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Mensajes - Marcos Castillo

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Hola, estimado Rincón, creía que podía apañarme yo solo con YouTube, trasteando en la red, con un profesor particular; incluso he estado pensando matricularme otra vez de Ánalisis en el primer curso de Física por la Uned. Pero antes, ahí vuelvo :-\

Desde el tercer  mensaje de este hilo, hace unos días, he estado intentado entender la cita que hacía en el primero: ante la pregunta "¿por qué O mayúscula habla de lo rápido que la gráfica de Taylor se acerca a la de una función?", fue esto lo que me escribieron en el subforo de Cálculo de Physics Forums:


Citar
Esto se deduce de cualquiera de las expresiones explícitas para el residuo. Por ejemplo, si


\( f(x)= f(a) + (x - a)f'(a) + \dots + \frac{(x - a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + R_n(x) \)

entonces, aplicando el teorema del valor medio a


\( F(t) = f(t) + (x - t)f'(t) + \dots + \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n)}(t) \)

se deduce que existe \( \xi \) entre \( a \)  y \( x \) tal que


\( \begin{split}

R_n(x) &= F(x) - F(a) \\

&= (x- a)F'(\xi) \\

&= (x - a) \frac{(x - \xi)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(\xi).\end{split} \)

Y es que no consigo entender la cita. El Teorema del Valor Medio dice:

Sea una función continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que \( \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \) .

El hecho de que uno de los extremos sea una incógnita, y el propio desarrollo, o secuencia, lista de igualdades, es un galimatías para mí; pero genial si me diera pistas este foro. La pregunta es: ¿cómo aplica el Teorema del Valor Medio? Tengo cero pistas.

En cuanto  mi explicación, ahora está llena de dudas. Pretendía responder porqué la notación Gran O nos hablaba de cuán rápido Taylor-Maclaurin se aproximaba a \( f(x) \). Decía algo así:

Citar

\( f(x)=P_{n}(x)+O((x-a)^{n+1}) \)

\( \color{red}\Leftrightarrow\color{black}{|f(x)-P_{n}(x)|\leq{k|(x-a)^{n+1}|}} \)

\( k=\dfrac{E_{n}(x)}{(x-a)^{n+1}}=\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!} \)

para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \).


La hice como alguien que repite sin saber muy bien qué ha entendido. Ahora que lo reviso, sigo sin entender el sentido. :banghead:

El caso es que estuve tomando un café con un Físico que arrojó claroscuros a mis dudas:

- Puede ser que \( f(x)=O[g(x)] \), pero \( g(x)\neq O[f(x)] \), porque existe un valor \( x=a \), \( a\in{I} \), de forma que \( f(a)=0 \). Ello implica que, por definición: \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), no podemos encontrar un valor de \( a \) tal que \( f(a)\neq 0 \), y por lo tanto no hay un valor  \( K\in{\mathbb{R}} \) tal que \( |g(x)|\leq{K|f(x)|} \), como se ve en el dibujo.



Esto creo que lo he entendido. ¿Correcto?

-Ahora voy a reproducir el álgebra que escribió advirtiéndome que la notación Gran O tenía como finalidad justificar límites:

\( |f|\leq{K|u|} \), \( K\in{\mathbb{R}}\Leftrightarrow{f=O(u)} \)

Como consecuencia, \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \); o \( e^x\approx{1+x} \), \( x\rightarrow{0} \)

El esfuerzo hecho para entender esto es exiguo: dibujar con la calculadora gráfica de Geogebra \( f(x)=x \), \( g(x)=\sin(x) \), y \( h(x)=\dfrac{\sin (x)}{x} \) , pero soy incapaz de ver qué tiene que ver la notación Gran O con \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\dfrac{\sin (x)}{x}=1} \).

¡Un saludo!

2
¡Muchas gracias!

¡Un saludo!

