otra.

Entonces por definición es derivable en \( 3 \) si existe el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to 3}{}\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3} \) (*)

Ese límite se desdobla en dos, distinguiendo si \( x \) es racional o irracional:

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3} \)

\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3} \)

Para que el límite (*) existe los otros dos tienen que existir y tomar el mismo valor, lo cuál puedes demostrar fácilmente.

Formalmente lo que estamos usando es que si tienes \( g:\Bbb D\to \Bbb R \), \( D=A\cup B \) y consideras las restricciones:

\( g_1:\Bbb A\to \Bbb R,\quad g_1(x)=g(x) \)
\( g_2:\Bbb B\to \Bbb R,\quad g_2(x)=g(x) \)

Entonces si:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g_1(x)=\displaystyle\lim_{x \to a}{}g_2(x)=L \)

entonces:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}g(x)=L \)


\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb Q,\,x \to 3}{}\dfrac{x^2-9}{x-3}=6 \)

Para \( x \in\Bbb Q \), \( \forall{\varepsilon} \) \( \exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{\left |{\dfrac{x^2-9}{x-3}-6}\right |=|x+3-6|=|x-3|<\varepsilon} \). Por lo tanto, \( \delta_1=\varepsilon \)


\( \displaystyle\lim_{x\in \Bbb I,\,x \to 3}{}\dfrac{6(x-3)+9-9}{x-3}=6 \)


Para \( x \in\Bbb R\setminus{\Bbb Q} \), \( \forall{\varepsilon} \) \( \exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{\left |{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}-6}\right |=|6-6|=0<\varepsilon} \). Por lo tanto, \( \delta_2 \) puede tomar cualquier valor positivo, y la implicación será cierta.

Eligiendo \( \delta_1=\varepsilon \), por ser más restrictivo, probamos la derivabilidad de la función en \( x=3 \)

2- ¿Por qué la función no es continua cuando \( x \neq 3 \)?

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb Q}{}x^2=x_0^2 \)

Prueba: Si \( 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow{|x^2-x_0^2|<\varepsilon} \)

\( |x^2-x_0^2|=|x-x_0||x+x_0| \)

Tomamos una primera restricción: \( |x-x_0|<1\Leftrightarrow{x_0-1<x<x_0+1}\rightarrow{|x+x_0|<2|x_0|+1} \) (Este paso es totalmente inseguro, he intentado razonarlo en el spoiler, pero no estoy nada seguro).

Spoiler
\( x_0 \in \Bbb Q\setminus{\{3\}} \):
\( x_0-1<x<x_0+1 \);
\( 2x_0-1<x+x_0<2x_0+1 \);
\( |x+x_0|\leq{|x|+|x_0|<|x_0|<2|x_0|+1} \)
[cerrar]

Por lo tanto, para \( \delta=\mbox{mín}\left ({1, \dfrac{\varepsilon}{1+2|x_0|}}\right ) \) este límite es cierto.

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}(6(x-3)+9)=6x_0-9 \)

Prueba:

Si \( 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow{|(6x-9)-(6x_0-9)|<\varepsilon} \)

\( |6x-9-6x_0+9|<\varepsilon\Rightarrow{6|x-x_0|<\varepsilon} \)

Para \( \delta=\varepsilon/6 \)

y \( x_0^2=6x_0-9 \) sólo si \( x_0=3 \)

¿Correcto?.

¡Un saludo!

127
¡Gracias!. Voy a trabajar un poco el asunto.
Un saludo

128
Para ver donde no es derivable puedes hacer:
Si \( f \) es derivable en un punto \( a \) entonces es continua en ese punto, nos quedaría que:
\( a^2 = 6 \cdot (a-3) + 9  \) por continuidad , que es lo mismo que \( a^2 = 6 \cdot a -9  \) tenemos que:
\( 0 = a^2 - 6 \cdot a + 9 = (a-3)^2  \) entonces \( a=0 \) haces el contrarreciproco y te queda que si \( a \neq 0 \) entonces no es continua en \( a \).

Es que mi problema es que aprobé el Curso de Acceso, pero no tengo ni idea de nada. Este ejercicio me lo ha demostrado. Voy a intentar subir el documento de Word que estaba destinado al profesor particular que esperaba conseguir a través de la Uned. Si no lo consigo, disculpad. No quiero salir del contexto de este documento. Es como comenzar de cero.

