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Mensajes - Marcos Castillo

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1
Hola, me acaban de hacer el segundo raspaje en el dentista. Y me han dejado sacar la foto adjunta. Es una lámpara de dentista. Me ha fascinado. Un aparato simétrico, dos fuentes de luz, dos concavidades formadas de un mosaico de espejos. Me he preguntado: ¿parábola, o hipérbola, o dos parábolas?;¿por qué la simetría?; ¿por qué no sólo una fuente de luz?.

La duda es:¿qué diría un@ chic@ buen@ estudiante de Física o Matemáticas recién matriculad@? Lo digo porque yo el año pasado me matriculé por la UNED en la asignatura de Análisis, del Grado en Físicas, y bueno, creo que podrían haberme mostrado esta imagen para probar mi competencia. Pasé raspado.

La higienista y su auxiliar se han quedado tan desconcertadas como yo, pero no con la lámpara, sino conmigo, jaja...No, he despertado su curiosidad.

Bueno, pregunta de examen, jaja...Ahí va: "¿Qué diría de esta foto consistente en la imagen frontal de una lente de dentista, tomada hoy mismo, en una consulta?."(Téngase en cuenta que la prominencia rectangular aloja sendas fuentes de luz esféricas, de naturaleza desconocida, pero pequeñas en relación a las concavidades adyacentes, y orientadas sus cabezas en ángulo agudo, hacia el centro de la concavidad)

¡Gracias!


2
Juan Pablo, delmar, perdón, no había prestado atención. Cito a delmar


En realidad lo que esta en ese libro no lo veo muy bien, centrándose en la duda sencillamente aplicar la definición de límite adecuadamente, primeramente para un \( a,b\in{R} \) es decir para números reales :

\( \exists{\epsilon} \ / \ 0<\epsilon<f(u)-L \) la definición de límite implica \( \exists{\delta}>0 \ / \ si \ x\in{(a,a+\delta)}\Rightarrow{\left |{f(x)-L}\right |<\epsilon}\Rightarrow{f(x)<L+\epsilon<f(u)} \)

De manera parecida,

\( \exists{\epsilon'} \ / \ 0<\epsilon'<f(u)-M \) la definición de límite implica \( \exists{\delta'}>0 \ / \ si \ x\in{(b-\delta',b)}\Rightarrow{\left |{f(x)-M}\right |<\epsilon'}\Rightarrow{f(x)<M+\epsilon'<f(u)} \)

Para tus dudas se puede tomar como \( x_1=a+\delta \wedge x_2=b-\delta' \)

Y luego con  el intento que tienes se sabe que existe el máximo de f en el intervalo \( [a+\delta,b-\delta'] \) y creo que puedes continuar ....


Esta es la solución a la duda. Me he dado cuenta hoy.

consigues una cota mejor que \( f(x) < f(u)  \) consigues \( f(x) < \dfrac{f(u) + L}{2}  \).

¡Perfecto!


A la última duda, si vas acercandote a \( a \) mediante una sucesión \( \{x_n\}_{n=1}^{+\infty} \) tal que \( f(x_n) \geq \dfrac{f(u) + L}{2}  \) entonces \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} f(x_n) \neq L  \) por que:
\( |f(x_n) - L| \geq |\dfrac{f(u) + L}{2} - L| = |\dfrac{f(u) - L}{2}| > 0 \).


Me fascina esta cita, pero las sucesiones aún son un terreno desconocido para mí. El desenlace del razonamiento es meridiano, así que, lo más importante para mí de este hilo: me da impulso para seguir.

¡Sigo adelante! Un abrazo, Rincón.