3
Hola, estimado Rincón

Tengo una respuesta a la pregunta "¿Por qué O mayúscula habla de lo rápido que la gráfica de Taylor se acerca a una función?", que no consigo entender:


Citar
Esto se deduce de cualquiera de las expresiones explícitas para el residuo. Por ejemplo, si


\( f(x)= f(a) + (x - a)f'(a) + \dots + \frac{(x - a)^n}{n!}f^{(n)}(a) + R_n(x) \)

entonces, aplicando el teorema del valor medio a


\( F(t) = f(t) + (x - t)f'(t) + \dots + \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n)}(t) \)

se deduce que existe \( \xi \) entre \( a \)  y \( x \) tal que


\( \begin{split}

R_n(x) &= F(x) - F(a) \\

&= (x- a)F'(\xi) \\

&= (x - a) \frac{(x - \xi)^{n}}{n!}f^{(n+1)}(\xi).\end{split} \)

Creo que es la última duda en relación a Taylor-Maclaurin. Por la intuición de la que creo puedo ya hacer uso, esta cita es, en sí misma, una duda. Personalmente yo prescindiría de la cita, y me quedaría con la pregunta.

Estoy con un ordenador al que no le funciona el teclado de mano, y pronto podré disponer de otro. Con este voy a cuentagotas. Creo tener la respuesta a la pregunta. La pregunta, sinceramente, es sobre esta respuesta: dudo de su utilidad para aclarar nada.

Así las cosas, casi prefiero considerar la cita desde un punto de vista veraniego. Como si estuviese con una novela, más que con un texto matemático.

Y si me equivoco, y resulta que hay fundamento; mejor dicho, si se trata de la vía más corta, me encantaría saber un poco más.

Mi explicación es otra:

\( f(x)=P_{n}(x)+O((x-a)^{n+1}) \)

\( \Rightarrow{|f(x)-P_{n}(x)|\leq{k|(x-a)^{n+1}|}} \)

\( k=\dfrac{E_{n}(x)}{(x-a)^{n+1}}=\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!} \)

para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \).

En principio haría una pelotilla: ¿merece la pena el razonamiento primero? :P

¡Un saludo!

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No hay un significado 100% preciso de generalizar. Pero la idea es esta: un resultado A generaliza a un resultado B, cuando el resultado B es un caso particular del resultado A. Ese es justo tu caso.



¡Muchas gracias!

5
Generalizar entiendo por lo siguiente : que \( n \) pueda ser todo \( \mathbb{N} \)

6
Hola, estimado Rincón. Ahí va mi propuesta:

Fórmula de Taylor

\( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^n{}\displaystyle\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\displaystyle\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)

Ahora, para \( n=0 \):

\( f(x)=P_{0}(x)+E_{0}(x)=f(a)+\displaystyle\frac{f'(c)}{1!}(x-a) \)

que es el Teorema del Valor Medio. Perdón una vez más por el tono telegráfico: no estoy con mi ordenata ni en mi casa. Mi caaaaaasa!; mi ordenaaaata! :laugh:

¿Correcto?

¡Un saludo!

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Hola, estoy sin ordenata en condiciones. En cuanto pille uno, estamos.

¡Un saludo!

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Cálculo 1 variable / Teorema del Valor Medio y Teorema de Taylor
« en: 11 Julio, 2022, 06:11 am »
Hola, estimado  Rincón

El TVM es un caso particular (\( n=0 \)) del TT...El TT es una generalización del TVM, creo; vamos, que lo he visto en un tutorial de YouTube, pero no sé argumentarlo muy bien. No lo entiendo del todo.

¡Un saludo!

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¡Por fin, por fin lo entiendo! Gracias, en serio.
¡Un saludo!

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Hola, estimado Rincón

Vuelvo una y otra vez sobre el mismo cuerpo de texto que ya he planteado con anterioridad, y dado erróneamente por resuelto. Haré una cita ingente  :-[ y en parte redundante (perdón), y seguido preguntas; mis intentos por resolverlas no los reflejo, porque no me parece que aportaría nada. Ahí va:

Citar

Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)


se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \) cerca de \( a \)

Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.

A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \).

(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).

(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \). El siguiente teorema demuestra que el polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) es el único polinomio de grado máximo \( n \) cuya gráfica se aproxima a la gráfica de \( f(x) \) con esa rapidez.