129
Hola, estimado foro

Este ejercicio ha puesto a prueba mis conocimientos sobre conjuntos, cálculo, diferenciabilidad, continuidad, funciones... He elaborado en Word otra propuesta de solución, que en su primera parte (correspondiente a la pregunta sobre porqué es derivable en \( x=3 \)) no modifico respecto al último mensaje publicado en este hilo, pero cambio respecto a la segunda parte (por qué no es derivable en \( x\neq 3 \)); aunque persisten las dudas.

He confeccionado el documento en Word, porque mi primera intención era que la Uned me proporcionara la posibilidad de encontrar un graduado al que remunerar en una relación vía correo electrónico y postal...Esto se sale del ámbito del Rincón y de la Uned, por el contexto que vivimos, que ha hecho que el tablón de anuncios se retire. He explorado la vía de encontrar un profesor en la red, pero me genera mucha incertidumbre sobre su efectividad, e incluso inseguridad.

No se ha respondido a mi anterior mensaje. ¿Qué os parece que adjunte otra propuesta? Es menos delirante, pero sigue siendo especulativa y está llena de dudas; pero dudas concisas. El problema es el formato. Pero eso tiene arreglo: puedo teclearla en un día o dos en LaTeX.

¡Un saludo!

130
Hola, estimado RM.

No sé si he hecho bien el razonamiento. Estoy bastante seguro de los primeros pasos, pero no de la segunda parte. He dividido en dos el mensaje: (1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \); y (2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?. Gracias de antemano, RM. Ahí va:

¿Por qué \( f(x)=\begin{cases}{g(x)=x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\h(x)=6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) tiene derivada sólo en \( x=3 \)?

(1)- ¿Por qué la función tiene derivada en \( x=3 \)?

\( \displaystyle\lim_{x \to{3}}{\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}} \)

Este límite se convierte en dos:

(a)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb Q, x \to{3}}{\dfrac{x^2-9}{x-3}}=6 \)

(b)-\( \displaystyle\lim_{x \in \mathbb I, x \to{3}}{\dfrac{(6(x-3)+9)-9}{x-3}}=6 \)

Prueba de (a)

Para \( x\in \mathbb Q\;\forall{\epsilon_1>0}\;\exists\;{\delta_1} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_1\Rightarrow{|g(x)-9|=|x^2-9|<\epsilon_1} \):

\( \delta_1=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3}}\right ) \)

Prueba de (b)

Para \( x\in \mathbb I\;\forall{\epsilon_2>0}\;\exists\;{\delta_2} \) tal que si \( 0<|x-3|<\delta_2\Rightarrow{|h(x)-9|=|(6(x-3)+9)-9|<\epsilon_2} \):

\( \delta_2=\dfrac{\epsilon_2}{6} \)

\( \delta=\mbox{mín}\left ({1,\dfrac{\epsilon_1}{3},\dfrac{\epsilon_2}{6}}\right ) \)


Si separamos el dominio de una función en dos subconjuntos, nos acercamos a un punto \( a \) por cada uno de ellos, y por ambos alcanzan el mismo valor, la función se acerca a este valor por todo el dominio.

Prueba:

\( f:\mathbb R\rightarrow{\mathbb R} \)

\( h:\mathbb Q\rightarrow{\mathbb R} \)

\( g:\mathbb R\setminus{\mathbb Q}\rightarrow{\mathbb R} \)

(2)- ¿Por qué no tiene en \( x\neq 3 \)?

Asumamos que \( h(x)\neq g(x) \) si \( x\neq 3 \)

Tomamos \( \epsilon=|g(x)-h(x)|/2 \)

Como \( h \) es continuo en \( x=3 \)

\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|h(x)-6|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)

Ahora, por la desigualdad triangular

\( |f(x)-6|=|h(x)-6|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-6|}\geq |g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-h(3)|\geq\epsilon \)

Por otra parte, como \( g \) es continua en \( x=3 \)

\( \forall{\epsilon}>0 \), \( \exists{\delta}>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta\Rightarrow{|g(x)-9|<\epsilon}=|g(x)-h(x)|/2 \)

Ahora, por la desigualdad triangular

\( |f(x)-9|=|g(x)-9|\geq{|g(x)-h(x)|-|g(x)-9|}\geq|g(x)-h(x)|-|g(x)-h(x)|/2=|g(x)-h(x)|/2 \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \epsilon>0 \) y \( \delta>0 \) tal que

\( 0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-g(3)|\geq\epsilon \)

En consecuencia, hemos encontrado \( \delta>0 \) y \( \epsilon>0 \) y \( \begin{cases}{|f(x)-h(3)|\geq\epsilon}\\|f(x)-g(3)|\geq\epsilon\end{cases} \)

Por lo tanto

\( \exists{\epsilon>0}\;\forall{\delta>0}\;\exists{x\in \mathbb R\setminus{\{3\}}}:\;0<|x-3|<\delta \) y \( |f(x)-f(3)|\geq\epsilon \)

¿Correcto?