3
Es más fácil, si \( L < f(u)  \) y como \(  L < \dfrac{L+f(u)}{2} < f(u)  \) por obligación existe \( x_1 \in (a,u)  \)
Perfecto
tal que si \( x \in (a,x_1)  \) se tiene que \( f(x) < \dfrac{L+f(u)}{2}  \)
Por lo tanto, \( f(x)<f(u) \) en el intervalo abierto \( (a,x_1) \)
si esto no pudiera ocurrir si siempre tienes puntos cerca de \( a \) con \( f(x) \geq \dfrac{f(u)+L}{2}  \) entonces el límite de \( x \) cuando tiende a \( a \) no es \( L \).
Esto no entiendo :banghead:


4
Hola, delmar

Otra cosa que ha hecho Juan Pablo Sancho en el intento de dar encaje a mi razonamiento es .... Veamos

\( \forall{\epsilon_1=f(u)-L}\quad{\exists\;{\delta_1}} \) tal que \( 0<x_1-a<\delta_1 \)

\( \forall{\epsilon_2=f(u)-M}\quad{\exists\;{\delta_2}} \) tal que \( 0<b-x_2<\delta_2 \)

Posteriormente ha igualado, \( L=M \), y ha equidistado \( x_1 \) y \( x_2 \) dentro del intervalo \( x\in (a,b) \). Ha dado valor absoluto a los delta... Es que me trae loco que \( f(x)<\dfrac{f(u)-L}{2} \).... Ese 2 en el denominador no lo entitendo.

Un saludo y perdón si estoy desbarrando :-X. No sigo. ¿Voy bien y ha querido geométricamente simplificar la función, hacerla no como en el libro, sino simétrica, como por ejemplo podría ser \( y=-x^2 \)...

¡Un saludo!

5

Como \( \displaystyle \lim_{x \to a^+} = L  \) existe \( x_1 \in (a,u)  \) tal que si \( x \in (a,x_1) \) tenemos que \( f(x) <\dfrac{f(u) + L}{2}  \).


Hola, Juan Pablo, delmar. Propongo empezar por esta cita interesante. La pregunta a la que responde es mía:


Y mi duda es: por qué si cuando \( x\rightarrow{a^{+}} \), \( f(x)\rightarrow{L} \), debe existir un número \( x_1 \) en \( (a,u) \) tal que

\( f(x)<f(u) \)   siempre que   \( a<x<x_1 \)


Mi primera tarea querría que fuera esta. He estado buscando la definición de límite lateral por la derecha:

Se dice que una función \( f \) tiende hacia \( L \) cuando \( x \) tiende a \( a \) por la derecha y se escribe

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^+}}{f(x)}=L \)

cuando para cada \( \epsilon>0 \) existe un \( \delta>0 \) tal que \( |f(x)-L|<\epsilon \), siempre que \( 0<x-a<\delta \)

¿Cómo se llega al resultado de la primera cita?.

Un saludo

6
¡Hola, Juan Pablo! Procesando... :)

7
Hola, estimado Rincón

Tengo un texto y una duda. Cito primero:

Citar
TEOREMA 4 Existencia de valores extremos en intervalos abiertos
Si \( f \) es una función continua en el intervalo abierto \( (a,b) \), y si
\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{f(x)}=L\quad{\mbox{y}}\quad{\displaystyle\lim_{x \to{b^{-}}}{f(x)}=M} \)
entonces se cumplen las siguientes conclusiones:
(i) Si \( f(u)>L \) y \( f(u)>M \) para algún \( u \) en \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor máximo absoluto en \( (a,b) \).
(ii) Si \( f(v)<L \) y \( f(v)<M \) para algún \( v \) en \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor mínimo absoluto en \( (a,b) \)

