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Mensajes - Marcos Castillo

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Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 12 Junio, 2021, 04:07 pm »
¡Hola, Masacroso!

Voy a abrir un hilo en Physics Forums, Calculus and Beyond Homework Forum, con el título "Implicit differentiation: why apply the Chain Rule"

Es que todavía me intriga por qué \( y^2 \) se deriva como si fuera una composición de funciones. Mejor dicho, sé que debe derivarse con la Regla de la Cadena, pero soy incapaz de ver \( y^2 \) como una composición, y no como una expresión cuadrática. :banghead:

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 12 Junio, 2021, 09:41 am »
Hola, RM

¿Por qué la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \)?¿En qué consiste la Regla de la Cadena en este caso, en la notación de Leibniz? He estado viendo tutoriales en internet, y me he liado un poco.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Longitud del arcoseno
« en: 10 Junio, 2021, 09:45 pm »
¡Hola, NoelAlmunia!

Creo que la fórmula es \( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left ({\dfrac{dy}{dx}}\right )^2dx} \). Me parece que lo interesante sería saber por qué es ésta la fórmula. No he buscado más.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 10 Junio, 2021, 09:15 pm »
Hola, he tardado. He estado estudiando un poco: geometría del plano, cónicas, y derivación de la función compuesta. Y me han quitado una hernia inguinal :P

En base a  \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \), ¿como llego a \( f(g(x))=y^2 \)?

Con las funciones dadas tienes que \( f(g(t))=(y(x))^2 \), que es lo que se denota al escribir \( f(g(x))=y^2 \) ya que se entiende en este contexto que \( y \) está en función de \( x \).



Me lío con la notación: ¿por qué la \( t \)?; creo que ya sé: porque \( g(x)=y(x) \). ¿Por qué la regla de la cadena?

¡Un saludo!

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Hola
Por el desarrollo que ha hecho feriva interpreto que la ecuación inicial de Marcos responde a la que muestro en la figura.

saludos

¡Hola, ToniGim!

No he sabido abrir la imagen que has adjuntado, pero la ecuación inicial que he escrito ha sido \( X=A+\lambda\mathbf v \): la fórmula de la ecuación general de la recta, no de una recta en particular. Mi mensaje es un galimatías algebraico; feriva ha partido de un ejemplo concreto de ecuación general de la recta, y la ha pasado a paramétrica. No existe dibujo para lo que yo he escrito.

¿Preguntabas eso?

¡Un saludo!

PS: Fernando, pura magia.

106
Puf... ¡Muchas gracias, feriva! Me has sacado de un buen embrollo. Brillante, sencillo, completo, contundente.

¡Un saludo!

107
Hola, Rincón

Citar

Otra interpretación de la ecuación paramétrica \( X=A+\lambda\mathbf v \) es que el vector \( \vec {AX} \) depende linealmente del vector \( \mathbf v \). Por tanto

\( \mbox{det}(\vec{AX},\mathbf v)=\begin{pmatrix}{x_1-a_1}&{x_2-a_2}\\{v_1}&{v_2}\end{pmatrix}=0 \)

Desarrollando

\( v_2(x_1-a_1)+(-v_1)(x_2-a_2)=0 \)

o sea

\( v_2x_1+(-v_1)x_2+(v_1a_2-v_2a_1)=0 \)

Todas las rectas tienen una ecuación que se puede reducir a la forma general o implícita

\( Ax_1+Bx_2+C=0 \)

Siendo los números \( A \) y \( B \) no ambos nulos.

Si el sistema de referencia es cartesiano, el vector formado por los coeficientes de las variables \( x_1 \) y \( x_2 \) en la ecuación general es \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \), que es ortogonal al vector de dirección.




¿Cómo doy encaje a la imagen? Yo dibujo \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \) y me sale ortogonal, pero en sentido contrario al de la imagen, que indica \( \mathbf n=(A,B) \)

Un saludo

108
Me estaba liando. Trataba de hacer transformaciones elementales en el determinante de menor orden para llegar al de mayor.

109
Perdón, entendido. No son transformaciones elementales. Consiste en desarrollar los dos determinantes: son iguales.

Un saludo

110
Hola, estimado Rincón, me encuentro con algo que creía que dominaba, pero no:

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=0 \)

Utilizando las propiedades de los determinantes se tiene que

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{x_1}&{x_2}&{1}\\{a_1}&{a_2}&{1}\\{b_1}&{b_2}&{1}\end{vmatrix} \)

¿Cuáles son las transformaciones elementales?

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 05 Junio, 2021, 10:59 am »
Voy a trabajar un poco. Me falta base sobre parametrizaciones de cónicas. Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Re: Diferenciación implícita
« en: 04 Junio, 2021, 07:04 pm »

En este caso puedes tomar \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \).