¡Un saludo!

131
¡Muchas gracias, Luis!

Tengo que estudiar tu mensaje, y hacer los deberes. Te confieso que en un rápido vistazo me ha sonado todo, pero debo leerlo más detenidamente. Ya tengo toda la información en mis manos. En una semana os escribo. Mi objetivo, o mejor dicho, mi decisión, es: o bien lo soluciono por mí mismo, o bien lo abandono y retomo el libro de la asignatura en la que estoy matriculado (Análisis, del primer curso del grado de físicas). Pero no más mensajes. Arrastro el ejercicio desde hace mucho tiempo. Son muchos mensajes en dos foros diferentes, y ningún avance significativo por mi parte hasta el momento.

En cuanto al hilo que abrí en Physics Forums, no voy a aburrirles más. Voy a informarles de mi decisión: un último mensaje en RM en torno a este ejercicio, en este hilo, dentro de una semana, y un mensaje que voy a redactar a continuación, en el que, lo mejor que pueda, comunico mi intención de dejar de importunarles con mis preguntas.

¡Un abrazo, RM!

132
1) Qué definición de continuidad manejas y que caracterizaciones equivalentes conoces.

Definición. Se dice que una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)}=f(a) \)

Con la terminología épsilon-delta la definición de continuidad es de la siguiente forma:

Definición. Una función \( f \) es continua en un punto \( a \) cuando para cada \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \), tal que \( |f(x)-f(a)|<\epsilon \) siempre que \( |x-a|<\delta \)

Continuidad por la derecha, por la izquierda, continuidad en un intervalo abierto, en un intervalo cerrado, operaciones con funciones continuas (suma, resta, multiplicación, división y composición)

Teoremas fundamentales sobre las funciones continuas en intervalos

Teorema. Sean \( I \) un intervalo y \( f:I\rightarrow{\mathbb R} \) una función continua. Entonces el conjunto \( f(I)=\{f(x):x\in \mathbb R\} \) es bien un intervalo o bien un punto.

Teoremas de los valores intermedios, Teorema de Bolzano, Teorema de Weierstrass, continuidad de la función inversa


2) Qué definición de derivabilidad y caracterizaciones conoces.

Funciones derivables

Tasa de variación media de una función
Tasa de variación instantánea
Derivada de una función en un punto. Relación entre derivabilidad y continuidad.
Interpretación geométrica de la derivada
Función derivada. Derivadas sucesivas
Derivadas de las operaciones con funciones
Derivadas de las funciones elementales
Interpretación física de la derivada
Aplicaciones de las derivadas al cálculo de límites: L'Hopital, indeterminaciones...
Teoremas de Rolle y del Valor Medio

3) Que resultados sobre límites conoces. ¿Alguno relacionado con funciones definidas a trozos?.

Sí. Las funciones definidas a trozos me resultan familiares: determinación de la continuidad en los puntos donde la función cambia de expresión.

Fíjate que pocas veces uno demuestra cosas basándose únicamente en la definición; casi siempre se usan resultados auxiliares que una vez demostrados en general, aligeran el trabajo. Por ejemplo en el cálculo de límites uno se apoya siempre en los límites de las funciones elementales, que son conocidos, y en propiedades tipo "límite de la suma es la suma de los límites" (y otras análogas).

Entendido.

Yo tengo ganas de resolver la duda del primer mensaje de este hilo: ¿por qué \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \) es derivable sólo en el punto \( x=3 \)?. Pero esto no es una función definida a trozos; no sé ni cómo llamarla.

En el foro Physics Forums me recomiendan plantear al tutor qué camino seguir en el último post

Os dejo un enlace al hilo

https://www.physicsforums.com/threads/thoughts-on-the-derivative-of-a-function.1001549/page-2#post-6483992

¡Un saludo!