En este teorema \( a \) puede ser \( -\infty \), en cuyo caso \( \color{red}\displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{} \) debe sustituirse por \( \color{red}\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty^{}}{} \), y \( b \) puede ser \( \infty \), en cuyo caso \( \displaystyle\lim_{x \to{b^{-}}}{} \) debe sustituirse por \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty^{+}}{} \). Además, tanto \( L \) como \( M \) o ambos pueden ser \( \infty \) o \( -\infty \).
DEMOSTRACIÓN Demostraremos el apartado (i), ya que la demostración del apartado (ii) es similar. Tenemos que existe un número \( u \) en \( (a,u) \) tal que \( f(u)>L \) y \( f(u)>M \). Aquí, \( L \) y \( M \) son números finitos o \( -\infty \). Como \( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{f(x)}=L \) debe existir un número \( x_1 \) en \( (a,u) \) tal que
\( f(x)<f(u) \)   siempre que   \( a<x<x_1 \)
De forma similar, debe existir un número \( x_2 \) en \( (u,b) \) tal que
\( f(x)<f(u) \)   siempre que   \( x_2<x<b \)
Véase la Figura 4.16. Por tanto, \( f(x)<f(u) \) en todos los puntos de \( (a,b) \) que no estén en el subintervalo  cerrado finito \( [x_1,x_2] \). Por el Teorema 1, la función \( f \) continua en \( [x_1,x_2] \), debe tener un valor máximo absoluto en ese intervalo, que podemos denominar \( w \). Como \( u \) pertenece al intervalo \( [x_1,x_2] \), debemos tener que \( f(w)\geq{f(u)} \), por lo que \( f(w) \) es el valor máximo de \( f(x) \) en todo \( (a,b) \).



Duda: me voy a centrar en la afirmación Como \( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{f(x)}=L \) debe existir un número \( x_1 \) en \( (a,u) \) tal que
\( f(x)<f(u) \)   siempre que   \( a<x<x_1 \)

 Y mi duda es: por qué si cuando \( x\rightarrow{a^{+}} \), \( f(x)\rightarrow{L} \), debe existir un número \( x_1 \) en \( (a,u) \) tal que
\( f(x)<f(u) \)   siempre que   \( a<x<x_1 \)

Mi intento: Está hablando del comportamiento de la función entre \( a \) y \( u \): si \( f(x)\rightarrow{L} \), y \( f(x) \) es continua, como ciertamente es, debe haber un punto entre \( a \) y \( u \), al que llama \( x_1 \), que incluso puede ser la misma preimagen, como se ve en la Figura 4.16, adjunta, y un punto \( x_2 \), que no se ha contemplado por simplificar, al \( \displaystyle\lim_{x \to{b^{-}}}{f(x)}=M \), que conforman un intervalo cerrado al que se le puede aplicar el Teorema 1 (Si el dominio de una función \( f \) es un intervalo cerrado y finito, o se puede expresar como una unión finita de intervalos de ese tipo, y si \( f \) es continua en dicho dominio, entonces \( f \) debe tener un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto.)

Un saludo

Perdón, editado por incompleto. Espero que esté bien, es un pequeño galimatías de LaTeX y conceptual para mí.
Editado de nuevo por erratas :-[

8
Cálculo 1 variable / Re: El test de la primera derivada
« en: 06 Octubre, 2021, 06:09 pm »

Observación Si \( f' \) es positivo (o negativo) en ambos lados de un punto crítico singular, entonces \( f \), entonces \( f \) no tiene un valor máximo ni mínimo en ese punto.

Ojo, porque la observación no es cierta, si la función no es continua.
 
Por ejemplo si defines:

\(  f:[0,2]\to \Bbb R,\quad f(x)=\begin{cases}{x}&\text{si}& x\leq 1\\x-1 & \text{si}& x>1\end{cases} \)

 El punto \( x_0=1 \), con \( f(x_0)=1 \) es un máximo absoluto. Sin embargo derivada es positiva a ambos lados del mismo.


¡Perfecto! Este libro es tan interesante como impreciso. ¡Sigo adelante!

9
Cálculo 1 variable / Re: El test de la primera derivada
« en: 06 Octubre, 2021, 04:45 pm »

El Teorema 3 usa esencialmente TVM continua en un intervalo y derivable en el interior.


¡Perfecto!. Ahora creo que es el libro el que no resulta muy efectivo. Con decir que usa el Teorema del Valor Medio, a mí me habría ayudado.

¡Muchas gracias!