TEOREMA 11

Si \( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), siendo \( Q_{n} \) un polinomio de grado máximo \( n \), entonces \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \), es decir, \( Q_{n} \) es el polinomio de Taylor para \( f(x) \) en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( P_{n} \) el polinomio de Taylor. Entonces las propiedades (i) y (ii) de la notación \( O \) implican que \( R_{n}(x)=Q_{n}(x)-P_{n}(x)=O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero de forma que \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \). Sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando las potencias, podemos escribir \( R_{n}(x) \) en la forma

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow\color{Red}{a}}\color{Black}R_{n}(x)/(x-a)^k\color{Red}=c_k\color{Black}\neq{0} \). Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).


Preguntas:

- La distancia vertical entre las gráficas de \( f(x) \) y las aproximaciones sucesivas del polinomio de Taylor disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \): ¿por qué?; lo que he leído de la notación Gran O es que se trata de un reflejo del error en la estimación.

- Cómo llega en el Teorema 11 a escribir

Citar

Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero.


Cómo, o dónde, sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando potencias, (puede) escribir \( R_{n}(x) \) en esta forma:

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

¡Un saludo!

Editado el 02/07/2022, a las 15:45, a las 15:55, y a las 16:00


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Bueno, la duda se ha desplazado, y además vuelto como difusa, inconcreta:

¿Por qué \( 1<s<0 \) en el ejemplo? Adjunto imagen, gráfica, del análisis del error en una linealización genérica.


Yo sí que estoy difuso :laugh: Duda resuelta: he vuelto a leer la demostración de la fórmula para el error de la linealización.

¡Un abrazo!

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Cálculo 1 variable / Intentando entender la notación Gran O
« en: 16 Mayo, 2022, 08:46 am »
Hola, estimado Rincón, tengo un texto y la duda de si lo he entendido bien. Ahí va el texto, y luego mi duda:

Citar
Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)

se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \)   cerca de \( a \)

Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.
A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \).
(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).
(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \).

Aquí se detiene mi lectura. Busco un ejemplo:

Citar
Fórmula de Maclaurin con término de error expresado mediante la notación \( O \) cuando \( x\rightarrow{0} \) para \( e^x \):

\( e^{x}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}\ldots{+\dfrac{x^{n}}{n!}+O(x^{n+1})} \)

Y aquí empiezo a intentar entender qué es \( O(x^{n+1}) \) en esta fórmula: la estimación del error en la aproximación \( e^{x}\approx{P_{n}(x)} \):

\( E_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}=\dfrac{e^{s}}{(n+1)!}x^{n+1} \),    para algún \( s \) entre \( a=0 \) y \( x \)

Bueno, y ahora ya sé qué es la notación Gran \( O \); pero la duda se transforma: ¿qué es \( s \) en \( 0<s<x=1 \)? (Pido disculpas por esta deriva). Y lo que se me ocurre es echar un vistazo al Teorema 9 del libro de texto, por buscar un ejemplo lo más sencillo posible. En el Teorema 9 se ofrece una fórmula para el error de la linealización de una función, y previamente menciona: "(...) si se conocen los límites para la segunda derivada de \( f \)". A continuación viene el Teorema 9:

Citar
TEOREMA 9 Una fórmula para el error de la linealización

Si existe \( f''(t) \) para todo  \( t \) en un intervalo que contenga a \( a \) y \( x \), entonces existe algún punto \( s \) entre \( a \) y \( x \) tal que el error \( E(x)=f(x)-L(x) \) en la aproximación lineal \( f(x)\approx{L(x)}=f(a)+f'(a)(x-a) \) cumple

\( E(x)=\dfrac{f''(s)}{2}(x-a)^{2} \)

Bueno, la duda se ha desplazado, y además vuelto como difusa, inconcreta:

¿Por qué \( 1<s<0 \) en el ejemplo? Adjunto imagen, gráfica, del análisis del error en una linealización genérica.