En base a  \( f(t)=t^2 \) y \( g(x)=y(x) \), ¿como llego a \( f(g(x))=y^2 \)?


Citar
¿Cómo puedo hallar la pendiente de \( y^2-x=0 \) en base a la derivada implícita en un punto de la ecuación?. Por ejemplo, en \( Q=(2,-\sqrt 2) \)



Tienes la curva dada por \( C:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y^2=x\}=\{(y^2,y)\in \mathbb{R}^2: y\in \mathbb{R}\} \), lo cual implica que \( C \) puede ser parametrizada por la función \( g(t):=(t^2,t) \), y por tanto la derivada de \( C \) en \( t_0 \) es \( g'(t_0)=(2 t_0,1) \), lo que significa que \( h(t):=g(t_0)+g'(t_0)\cdot t \) es la recta tangente a la curva en el punto \( g(t_0) \).

Para el punto \( P:=(2,-\sqrt{2}) \) entonces usando la parametrización anterior tendrías que la recta tangente a \( P \) vendría dada por \( h(t)=P+g'(-\sqrt{2})t \), entonces la "pendiente" de esa recta sería el vector \( g'(-\sqrt{2})=(-2\sqrt{2},1) \).

¡Pero ojo! Ocurre que la pendiente que hallemos en un punto dado de una curva depende de la parametrización utilizada, por ejemplo si utilizamos la parametrización \( g_c(t)=(c^2 t^2,ct) \), para un \( c\neq 0 \), tendríamos que \( g_c'(t)=(2c^2t,c) \) y tendríamos que \( P=g_c(-\sqrt{2}/c) \), por tanto la pendiente en \( P \) vendría dada por \( g_c'(-\sqrt{2}/c)=(-2c\sqrt{2},c) \), la cual es distinta para cada valor de \( c \). Generalmente nos quedamos con la pendiente que tiene norma uno y un determinado sentido, pero eso forma parte de un curso de geometría diferencial y te vas a complicar la vida. Quédate con que la "pendiente" de la recta tangente a una curva en el plano no es única, dependiendo de su parametrización puede tener diferente norma y sentido, aunque su dirección siempre es la misma.



Entendido, creo. Pero tengo un dibujo




¿Qué parametrización es esta?

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Cálculo 1 variable / Diferenciación implícita
« en: 04 Junio, 2021, 10:58 am »
Hola, RM

Aquí estoy de nuevo. Es un ejercicio concreto ya solucionado. Lo cito:

Citar

Diferenciación implícita

(...)

Las curvas son generalmente ecuaciones en dos variables. Estas ecuaciones se pueden expresar en la forma

\( F(x,y)=0 \)

Ejemplo 1

Calcule \( dy/dx \) si \( y^2=x \)

Solución: La ecuación no es una función, pero podemos enfocarla como dos funciones diferenciables de \( x \): \( y_1=\sqrt{x} \) e \( y_2=-\sqrt{x} \):

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) y \( \dfrac{dy_2}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Sin embargo, es posible obtener la pendiente de la curva \( y^2=x \) en cualquier punto \( (x,y) \) que cumpla la ecuación sin despejar previamente \( y \). Para calcular \( dy/dx \) simplemente se diferencian con respecto a \( x \) los dos miembros de la ecuación \( y^2=x \) tratando \( y \) como una función diferenciable de \( x \) y utilizando la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \):

\( \dfrac{d}{dx}(y^2)=\dfrac{d}{dx}(x) \)\( \left ({\mbox{La Regla de la Cadena da}}\dfrac{d}{dx}y^2=2y\dfrac{dy}{dx}\right ) \)

\( 2y\dfrac{dy}{dx}=1 \)

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2y} \)

Obsérvese que esto coincide con las derivadas calculadas anteriormente para ambas soluciones explícitas

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2y_1}=\dfrac{1}{2\sqrt x} \)    y    \( \dfrac{dy_2}{dx}=\dfrac{dy}{2y_2}=\dfrac{1}{2(-\sqrt x)}=-\dfrac{1}{2\sqrt x} \)
"

Duda: La regla de la cadena dice: \( (f\circ{g})'=(f'\circ{g})\cdot g' \)

Es decir, \( f\circ g=y^2 \), osea, \( f(g(x))=y^2 \). ¿Cuál es \( f \) y cuál \( g \) en este caso?

¿Cómo puedo hallar la pendiente de \( y^2-x=0 \) en base a la derivada implícita en un punto de la ecuación?. Por ejemplo, en \( Q=(2,-\sqrt 2) \)

¡Un saludo!