10
Cálculo 1 variable / El test de la primera derivada
« en: 06 Octubre, 2021, 03:57 pm »
Hola, estimado Rincón

Tengo un texto, y dos dudas. Cito el texto, y luego las dudas:

Citar
El test de la primera derivada
La mayoría de las funciones que aparecen en cálculo elemental tienen derivadas distintas de cero en todo su dominio excepto posiblemente en un número finito de puntos críticos, puntos singulares y extremos de dicho dominio. En los intervalos entre esos puntos la derivada existe y no es cero, por lo que la función es o bien creciente o bien decreciente allí. Si \( f \) es continua y creciente a la izquierda de \( x_0 \) y decreciente a la derecha, entonces debe tener un máximo local en \( x_0 \). El siguiente teorema agrupa varios resultados de este tipo.

TEOREMA 3 El test de la primera derivada

PARTE I. Comprobación de puntos críticos interiores y de puntos singulares.
Supongamos que \( f \) es continua en \( x_0 \), y \( x_0 \) no es un extremo del dominio de \( f \).

(a) Si existe un intervalo abierto \( (a,b) \) que contiene a \( x_0 \) tal que \( f'(x)>0 \) en \( (a,x_0) \) y \( f'(x)<0 \) en \( (x_0,b) \), entonces \( f \) tiene un valor máximo local en \( x_0 \).
(b) Si existe un intervalo abierto \( (a,b) \) que contiene a \( x_0 \) tal que \( f'(x)<0 \) en \( (a,x_0) \) y \( f'(x)>0 \) en \( (x_0,b) \), entonces \( f \) tiene un valor mínimo local en \( x_0 \).

PARTE II. Comprobación de los extremos del dominio.
Supongamos que \( a \) es un extremo izquierdo del dominio de \( f \) y que \( f \) es continua por la derecha en \( a \).

(c) Si \( f'(x)>0 \) en algún intervalo \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor mínimo local en \( a \).
(d) Si \( f'(x)<0 \) en algún intervalo \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor máximo local en \( a \).

Supongamos que \( b \) es un extremo derecho del dominio de \( f \) y que \( f \) es continua por la izquierda en \( b \).

(e) Si \( f'(x)>0 \) en algún intervalo \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor máximo local en \( b \).
(f) Si \( f'(x)<0 \) en algún intervalo \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor mínimo local en \( b \).

Observación Si \( f' \) es positivo (o negativo) en ambos lados de un punto crítico singular, entonces \( f \), entonces \( f \) no tiene un valor máximo ni mínimo en ese punto.

Los apartados (a) a (f) son muy intuitivos. Pero buscando tres pies al gato, el intervalo en el que la primera derivada se evalúa, es abierto porque las derivadas no pueden definirse en \( a \) ni en \( b \), pero, ¿por qué?. Esta pregunta es de Bachiller, creo.
¿Podríais explicarme la última observación? Habla de punto crítico singular. ¿Crítico o singular?.

¡Un saludo!

11
¡Gracias, C. Enrique B., mathtruco!

12
Hola

Me gustaría preguntar una duda del libro que estoy leyendo, pero no sé si iniciar un nuevo hilo o preguntar en uno ya existente. En el hilo Localización de valores extremos, que yo creé, no me quedó ninguna duda; pero la duda que quiero plantear ahora, aunque es nueva, corresponde a un apartado dos más adelante en el libro que estoy leyendo: El test de la primera derivada. Mi impresión es que tienen relación.

Un saludo

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Cálculo 1 variable / Re: Localización de valores extremos
« en: 30 Septiembre, 2021, 11:05 pm »

Si revisas la definición de punto singular, verás que son todos los puntos donde la derivada no existe. Por eso, como la demostración comienza diciendo que \( x_0 \) no es punto singular, entonces \( f'(x_0) \) existe.

¿Responde esto a tu pregunta?

¡Rotundamente sí!

¡Mil gracias, un saludo!