Un saludo



13

Se queda corto, porque el dibujo que vale es el que ha puesto Luis. Ahí se podría usar, por ejemplo, el producto escalar (en su versión fórmula del coseno) usando coordenadas y con algunos cálculos previos (creo). Pero Tales solamente... no sé.


¡Hola, feriva! Gracias, apenas había prestado atención; sólo había revisado un libro de introducción a las matemáticas de acceso a la UNED.  :)

14
Hola estimado Rincón, quería saludar y, leyendo este hilo tan interesante, aportar mi granito de arena: nadie ha mencionado a Tales ;) Fijo que está en el enlace de Juan Pablo Sancho, pero sobretodo era para saludar.

¡Un abrazo!


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Consultas y comentarios / Re: Geogebra y polinomio de Taylor
« en: 09 Mayo, 2022, 05:24 am »
Hola, estimado Rincón, a ver si esta vez va mejor. La idea me la han sugerido en Physics Forums, en el subforo "Calculus", en un hilo que inicié con el título "Why do I not understand what seems to be basic calculus?"

Duda última del hilo, y del anterior mensaje,

Citar

Cómo daba el salto de \( E\color{red}\;'\color{black}_{k}(u)=\dfrac{(f')^{(k)}(s)}{k!}(u-a)^{k}=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{k!}(u-a)^{k} \)     a    \( E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} \)


Solución proporcionada:

Citar
La última expresión para \( E_{k}(x) \) viene de sustituir la expresión anterior (la cual es lo que calculamos \( E'_{k}(u) \) debería ser) en la fórmula \( \dfrac{E_{k}(x)}{(x-a)^{k+1}} \), primera de la lista de arriba, y que contiene \( E'_{k}(u) \), precisada.

Algebraicamente,

  • \( \dfrac{E_{k}(x)}{(x-a)^{k+1}}=\dfrac{E_{k}(x)-E_{k}(a)}{(x-a)^{k+1}-(a-a)^{k+1}}=\dfrac{E'_{k}(u)}{(k+1)(u-a)^{k}} \)
  • \( E'_{k}(u)=E_{k-1}(u) \)
  • \( E'_{k-1}(u)=\dfrac{f^{k+1}(s)}{k!}(u-a)^{k} \)

Es decir:

\( \dfrac{E_{k}(x)}{(x-a)^{k+1}}=\dfrac{E_{k-1}(u)}{(k+1)(u-a)^{k}}\Rightarrow{E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1}} \)

¡Un saludo!

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Consultas y comentarios / Re: Geogebra y polinomio de Taylor
« en: 05 Mayo, 2022, 04:25 pm »
Hola, estimado Rincón

Tenía, digamos, una duda: cómo daba el salto de \( \color{red}E_{k}(u)\color{black}=\dfrac{(f')^{(k)}(s)}{k!}(u-a)^{k}=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{k!}(u-a)^{k} \)     a    \( E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} \)

Me he basado en el Teorema 9 del libro, "Una fórmula para el error de la linealización de una función":

Citar

Si existe \( f''(t) \) para todo \( t \) en un intervalo que contenga a \( a \) y a \( x \), entonces existe algún punto \( s \) entre \( a \) y \( x \) tal que el error \( E(x)=f(x)-L(x) \) en la aproximación lineal \( f(x)\approx{L(x)}=f(a)+f'(a)(x-a) \) cumple

\( E(x)=\dfrac{f''(s)}{2}(x-a)2 \)


Su demostración está basada en la aplicación del Teorema del Valor Medio Generalizado a las funciones \( E(t) \) y \( (t-a)^2 \) en \( [a,x] \)

He aplicado \( \color{red}(k+1)! \) veces el dicho Teorema a \( E(t) \) y \( (t-a)^{(k+1)!} \) en \( [a,x] \). Ahí va:

Como \( E_{k}(a)=0 \):

\( \dfrac{E_{k}(x)-E_{k}(a)}{(x-a)^{(k+1)!}-(a-a)^{(k+1)!}}=\dfrac{E'(u)}{(k+1)(u-a)^{k!}}=\dfrac{1}{(k+1)}\dfrac{f'(u)-f'(a)}{(u-a)^{(k!)}}=\ldots{=\dfrac{1}{(k+1)!}\dfrac{f^{(k+1)}(u)-f^{(k+1)}(a)}{(u-a)}}=\dfrac{1}{(k+1)!}\cdot{f^{(k+1)}(s)} \)


Creo que está bien, pero he puesto en rojo esos detalles, por si acaso.

