Hola

Es que yo pensaba que \( t/2 \) era un invariante. \( A \) era \( t/2 \) sea cual fuera el radio.
Pero \( A=\dfrac{r^2 t}{2} \) unidades cuadradas. Por ejemplo, el área entre \( y=0 \), la circunferencia \( x^2+y^2=4 \) y la recta que va del origen a \( (\cos t, \sen t) \) es \( A=2t \). ¿Correcto?.

Un saludo

Hola, estimado Rincón, Luis, feriva, franma

Iba a publicar otro hilo, pero he entrado en este antes; me he fijado que feriva había escrito, y no lo había leído.

En tu caso no tienes cualquier cosa o cualquier número real, tienes una función trigonométrica con una definición que es la que es. No hay que darle vueltas.

Perfecto. He seleccionado esta frase porque resume totalmente el esfuerzo que habéis hecho para que por fin comprenda todo. Ahora veo que ni siquiera me había preocupado de decíroslo 

P.D.D. Tengo una sensación extraña respecto a las preguntas que haces, pero me es difícil de explicar: creo que deberías de intentar entender las definiciones y el fondo de las cosas a tu manera y no pararte tanto, en un principio, en cada una de las frases de un libro (o incluso de un forero) y su redacción particular (que a veces puede ser desafortunada).

Genial cita. No me fío del libro. Se nota, y me lo ha demostrado el libro mismo. Buen consejo.

¡Gracias, un saludo!

Cita de: Marcos Castillo en 05 Septiembre, 2021, 11:33 am

¡Hola, feriva!

Voy a estudiar el hilo, creo que esa es la clave. Tardaré una semana como mucho, o menos.

¡Un abrazo, Rincón!

Es muy sencillo, Marcos. Si para el coseno haces la hipotenusa igual a 1 (en todo caso lo puedes representar así al existir la fracción equivalente) el cateto “b” puede estar entre -1 y 1, pero en valor absoluto el coseno será \( |\dfrac{b}{1}|=|b|\leq1
  \). Y como la secante es \( \dfrac{1}{b}
  \), ahora es el denominador el que es (en valor absoluto) menor o igual a 1 y, dicho sea de paso, puede acercarse a cero tanto como quiera; entonces la fracción da un número mayor o igual a 1 por eso, porque el denominador no puede ser mayor que el numerador, o sea \( |\dfrac{1}{b}|\geq1
  \).

Ahora, dado que \( x=\dfrac{1}{b}
  \), entonces, lógicamente, \( |x|=|\dfrac{1}{b}|
  \); y de este modo, por la desigualdad del párrafo anterior, \( |x|\geq1
  \).

Un abrazo.

Perfecto. La circunferencia goniométrica ha facilitado mucho mi comprensión.

Yo he hecho mis pinitos.  Cito el libro:

Propiedades de las funciones inversas
(...)
2- El dominio de \( f^{-1} \) es el rango de \( f \).
(...)

En un principio pretendía demostrar \( \sec^{-1} x=\cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right)\quad{\mbox{para}\;|x|\geq 1} \), pero sólo he logrado, creo, comprobar que \( \cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right) \) tiene dominio en la unión de intervalos \( (-\infty,-1]\cup{[1,\infty)} \) para \( |x|\geq 1 \)

• \( |\cos x|\leq 1\Leftrightarrow{Dom(\cos^{-1})=\{x\in{[-1,1]}\}} \)
• \( \left({\dfrac{1}{x}}\right)\leq 1\Leftrightarrow{1\leq |x|} \)

Otra duda: ¿no habrá una errata en esta cita del libro?

Es la reflexión respecto a la recta \( y=x \) de la parte de la gráfica de \( \sec x \) para \( x \) entre 0 y \( \pi \)."

¿No será una errata, es decir, en esta cita la reflexión es respecto a la recta \( y=x \), pero de la parte de la gráfica de \( \sec^{-1} x \) para \( x \) entre 0 y \( \pi \)

PS: Administradores, ¿podríais cambiar el título del hilo?

  Una cuestión linguística: no tiene sentido la frase demostrar una ecuación. Si lo tiene demostrar una identidad.