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Bueno, creo que lo entiendo: el término marginal es el que se emplea en economía allí donde los físicos hablan de velocidad instantánea, aceleración... Es una herramienta matemática que partiendo de una relación funcional la analiza... Bueno, me estoy poniendo pedante. Con lo que me quedo es con la brillante simplificación y concreción que me ha aportado este hilo: detrás de la aproximación del libro, polinómica, curvilínea, hay una aproximación lineal que la supera porque es más sencilla, directa, y efectiva.
¡Gracias, Rincón!

115
Hola, perdón, ya sabía la respuesta de una pregunta que hacía:

pero vayamos al grano, el coste marginal,  es la cantidad en que se incremente tu costo, al aumentar en una unidad tu producción


Sabía que \( \dfrac{\Delta C}{\Delta x}\approx{\dfrac{dC}{dx}} \), pero no que \( \dfrac{\Delta C(x+1)}{\Delta (x+1)}={\dfrac{dC}{dx}} \). ¿Cuál es la prueba? He intentado, pero no lo he conseguido.

Nada, este párrafo no tiene sentido. La pregunta era por qué la derivada \( \dfrac{dC}{dx} \) expresaba el costo de producir una unidad más


Del mismo modo que los físicos utilizan los términos de velocidad y aceleración para referirse a las derivadas de ciertas cantidades, los economistas también tienen su vocabulario especializado para denominar a las derivadas. Las denominan marginales. En economía el término marginal se refiere a la velocidad o tasa de cambio de una cantidad con respecto a la variable de la que depende. Por ejemplo, el coste de producción \( C(x) \) en una operación de fabricación es función de \( x \), el número de unidades de producto producidas. El coste marginal de producción es la velocidad de cambio de \( C \) con respecto de \( x \), y por tanto es \( dC/dx \). Algunas veces el coste marginal de producción corresponde aproximadamente al coste extra de producir una unidad más, es decir,

\( \Delta{C}=C(x+1)-C(x) \)

Para ver por qué esto es aproximadamente correcto, observemos en la Figura 2.32 que si la pendiente de \( C=C(x) \) no varía muy rápidamente cerca de \( x \), entonces el cociente de incrementos \( \Delta{C}/\Delta{x} \) tomará un valor próximo a su límite, la derivada \( dC/dx \), incluso cuando \( \Delta{x}=1 \).




si el coste marginal es 1$  y tu costo medio es 2$, ya tienes un costo total de 18 osea (has producido 9 unidades)
No lo entiendo :-[


116
Hola \( \Bbb R^3 \)

Tienes un typo en el mensaje #9, ¿qué te parece si trabajamos en adelante asumiendo que realmente es así? No cuesta nada y va a ser más sencillo.

pero vayamos al grano, el coste marginal,  es la cantidad en que se incremente tu costo, al aumentar en una unidad tu producción

Sabía que \( \dfrac{\Delta C}{\Delta x}\approx{\dfrac{dC}{dx}} \), pero no que \( \dfrac{\Delta C(x+1)}{\Delta (x+1)}={\dfrac{dC}{dx}} \). ¿Cuál es la prueba? He intentado, pero no lo he conseguido.

si el coste marginal es 1$  y tu costo medio es 2$, ya tienes un costo total de 18 osea (has producido 9 unidades)
No lo entiendo :-[

entonces  la derivada te dice cuánto te cuesta una unidad mas a ese ritmo de producción, y el coste medio el coste de todas las que ya has producido, que no tiene porque ser igual

El caso lineal como ejemplo

\( C=C_F+xc_v \)

\( Cm(x)=\dfrac{C_F+xc_v}{x}=\dfrac{C_F}{x}+c_v \)

\( C'(x)=c_v \)


se ve claro que siempre \( Cm(x)>C'(x) \)  la diferencia es lo que se diluye el costo fijo al aumentar el número de unidades producidas

si hago el costo medio con una unidad más producida

\( Cm(x+1)=\dfrac{C_F+(x+1)c_v}{x+1}=\dfrac{C_F}{x+1}+c_v \)

luego

 \( Cm(x+1)<Cm(x)\Longleftrightarrow{} \dfrac {dC}{dx}=c_v<\dfrac{C(x)}{x}=C_m \)


Entendido

117
En el foro Physics Forums me han proporcionado esta solución al apartado (c) del ejemplo 6:

"Hagamos el caso para \( x=1000 \):
En (a) Calculamos el coste medio si \( x=1000 \), \( \dfrac{C(1000)}{1000}=10.6/\mbox{ton} \);
en (b) calculamos \( C'(1000)=9.4/\mbox{ton} \) Esto significa que si comprara un poco más, me costaría 9.40 euros/ton. Si \( h \) es ese poco más, el coste de \( 1000+\mbox{h} \) sería

\( 1000\cdot 10.6+9.4\mbox{h}<(1000+h)\cdot 10.6 \)

Así que el nuevo coste medio sería menor que antes"

Respondí seguido que "entendido", pero luego pensé: 9.40 es el coste instantáneo: en el punto \( x=1000 \), y la derivada en un punto es una propiedad local. De hecho hay funciones definidas en \( \Bbb R \) que tienen derivada únicamente en un punto. ¿No entiendo el concepto de derivada?¿O este es un caso distinto?.