14
Cálculo 1 variable / Localización de valores extremos
« en: 30 Septiembre, 2021, 09:15 pm »
Hola

Tengo un texto y una duda. Cito a saltos:

Citar
PROBLEMAS DE VALORES EXTREMOS
(...)
 Valores máximo y mínimo
(...)
DEFINICIÓN 1 Valores extremos absolutos

Una función \( f \) tiene un valor máximo absoluto \( f(x_0) \) en el punto \( x_0 \) de su dominio si \( f(x)\leq{f(x_0)} \) se cumple para todo \( x \) perteneciente al dominio de \( f \).
(...)
TEOREMA 1 Existencia de valores extremos

Si el dominio de la función \( f \) es un intervalo cerrado y finito, o se puede expresar como una unión finita de intervalos de ese tipo, y si \( f \) es continua en dicho dominio, entonces \( f \) debe tener un máximo o un mínimo absoluto.

Considérese la gráfica \( y=f(x) \) que se muestra en la Figura 4.10.
(...)



DEFINICIÓN 2 Valores extremos locales
Una función \( f \) tiene un valor máximo local \( f(x_0) \) en el punto \( x_0 \) de su dominio si existe un número \( h>0 \) tal que \( f(x)\leq{f(x_0)} \) siempre que \( x \) esté en el dominio de \( f \) y \( |x-x_0|<h \).
(...)
La Figura 4.10 sugiere que la función \( f(x) \) puede tener valores extremos locales sólo en puntos \( x \) de tres tipos especiales:
(i)Puntos críticos de \( f \) (puntos de \( x \) en \( \mathfrak{D}(f) \) donde \( f'(x)=0 \))
(ii)Puntos singulares de \( f \) (puntos de \( x \) en \( \mathfrak{D}(f) \) donde \( f'(x) \) no está definida).
(iii)Extremos del dominio de \( f \) (puntos en \( \mathfrak{D}(f) \) que no pertenecen a ningún intervalo abierto contenido en \( \mathfrak{D}(f) \)).

TEOREMA 2 Localización de valores extremos

Si la función \( f \) tiene un máximo local en un intervalo \( I \) y tiene un valor máximo local (o mínimo local) en el punto \( x=x_0 \) de \( I \), entonces \( x_0 \) debe ser un punto crítico de \( f \), un punto singular de \( f \) o un extremo de \( I \).

DEMOSTRACIÓN Supongamos que \( f \) tiene un máximo local en \( x_0 \) y que \( x_0 \) no es ni un extremo del dominio de \( f \) ni un punto singular de \( f \). Entonces para algún \( h>0 \), \( f(x) \) está definido en el intervalo abierto \( (x_0-h,x_0+h) \) y tiene un máximo absoluto (para ese intervalo) en \( x_0 \). Además existe \( f'(x_0) \). Por el Teorema 14 de la Sección 2.6, \( f'(x_0)=0 \). La demostración para el caso en que \( f \) tiene un mínimo local en \( x_0 \) es similar.

No consigo saber por qué  "Además existe \( f'(x_0) \)".

El Teorema 14 dice:

"Si \( f \) es una función definida en un intervalo abierto \( (a,b) \), y que alcanza un valor máximo (o mínimo) en un punto \( c \) de \( (a,b) \), y existe \( f'(c) \), entonces \( f'(c)=0 \). Los valores de \( x \) donde \( f'(x)=0 \) se denominan puntos críticos de la función \( f \)."

Un saludo

15
Cálculo 1 variable / Re: Derivación implícita y Regla de la Cadena
« en: 25 Septiembre, 2021, 12:54 am »
¡Muchas gracias!

Un saludo

16
Cálculo 1 variable / Re: Derivación implícita y Regla de la Cadena
« en: 24 Septiembre, 2021, 10:38 pm »
¡Perfecto!

Sólo una pregunta: ¿qué diferencia existe entre \( \frac{df}{dx} \) y \( \frac{{\partial f}}{{\partial x}} \)?

¡Un saludo!

17
Cálculo 1 variable / Derivación implícita y Regla de la Cadena
« en: 24 Septiembre, 2021, 08:09 pm »
Hola

Tengo un ejercicio resuelto que ha hecho que revisite la diferenciación implícita y la Regla de la Cadena. Cito el ejercicio:

Citar
Ejemplo 3 Un faro \( L \) está situado en una pequeña isla a 2 km del punto más cercano \( A \) de una costa recta. Si la lámpara del faro gira con una velocidad de 3 revoluciones por minuto, ¿con qué rapidez se mueve el punto de luz \( P \) sobre la orilla cuando está a 4 km de \( A \)?

