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Cálculo 1 variable / Re: Gran O dos razonamientos sobre la rapidez de Taylor-Maclaurin
« en: 10 Agosto, 2022, 06:16 pm »
Hola, estimado Rincón, creía que podía apañarme yo solo con YouTube, trasteando en la red, con un profesor particular; incluso he estado pensando matricularme otra vez de Ánalisis en el primer curso de Física por la Uned. Pero antes, ahí vuelvo 
Desde el tercer mensaje de este hilo, hace unos días, he estado intentado entender la cita que hacía en el primero: ante la pregunta "¿por qué O mayúscula habla de lo rápido que la gráfica de Taylor se acerca a la de una función?", fue esto lo que me escribieron en el subforo de Cálculo de Physics Forums:
Y es que no consigo entender la cita. El Teorema del Valor Medio dice:
Sea una función continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que \( \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \) .
El hecho de que uno de los extremos sea una incógnita, y el propio desarrollo, o secuencia, lista de igualdades, es un galimatías para mí; pero genial si me diera pistas este foro. La pregunta es: ¿cómo aplica el Teorema del Valor Medio? Tengo cero pistas.
En cuanto mi explicación, ahora está llena de dudas. Pretendía responder porqué la notación Gran O nos hablaba de cuán rápido Taylor-Maclaurin se aproximaba a \( f(x) \). Decía algo así:
La hice como alguien que repite sin saber muy bien qué ha entendido. Ahora que lo reviso, sigo sin entender el sentido.
El caso es que estuve tomando un café con un Físico que arrojó claroscuros a mis dudas:
- Puede ser que \( f(x)=O[g(x)] \), pero \( g(x)\neq O[f(x)] \), porque existe un valor \( x=a \), \( a\in{I} \), de forma que \( f(a)=0 \). Ello implica que, por definición: \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), no podemos encontrar un valor de \( a \) tal que \( f(a)\neq 0 \), y por lo tanto no hay un valor \( K\in{\mathbb{R}} \) tal que \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), como se ve en el dibujo.

Esto creo que lo he entendido. ¿Correcto?
-Ahora voy a reproducir el álgebra que escribió advirtiéndome que la notación Gran O tenía como finalidad justificar límites:
\( |f|\leq{K|u|} \), \( K\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{f=O(u)} \)
Como consecuencia, \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \); o \( e^x\approx{1+x} \), \( x\rightarrow{0} \)
El esfuerzo hecho para entender esto es exiguo: dibujar con la calculadora gráfica de Geogebra \( f(x)=x \), \( g(x)=\sin(x) \), y \( h(x)=\dfrac{\sin (x)}{x} \) , pero soy incapaz de ver qué tiene que ver la notación Gran O con \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \).
¡Un saludo!

Desde el tercer mensaje de este hilo, hace unos días, he estado intentado entender la cita que hacía en el primero: ante la pregunta "¿por qué O mayúscula habla de lo rápido que la gráfica de Taylor se acerca a la de una función?", fue esto lo que me escribieron en el subforo de Cálculo de Physics Forums:
Citar
Esto se deduce de cualquiera de las expresiones explícitas para el residuo. Por ejemplo, si
\( f(x)= f(a) + (x - a)f'(a) + \dots + \frac{(x - a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + R_n(x) \)
entonces, aplicando el teorema del valor medio a
\( F(t) = f(t) + (x - t)f'(t) + \dots + \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n)}(t) \)
se deduce que existe \( \xi \) entre \( a \) y \( x \) tal que
\( \begin{split}
R_n(x) &= F(x) - F(a) \\
&= (x- a)F'(\xi) \\
&= (x - a) \frac{(x - \xi)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(\xi).\end{split} \)
Y es que no consigo entender la cita. El Teorema del Valor Medio dice:
Sea una función continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que \( \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \) .
El hecho de que uno de los extremos sea una incógnita, y el propio desarrollo, o secuencia, lista de igualdades, es un galimatías para mí; pero genial si me diera pistas este foro. La pregunta es: ¿cómo aplica el Teorema del Valor Medio? Tengo cero pistas.
En cuanto mi explicación, ahora está llena de dudas. Pretendía responder porqué la notación Gran O nos hablaba de cuán rápido Taylor-Maclaurin se aproximaba a \( f(x) \). Decía algo así:
Citar
\( f(x)=P_{n}(x)+O((x-a)^{n+1}) \)
\( \color{red}\Leftrightarrow\color{black}{|f(x)-P_{n}(x)|\leq{k|(x-a)^{n+1}|}} \)
\( k=\dfrac{E_{n}(x)}{(x-a)^{n+1}}=\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!} \)
para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \).
La hice como alguien que repite sin saber muy bien qué ha entendido. Ahora que lo reviso, sigo sin entender el sentido.

El caso es que estuve tomando un café con un Físico que arrojó claroscuros a mis dudas:
- Puede ser que \( f(x)=O[g(x)] \), pero \( g(x)\neq O[f(x)] \), porque existe un valor \( x=a \), \( a\in{I} \), de forma que \( f(a)=0 \). Ello implica que, por definición: \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), no podemos encontrar un valor de \( a \) tal que \( f(a)\neq 0 \), y por lo tanto no hay un valor \( K\in{\mathbb{R}} \) tal que \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), como se ve en el dibujo.
Esto creo que lo he entendido. ¿Correcto?
-Ahora voy a reproducir el álgebra que escribió advirtiéndome que la notación Gran O tenía como finalidad justificar límites:
\( |f|\leq{K|u|} \), \( K\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{f=O(u)} \)
Como consecuencia, \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \); o \( e^x\approx{1+x} \), \( x\rightarrow{0} \)
El esfuerzo hecho para entender esto es exiguo: dibujar con la calculadora gráfica de Geogebra \( f(x)=x \), \( g(x)=\sin(x) \), y \( h(x)=\dfrac{\sin (x)}{x} \) , pero soy incapaz de ver qué tiene que ver la notación Gran O con \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \).
¡Un saludo!