Bueno, voy a liarme un poco; vamos, que tengo un pequeño lío. Ahí va:

¡Hola, feriva, franma, Fernando Revilla!

Fernando, perfecto.

franma, muy bueno el enlace.

\( \sec^{-1}(x)=\dfrac{1}{sec(x)} \)

Importa el paréntesis, creo recordar, pero no estoy seguro.

Sí. Es importante.

No hay que confundir el -1 de \( f^{-1} \) con un exponente. La función inversa \( f^{-1} \) no es el inverso \( 1/f \). Si deseamos indicar el inverso \( 1/f(x) \) con un exponente se puede escribir como \( (f(x))^{-1} \).

Creo que he olvidado algo importante, que pone justo antes de la DEFINICIÓN 13:

Las funciones inversas de las funciones trigonométricas secundarias se expresan también fácilmente por medio de las de sus funciones recíprocas


DEFINICIÓN 13 La función inversa de la secante \( \sec^{-1} x \) ( o \( \mbox{arcsec} x \))

\( \sec^{-1} x=\cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right) \) para \( |x|\geq 1 \)

feriva, tu mensaje me ha encendido una bombilla: no veía por qué \( \cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right) \) era el recíproco de \( \sec^{-1} x \). Pero me ha surgido una duda que había obviado hasta ahora. Con Geogebra se ve muy bien, pero, ¿por qué esta identidad se da para \( |x|\geq 1 \)? ¿por qué no está definida en \( (-1,1) \)? ¿es porque el dominio de \( \arcsen \) es \( [-1,1] \)?

Otra duda que había olvidado:cito el libro otra vez

El dominio de \( \sec^{-1} \) es la unión de los intervalos \( (-\infty,-1]\cup{[1,\infty)} \), y su rango es \( [0,\dfrac{\pi}{2})\cup{(\dfrac{\pi}{2},\pi)} \). La gráfica de \( y=\sec^{-1}x \) (...) Es la reflexión respecto a la recta \( y=x \) de la parte de la gráfica de \( \sec x \) para \( x \) entre 0 y \( \pi \)

.

Esto es cierto (lo de la reflexión) sólo para el primer cuadrante, ¿no?. Adjunto imagen



Un saludo cordial

¡Muchas gracias, el_manco!

  Una cuestión linguística: no tiene sentido la frase demostrar una ecuación. Si lo tiene demostrar una identidad.

Claro, ahora me doy cuenta: una ecuación se resuelve. Entonces es una identidad, pero, ¿qué tipo de identidad?. Tiene condicionantes. Eso hace que entre en otra categoría, ¿no?.

Un saludo

Yo entiendo que es análisis de una variable real,  los problemas de valores iniciales suelen ser dados para resolver ecuaciones diferenciales. (Añadido: en los problemas de valores iniciales tienes que calcular explícitamente f(x) a partir de una ec. diferencial con condiciones de valor inicial o de contorno, pero aquí te dan explícitamente cuanto vale la función f(x))

En este caso la idea es que una función de derivada cero en todo el dominio es constante  y en este caso la constante es \( -\displaystyle\frac{\pi}{4} \) , toma el valor en cero, como podría haber tomado otro cualquiera, la constante sería la misma.

¡Perfecto! Lo quería ver más complicado de lo que es.

Hola.

Sólo indicar que la relación se puede demostrar con identidades trigonométricas, sin hacer uso de ninguna herramienta propia del análisis de funciones. Algo así:

\[ \tan^{-1}\left(\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\right)=\alpha\,\Rightarrow{\,}\tan\alpha=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\,\Rightarrow{\,}(x+1)\tan\alpha=x-1\,\Rightarrow{\,} \]

De donde:

\[ x=\displaystyle\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}+\tan\alpha}{1-\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}\tan\alpha}=\tan\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \]

Y de aquí:

\[ \alpha=\tan^{-1}{x}-\displaystyle\frac{\pi}{4} \]  , etc.

Un saludo.

Apunto la fórmula \( \tan (\alpha+ \beta)=\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \). La tengo en el libro, pero ahora también en el hilo.