Solución Obsérvese la Figura 4.3.





Sea \( x \) la distancia \( AP \), y sea \( \theta \) el ángulo \( PLA \). Entonces \( x=2\tan\theta \) y

\( \dfrac{dx}{dt}=2\sec^2\theta\dfrac{d\theta}{dt} \)

Ahora

\( \dfrac{d\theta}{dt}=3\;\mbox{rev/min}\times{\;2\pi\;\mbox

{radianes/rev}}=6\pi\;\mbox{radianes/min} \)

Cuando \( x=4 \), tenemos que \( \tan\theta=2 \) y \( \sec^2\theta=1+\tan^2\theta=5 \). Por tanto,

\( \dfrac{dx}{dt}=2\times{5}\times{6\pi}=60\pi\approx{188.5} \)

El punto de luz se mueve por la línea de costa con una velocidad de aproximadamente 189 km/min cuando está a 4 km de \( A \).

Nótese que ha sido esencial convertir la velocidad de cambio de \( \theta \) revoluciones por minuto a radianes por minuto. Si \( \theta \) no se midiera en radianes no podríamos decir que \( (d/d\theta)\tan\theta=\sec^2\theta \).

¿Por qué diferenciación implícita?¿por qué la regla de la cadena?

Respuestas mías: diferenciación implícita por ser una función en dos variables, \( x \) y \( \theta \).

No he conseguido graficar la función \( x=2\tan\theta \), dando valores concretos a \( \theta \): \( \pi,\pi/2,\pi/3 \);

¿Regla de la Cadena?: porque, al diferenciar respecto al tiempo, (una variable distinta de \( \theta \)) necesitamos considerar \( 2\tan

\theta \) como función compuesta: para derivar \( \theta \) respecto al tiempo.

¿Es correcto?.

Un saludo

19
Hola

Es que yo pensaba que \( t/2 \) era un invariante. \( A \) era \( t/2 \) sea cual fuera el radio.
Pero \( A=\dfrac{r^2 t}{2} \) unidades cuadradas. Por ejemplo, el área entre \( y=0 \), la circunferencia \( x^2+y^2=4 \) y la recta que va del origen a \( (\cos t, \sen t) \) es \( A=2t \). ¿Correcto?.

Un saludo

20
Hola

Estoy dando vueltas a esta imagen (*), que no entiendo muy bien



Cito:

Citar
En este caso (sobre las funciones hiperbólicas) \( t \) no se puede interpretar como longitud de un arco ni como un ángulo, como hacíamos en el caso circular; sin embargo, el área del sector hiperbólico que está limitado por \( y=0 \), la hipérbola \( x^2-y^2=1 \) y la recta que va del origen a \( (\cosh t,\senh t) \) es de \( t/2 \) unidades al cuadrado (véase el Ejercicio 21 de la sección 8.4), lo mismo que el área del sector circular limitado por \( y=0 \), la circunferencia \( x^2+y^2=1 \) y la recta que va del origen a \( (\cos t,\sen t) \) (véase la Figura 3.26(*))

En realidad esta cita es por mostrar el contexto en el que aparece la imagen, pero la duda es más básica. El Ejercicio 21 de la sección 8.4 está muy lejos de el punto del libro en el que me encuentro. La duda es: ¿por qué el área del sector circular mide \( t/2 \) unidades cuadradas?. Intuyo que la respuesta es muy fácil. Tengo este ejemplo y esta imagen:



Ejemplo 1 Longitud de arco y área de sector circular:


\( s=\dfrac{t}{2\pi}(2\pi r)=rt \) unidades

\( A=\dfrac{t}{2\pi}(\pi r^2)=\dfrac{r^2 t}{2} \) unidades al cuadrado.

No consigo ver \( t/2 \) unidades al cuadrado como la superficie del sector circular.

Un saludo

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