133
Hola, estimado RM

El profesor particular no responde. Acudí al tutor de la Uned con las siguientes preguntas:

-¿Cuál es el dominio de la función?
- Probar que la función es derivable sólo en \( x=3 \)
- Probar que es discontinua si \( x\neq 3 \)
Mi objetivo era solucionar estas preguntas prescindiendo de la topología, con argumentos no topológicos :banghead:

Me ha respondido ayer: "Para que la función sea derivable, debe existir y ser continua, por lo tanto, cuando \( x=3 \), la función existe y además es continua, ya que para todo valor diferente de \( x=3 \) al ser irracional, no existirá.
Si \( x \) es racional, el dominio es para todo \( x \) desde menos infinito a más infinito."

No entiendo esta respuesta, aunque estoy seguro de que, a pesar de ser expeditiva, es la respuesta.

Dudas:

- ¿Cuál es el dominio de la función?
- En este hilo se demostró, por sucesiones, y topológicamente, que es derivable sólo (sólo, ¿verdad? :-[) en \( x=3 \). En un principio he intentado hacer una aproximación a la topología: YouTube, internet...No lo consigo; por otra parte he decidido no entrar en este área, por centrarme más en cuestiones de análisis, la asignatura que tengo entre manos. Resumiendo, que me ciño al enunciado del Teorema de Caracterización de Límites por Sucesiones. ¿Cuál es en inglés este teorema?. No encuentro nada.
- ¿Tiene algo que ver en el teorema la densidad de \( \mathbb Q \) y \( \mathbb R\setminus{\mathbb Q} \) en \( \mathbb R \)?. No consigo visualizar el concepto de "para toda sucesión \( \left\{{x_n}\right\}_{n\in\mathbb N} \) tal que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\left\{{x_n}\right\}}=c \)"

¡Un saludo!

134
Bueno, hay una cuarta alternativa :): estudiarlo mejor. Y otra más, que tampoco descarto: un profesor particular al que ya he acudido en otras ocasiones, muy bueno.
Pero en principio, voy a necesitar tiempo, para estudiarlo mejor: sucesiones, topología... Vamos, la asignatura de la Uned en la que estoy matriculado (sólo me he matriculado en esta, Análisis).
¡Un saludo, RM!

135
Hola

Puede haber una forma de evitar la topología, y las sucesiones que no consigo visualizar. Son tres preguntas que me sugirieron en Physics Forums:

1- ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando restringimos \( c \) a \( \mathbb{Q} \)?

No existe. El cálculo se basa en las propiedades de los reales, y los racionales carecen de completitud.

2-  ¿Cuál es \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) cuando \( c\notin{Q} \)?

Tampoco existe, por el mismo motivo.

3- ¿Qué precisa \( \lim_{c \to x}{f(x)} \) para existir cuando \( c \) puede ser cualquier número real?

Precisa un entorno continuo y no abrupto. ¿También podría dar la definición formal de límite?.

Un saludo

136
Hola, estimado Rincón

Fernando, tu resolución es meridiana, pero necesito un tiempo para familiarizarme con conceptos básicos de topología: por ejemplo el de espacio topológico. Tomemos como referencia http://fernandorevilla.es/blog/2018/05/04/punto-de-acumulacion/.

El enunciado 1 de los ejercicios resueltos sobre puntos de acumulación parte de un espacio topológico, y las definición que encuentro en Wikipedia es engorrosa para mí, o poco formal en YouTube. ¿Qué es un espacio topológico?; ¿por qué \( G \) debe ser abierto?

Juan Pablo:

\( a_n=\dfrac{1}{n}+3 \)

\( b_n=\dfrac{\pi}{n}+3 \)

¿O estoy de nuevo particularizando?.

¡Un saludo!

137
Hola, estimado RM

Bien, lo que he hecho es esto:

\( \{i_n\}_{n \in \mathbb N}=\dfrac{e}{n} \)

\( \{r_n\}_{n \in \mathbb N}=\dfrac{1}{n} \)

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\dfrac{f\left(9+\dfrac{e}{n}\right)-f(9)}{\dfrac{e}{n}}} \) si \( f=6(x-3)+9 \), y me da 6.

\( \displaystyle\lim_{n \to\infty}{\dfrac{f\left(9+\dfrac{1}{n}\right)-f(9)}{\dfrac{1}{n}}} \) si \( f=x^2 \), y me da 18.

Así que creo que bien: los límites funcionales son 6 y 18.

¿Correcto?.

¡Un saludo!