Duda: ¿la afirmación "\( C'(1000)=9.4/\mbox{ton} \). Esto significa que si comprara un poco más, me costaría 9.40 euros/ton" es correcta?¿Cuál es el matiz acerca del concepto de derivada que se me escapa?

¡Un saludo!

118
Hola

1- Fíjate que es un dibujo recursivo de cuadrados que se repiten.
2- Coge una hoja cuadriculada
3- Dibuja un cuadrado de 10x10 cuadraditos
4- Dibuja las cenefas de 2 cuadraditos cada uno dentro...
6- Cuenta los cuadraditos negros: son 60

Un saludo

119
Hola, estimado RM

RRR, me quedo con tu enfoque del mensaje primero que publicaste:





Citar
ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio."



Esto por lo general es un error .

eso refiere a que la ecuación del costo es una recta, son la suma de los costos fijos más los variables

\( C=C_F+xc_v \)

el coste crece con tasa

\( \dfrac{dC}{dx}=c_v \)

pero el coste medio es

\( C_m=\dfrac{C}{x}=\dfrac{C_F+xc_v}{x}=\dfrac{C_f}{x}+c_v \)

la tasa de crecimiento del coste medio es

\( \dfrac{dC_m}{dx}=-\dfrac{C_F}{x^2} \)

es negativa... el coste medio cae  pero el coste variable permanece constante.

Saludos


Me gusta más hablar con lenguaje matemático, que este otro enfoque que trata de entender el texto del libro:



Ejemplo 6 (Coste marginal de producción) El coste de producir \( x \) toneladas de carbón por día en una mina es \( C(x) \) Euros, siendo

\( C(x)=4200+3.40x-0.001x^2+0.000002x^3 \)

(a) ¿Cuál es el coste medio de producir cada tonelada si el nivel diario de producción es de 1000 toneladas? ¿Y si es de 2000 toneladas?

Coste medio

\( Cm(x)=\dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{4200+3.40x-0.001x^2+0.000002x^3}{x}=\dfrac{4200}{x}+3.40-0.001x+0.000002x^2 \)

\( \color{red}Cm(2000)=\dfrac{4200}{2000}+3.40-0.001\cdot 2000+0.000002\cdot 2000^2=11.5$/u \)

\( Cm(1000)=\dfrac{4200}{1000}+3.40-0.001\cdot 1000+0.000002\cdot 1000^2=8.6$/u \)

(b) Calcule el coste marginal de producción diaria es de 1000 toneladas y de 2000 toneladas.

\( C'_{x}=\dfrac{dC(x)}{dx}=3.40-0.002x+0.000006x^2 \)

\( C'_{1000}=3.40-0.002\cdot 1000+0.000006\cdot 1000^2=7.4$/T \)

\( C'_{2000}=3.40-0.002\cdot 2000+0.000006\cdot 2000^2=23.4$/T \)


(c) Si el nivel de producción crece ligeramente de las 1000 toneladas o de las 2000 toneladas, ¿qué sucederá con el coste medio por tonelada?


para 1000 toneladas el coste medio es mayor que el coste marginal, por lo que el costo medio descenderá pasadas la 1000 toneladas...

para evaluar la situación en las cercanías de las 2000 Tn  tenemos que evaluar el coste medio en ese valor

\( Cm(2000)=\dfrac{4200}{2000}+3.40-0.001\cdot 2000+0.000002\cdot 2000^2=11.5$/u \)

como el coste medio es menor que el coste marginal, entonces pasadas las 2000 T el coste medio aumentará.

que no me gusta, aunque sea igual de válido. Prefiero el lenguaje matemático; decir "el coste medio disminuirá" o "el coste medio aumentará porque...." me lían mucho.

Un saludo

¡Gracias, Luis, RRR, Masacroso!

120
Hola

Tengo que estudiar un poco. Richard R Richard, tu primer mensaje era muy interesante, y ya me has dado la explicación de cómo lo has hecho. Además Luis Fuentes lo ha graficado. Me toca a mí trabajar un poco.

¡Un saludo!

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