¡Un saludo!

Editado: Intento fallido

17
Consultas y comentarios / Re: Geogebra y polinomio de Taylor
« en: 30 Abril, 2022, 01:20 pm »
Ehhhh....! Olvidad el último mensaje. Voy a trabajar sobre el Teorema del Valor Medio. Pensé que, creí que, estaba terminando, y ahora empieza lo bueno, como decía mi amigo.

¡Un saludo!

18
Consultas y comentarios / Re: Geogebra y polinomio de Taylor
« en: 30 Abril, 2022, 08:30 am »

Hola, estimado Rincón, estas es la última duda. Citaré y dudaré :)

Citar
Completaremos la demostración para valores de \( n \) mayores usando inducción matemática.(...). Supongamos entonces, que ya hemos demostrado el caso \( n=k-1 \), donde \( k\geq{2} \) es un entero. Esto es, estamos suponiendo que ya hemos demostrado que si \( f \) es una función cualquiera cuya \( k \)-ésima derivada existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), entonces

\( E_{k-1}(x)=\dfrac{f^{(k)}(s)}{k!}(x-a)^k \)




Citar

Esta última expresión es justamente \( E_{k-1}(u) \) para la función \( f' \) en lugar de \( f \). Por el supuesto de inducción es igual a

\( \dfrac{(f')^{(k)}(s)}{k!}(u-a)^{k}=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{k!}(u-a)^{k} \)

para algún \( s \) entre \( a \) y \( u \). Por tanto,

\( E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} \)

Hemos demostrado que el caso \( n=k \) del Teorema de Taylor es verdadero en el caso \( n=k-1 \), lo que completa la demostración por inducción


La duda es cómo puede pasar de \( k! \) a \( (k+1)! \) en el denominador y en el exponente de \( (x-a) \)

Mi intento: el salto inductivo es de \( E_{k-1}(x) \) a \( E_{k}(x) \). Y el salto lo hace en dos tiempos: primero para la función en el numerador, y después para el exponente de \( (x-a) \) y el denominador

¡Un saludo!

19
Consultas y comentarios / Re: Geogebra y polinomio de Taylor
« en: 29 Abril, 2022, 11:21 pm »

Si ya estuviese demostrado para el caso \( n=k-1 \) (para cualquier \( k \)) ya estaría demostrado para todo \( n\in \Bbb N \), y no tendrías nada que probar.

El método de inducción SUPONE (como parte de la hipótesis) el resultado cierto para \( k-1 \) y a partir de ahí se tiene que demostrar el caso \( k \).


Puf, muchísimas gracias.

¡Un abrazo!

20
Consultas y comentarios / Re: Geogebra y polinomio de Taylor
« en: 29 Abril, 2022, 04:14 pm »
Hola, estimado Rincón

Primero cito y luego la duda:

Citar

Demostración Obsérvese que el caso \( n=0 \) de la fórmula de Taylor, concretamente

\( f(x)=P_{0}(x)+E_{0}(x)=f(a)+\dfrac{f'(s)}{1!}(x-a) \)

es justamente el Teorema del Valor Medio

\( \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(s) \) para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \).

Nótese también que el caso \( n=1 \) es justamente la fórmula del error para la linealización dada en el teorema anterior.

Completaremos la demostración para valores de \( n \) mayor usando inducción matemática.(...). Supongamos entonces, que ya hemos demostrado el caso \( n=k-1 \), donde \( k\geq{2} \) es un entero.


De hecho, ¿no está demostrado el caso \( n=k-1 \), donde \( k\geq{1} \) es un entero?

¡Un saludo!

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