138
Hay un teorema que dice que un límite funcional existe si y solo si el mismo límite existe utilizando sucesiones. Es decir que

\( \displaystyle{
\lim_{x\to c}g(x)=L\iff \lim_{n\to\infty}g(x_n)=L\text{ para toda sucesión }\{x_n\}_{n\in \mathbb N}\text{ tal que }\lim_{n\to\infty }x_n=c
} \)

Entonces, utilizando lo anterior, te basta con ver si el límite que define la derivada en un punto es el mismo y existe para cual sucesión de números racionales o de números irracionales \( \{h_n\}_{n\in \mathbb N} \) que converjan a cero, es decir, si el límite

\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty }\frac{f(9+h_n)-f(9)}{h_n}
} \)

existe y es el mismo para toda sucesión nula de números racionales, y toda sucesión nula de números irracionales.

Eso es debido a que si tienes una sucesión arbitraria \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) que contenga infinitos números racionales e infinitos números irracionales entonces \( \{x_n\}_{n\in \mathbb N} \) puede descomponerse en dos subsucesiones: una solamente de números racionales y otra solamente de números irracionales, y observar que la convergencia en ambas subsucesiones implica la convergencia en la sucesión original.

Este teorema, creo, está en el centro de la resolución que plantea PF. Y no lo tengo en el libro de texto "Cálculo", de Robert A. Adams. El libro de texto sólo afirma que "Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n} \) converge, entonces \( \lim_{n \to \infty}{a_n}=0 \)". La demostración es un cuerpo de texto pequeño (dos líneas).


El problema es que para demostrar eso siguiendo ese camino, efectivamente, tendrías que tener un conocimiento teórico suficiente sobre sucesiones y los teoremas que se mencionen, de otro modo el hilo se haría demasiado extenso si tuviese que demostrarse cada teorema que se utiliza a cada paso.

Efectivamente.


Un buen libro para conocer y practicar todo esto es el de Understanding Analysis de Robert Abbott, del cual puedes encontrar una copia digital en PDF en internet sin mucho esfuerzo. El problema quizá es que el libro está en inglés, pero es que no puedo recomendarte algo en castellano porque no conozco casi nada de bibliografía en castellano.

Voy a publicar este fin de semana. Mi objetivo inicial es exploratorio, es decir, desconozco el desenlace, pero se ha despertado mi curiosidad.

¡Un saludo, y gracias, RM!

139
Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...

La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.

¡Un saludo!

140
¡Me volveré a matricular! No creo que me dé tiempo de abarcar toda la materia; es mucha. De hecho, a fecha de hoy todavía estoy con el temario del primer parcial, y estamos a marzo. En febrero no me presenté al primer parcial. Eché un vistazo a la guía de estudios, consulté en los foros de la Uned para cerciorar mis sospechas, y vi que no tenía sentido presentarse. El primer parcial tiene estos contenidos:
Tema 1, Preliminares:
Los números reales y la recta real
Coordenadas cartesianas del plano
Gráficas de ecuaciones cuadráticas
Funciones y sus gráficas
Combinaciones de funciones para crear otras nuevas
Polinomios y funciones racionales
Las funciones trigonométricas

Apéndice 1, números complejos
Capítulo 1, Límites y continuidad
Apéndice 3, Funciones continuas

Tema 2. Cálculo diferencial y sus aplicaciones
Capítulo 2: Diferenciación (aquí me encuentro ahora)
Capítulo 3: Funciones transcendentes
Capítulo 4: Aplicación de las derivadas

Tema 3. Cálculo integral y sus aplicaciones
Capítulo 5: Integración. Apéndice 4, la integral de Riemann
Capítulo 6: Técnicas de integración
Capítulo 7: Aplicaciones de la integración

Tema 4. Sucesiones y series

Esto es el primer parcial. Por eso pienso que en un curso académico no abarco toda la asignatura. De hecho sólo me he matriculado de esta asignatura.
Para preguntar las dudas sobre el temario, probé con el foro de la Uned, pero la dinámica de los foros de la Uned son muy distintas: desconozco el perfil del estudiante de Físicas de esta Universidad, pero las dudas para el primer parcial eran sobre las cuestiones prácticas en torno a las Pruebas de Evaluación Continua, posibles erratas del libro, cuestiones técnicas sobre el examen de febrero, a realizar desde el ordenador, en casa, y alguna que otra duda avanzada sobre ejercicios concretos.

Si quieres en otro momento te comento el temario del segundo parcial, y todas las dudas que tengas.

¡Un saludo, Gabi!

Páginas: 1 ... 4 5 6 [7] 8 9 10 ... 107