No hay un significado 100% preciso de generalizar. Pero la idea es esta: un resultado A generaliza a un resultado B, cuando el resultado B es un caso particular del resultado A. Ese es justo tu caso.

Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)

se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \) cerca de \( a \)

Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.

A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \).

(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).

(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \). El siguiente teorema demuestra que el polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) es el único polinomio de grado máximo \( n \) cuya gráfica se aproxima a la gráfica de \( f(x) \) con esa rapidez.

TEOREMA 11

Si \( f(x)=Q_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), siendo \( Q_{n} \) un polinomio de grado máximo \( n \), entonces \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \), es decir, \( Q_{n} \) es el polinomio de Taylor para \( f(x) \) en \( x=a \).

DEMOSTRACIÓN Sea \( P_{n} \) el polinomio de Taylor. Entonces las propiedades (i) y (ii) de la notación \( O \) implican que \( R_{n}(x)=Q_{n}(x)-P_{n}(x)=O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero de forma que \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \). Sustituyendo \( x \) por \( a+(x-a) \) y desarrollando las potencias, podemos escribir \( R_{n}(x) \) en la forma

\( R_{n}(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\ldots{+c_n(x-a)^n} \)

Si \( R_{n}(x) \) no es idénticamente nulo, entonces existe un mínimo coeficiente \( c_k(k\leq{n}) \) tal que \( c_k\neq{0} \), pero \( c_j=0 \) para \( 0\leq{j}\leq{k-1} \). Por tanto,

\( R_{n}(x)=\color{Red}(x-a)^k(c_k+c_{k+1}(x-a)+\ldots{+c_n(x-a)^{n-k}}) \)

Por lo tanto \( \lim_{x\rightarrow\color{Red}{a}}\color{Black}R_{n}(x)/(x-a)^k\color{Red}=c_k\color{Black}\neq{0} \). Sin embargo, por la propiedad (iii) anterior tenemos que \( R_{n}(x)/(x-a)^k=O((x-a)^{n+1-k}) \). Como \( n+1-k>0 \), esto indica que \( R_{n}(x)/(x-a)^k\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{a} \). Esta contradicción demuestra que \( R_{n}(x) \) debe ser idénticamente nulo. Por lo tanto \( Q_{n}(x)=P_{n}(x) \) para todo \( x \).

Queremos demostrar que \( R_{n}(x) \) es idénticamente cero.

Notación \( O \)

DEFINICIÓN 9

Se escribe \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si

\( |f(x)|\leq{k|u(x)|} \)

se cumple para alguna constante \( k \) en algún intervalo abierto que contiene a \( x=a \).

De forma similar \( f(x)=g(x)+O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) si \( f(x)-g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), es decir, si

\( |f(x)-g(x)|\leq{k|u(x)|} \)   cerca de \( a \)

Por ejemplo, \( \sin{\;x}=O(x) \) cuando \( x\rightarrow{0} \) porque \( |\sin{\;x}|\leq{|x|} \) cerca de 0.
A partir de la definición se pueden deducir las siguientes propiedades de la notación \( O \):

(i) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( Cf(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( C \).
(ii) Si \( f(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) y \( g(x)=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)\pm{g(x)}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \).
(iii) Si \( f(x)=O(x-a)^{k}u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \), entonces \( f(x)/(x-a)^{k}=O(u(x)) \) cuando \( x\rightarrow{a} \) para cualquier constante \( k \).

El Teorema de Taylor dice que si \( f^{(n+1)}(t) \) existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), entonces, cuando \( x\rightarrow{a} \),

\( f(x)=P_{n}(x)+O\Big((x-a)^{n+1}\Big) \)

Esto es una afirmación sobre la rapidez con que la gráfica del polinomio de Taylor \( P_{n}(x) \) se acerca a la de \( f(x) \) cuando \( x\rightarrow{a} \). La distancia vertical entre las gráficas disminuye tan rápidamente como \( |x-a|^{n+1} \).

Fórmula de Maclaurin con término de error expresado mediante la notación \( O \) cuando \( x\rightarrow{0} \) para \( e^x \):

\( e^{x}=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}\ldots{+\dfrac{x^{n}}{n!}+O(x^{n+1})} \)

TEOREMA 9 Una fórmula para el error de la linealización

Si existe \( f''(t) \) para todo  \( t \) en un intervalo que contenga a \( a \) y \( x \), entonces existe algún punto \( s \) entre \( a \) y \( x \) tal que el error \( E(x)=f(x)-L(x) \) en la aproximación lineal \( f(x)\approx{L(x)}=f(a)+f'(a)(x-a) \) cumple

\( E(x)=\dfrac{f''(s)}{2}(x-a)^{2} \)

Si existe \( f''(t) \) para todo \( t \) en un intervalo que contenga a \( a \) y a \( x \), entonces existe algún punto \( s \) entre \( a \) y \( x \) tal que el error \( E(x)=f(x)-L(x) \) en la aproximación lineal \( f(x)\approx{L(x)}=f(a)+f'(a)(x-a) \) cumple

\( E(x)=\dfrac{f''(s)}{2}(x-a)2 \)

Completaremos la demostración para valores de \( n \) mayores usando inducción matemática.(...). Supongamos entonces, que ya hemos demostrado el caso \( n=k-1 \), donde \( k\geq{2} \) es un entero. Esto es, estamos suponiendo que ya hemos demostrado que si \( f \) es una función cualquiera cuya \( k \)-ésima derivada existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), entonces

\( E_{k-1}(x)=\dfrac{f^{(k)}(s)}{k!}(x-a)^k \)

Esta última expresión es justamente \( E_{k-1}(u) \) para la función \( f' \) en lugar de \( f \). Por el supuesto de inducción es igual a

\( \dfrac{(f')^{(k)}(s)}{k!}(u-a)^{k}=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{k!}(u-a)^{k} \)

para algún \( s \) entre \( a \) y \( u \). Por tanto,

\( E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} \)

Hemos demostrado que el caso \( n=k \) del Teorema de Taylor es verdadero en el caso \( n=k-1 \), lo que completa la demostración por inducción

Demostración Obsérvese que el caso \( n=0 \) de la fórmula de Taylor, concretamente

\( f(x)=P_{0}(x)+E_{0}(x)=f(a)+\dfrac{f'(s)}{1!}(x-a) \)

es justamente el Teorema del Valor Medio

\( \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(s) \) para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \).

Nótese también que el caso \( n=1 \) es justamente la fórmula del error para la linealización dada en el teorema anterior.

Completaremos la demostración para valores de \( n \) mayor usando inducción matemática.(...). Supongamos entonces, que ya hemos demostrado el caso \( n=k-1 \), donde \( k\geq{2} \) es un entero.