¡Muchas gracias!

A mí me han atraído las matemáticas desde muy pequeñito, pero el supremo me negó al mismo tiempo la rapidez, por llamar de alguna forma a la inteligencia. Pero volviendo al hilo, mi experiencia personal se resume en una anécdota, un recuerdo, una conversación, que tuve con mi madre, economista, cuando yo era un niño. Ella dijo que la teoría de conjuntos le parecía terriblemente difícil. Yo me quedé perplejo: "Si es superfácil", o algo así, le dije yo. Y es que creo que las nociones primeras son triviales, pero la Teoría de Conjuntos, con mayúsculas, es al mismo tiempo diabólicamente difícil, y diabólicamente fundamental. Esto último que digo es, sin salir de mi enfoque personal, como un niño que se asoma a un mirador precioso, observa el paisaje, y se siente pleno, y reconoce su sentimiento...Plena, fundamental, el pilar de las matemáticas, son los conjuntos, pero lo del colegio era de risa: flechitas, circulitos...Pero necesario, en mi opinión. Es más, esta aproximación ingenua que tuve de niño sirve para morder el anzuelo. Me refiero a que a mí me hizo sentirme inicialmente muy confiado.
Si no me hubieran proporcionado esta aproximación ingenua, no me habrían predispuesto favorablemente. No me parece nada didáctico. Hay que empezar jugando.

He dicho

Hola, franma, estimado Rincón

No logre entender el ultimo mensaje ¿A quien va dirigido? ¿Esta respondiendo a algo en particular?

Al foro, y está respondiendo a lo que yo creía que era la necesidad de contextualizar mi mensaje de ayer a las 5.43 pm: el motivo es que he tenido la sensación de que algo quedaba en el tintero. Vamos, que igual estaba hablando solo

El punto de partida es

\( \displaystyle\lim_{x \to{x^+_0}}{f(x)}=+\infty\Leftrightarrow{(\forall{N>0}),(\exists{\delta>0}})/(\mbox{Si}\;0<x-x_0<\delta\wedge{x\in{\mbox{Df}}})\Rightarrow{(f(x)>N)} \)

La frase en negrita me desconcierta pues lo que colocaste encima es la definición de un limite infinito (que da infinito).
¿Hay algo que no te convence de la definición?

Creí que era correcta, pero necesitaba saber incluso si la propia definición era adecuada.

Es decir, era un mensaje lleno de incógnitas para mí. Pero al mismo tiempo lo había estudiado.

¡Un saludo!

¡Hola, martiniano, franma, feriva, entendido!

He querido probar matemáticamente que el límite cuando \( x\rightarrow{-1} \) por la derecha de \( f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) es \( +\infty \), pero tengo dudas. He hecho lo siguiente:

1- \( \displaystyle\lim_{x \to{x^+_0}}{f(x)}=+\infty\Leftrightarrow{(\forall{N>0}),(\exists{\delta>0}})/(\mbox{Si}\;0<x-x_0<\delta\wedge{x\in{\mbox{Df}}})\Rightarrow{(f(x)>N)} \).

2- He buscado \( \delta \) en función de \( N \). He factorizado:

\( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}} \) debe ser mayor que \( N \)

3- Por hipótesis, \( 0<x-(-1)<\delta \)

\( \Rightarrow{\dfrac{1}{1+x}>\dfrac{1}{\delta}} \)
\( \Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}>\dfrac{1}{\sqrt{\delta}}} \)

Con esto acoto un factor;

4- Falta acotar \( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \); hay que encontrar un \( K>0 \) tal que \( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}>K \)

5- \( 0<x+1<\delta_1=1 \)
\( \Rightarrow{0<x+1<1} \)
\( \Rightarrow{0>-x-1>-1} \)
\( \Rightarrow{2>1-x>1} \)
\( \Rightarrow{\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{1-x}<1} \)
\( \Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}<1}\Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}>\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \)

6- Multiplicamos las desigualdades:

\( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}}>\dfrac{1}{\sqrt{2\delta}}\Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}>N} \)

7- Haciendo \( \dfrac{1}{\sqrt{2\delta}}=N\Rightarrow{\delta=\dfrac{1}{2N^2}} \)

8- Escogemos \( \delta=\mbox{min}\{1,\dfrac{1}{2N^2}\} \). Y queda probado.

Dudas:

- La hipótesis, ¿es correcta?. ¿El hecho de que haya que restar un \( x_0<0 \) hace que sea incorrecta?
- El dominio de la derivada es \( (-1,1) \). ¿La elección de \( \delta_1 \) es adecuada?
- ¿El razonamiento es correcto?

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón, tengo un texto y una duda. Cito primero

Funciones trigonométricas inversas

Las seis funciones trigonométricas son periódicas y, por tanto, no son uno a uno. Sin embargo, tal como hicimos con la función \( x^2 \) en la sección 3.1, podemos restringir sus dominios de forma que las funciones restringidas sean uno a uno e invertibles.

Función inversa del seno (o arcoseno)

Definamos una función \( \mbox{Sen} x \) (nótese la letra mayúscula) como \( \sen x \), restringida de forma que su dominio sea el intervalo \( -\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq {\dfrac{\pi}{2}} \):

DEFINICIÓN 8 La función restringida \( \mbox{Sen} x \)

\( \mbox{Sen} x=\sen x\quad \mbox{si}\;-\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq {\dfrac{\pi}{2}} \)

Como su derivada \( \cos x \) es positiva en el intervalo \( (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}) \), la función \( \mbox{Sen} x \) es creciente en su dominio, por lo que es una función uno a uno. Su dominio es \( [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] \) y su rango \( [-1,1] \) (véase la Figura 3.17)(*)

Como es uno a uno, \( \mbox{Sen} x \) tiene función inversa que se indica como \( \sen^{-1} \) (o en algunos libros y programas de ordenador como \( \arcsen \), \( \mbox{Arcsen} \) o \( \mbox{asen} \)) y que se denomina función inversa del seno o arcoseno.

DEFINICIÓN 9 La función inversa \( \sen^{-1}x \) o \( \arcsen x \)

\( y=\sen^{-1}x\Leftrightarrow{x=\mbox{Sen}\;y} \)
\( \Leftrightarrow{x=\sen y}\quad\mbox{y}\quad-\dfrac{\pi}{2}\leq y\leq {\dfrac{\pi}{2}} \)

La gráfica de \( \sen^{-1} \) se muestra en la Figura 3.18 (**). Es la reflexión de la gráfica de \( \mbox{Sen} x \) con respecto a la recta \( x=y \). El dominio de \( \sen^{-1} \) es \( [-1,1] \) (el rango de \( \mbox{Sen} \)), y el rango de \( \sen^{-1} \) es \( [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] \) (el dominio de \( \mbox{Sen}x \)). Las identidades de cancelación para \( \mbox{Sen} x \) y \( \sen^{-1}x \) son

\( \sen^{-1}(\mbox{Sen}x)=\arcsen (\mbox{Sen}x)=x\quad\mbox{para}\;-\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq {\dfrac{\pi}{2}} \)

\( \mbox{Sen}(\sen^{-1}x)=\mbox{Sen}(\arcsen x)=x\quad\mbox{para}\;-1\leq x\leq 1 \)

(...)

A continuación utilizaremos la diferenciación implícita para calcular la derivada de la función inversa del seno (...)

\( \dfrac{d}{dx}\sen^{-1}x=\dfrac{d}{dx}\arcsen x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

Nótese que la función inversa del seno es diferenciable solamente en el intervalo abierto \( (-1,1) \). La pendiente de su gráfica tiende a infinito cuando \( x\rightarrow{-1+} \) o cuando \( x\rightarrow{1-} \) (véase la Figura 3.18 (**))

(*) Gráfica de \( \mbox{Sen}x \), que forma parte de la gráfica de \( \sen x \), entre \( -\pi/2 \) y \( \pi/2 \).
(**) Gráfica de la función arcoseno.

Duda:
- La tendencia a infinito por la izquierda de 1 y por la derecha de -1 de la derivada de arcoseno, ¿cómo se comprueba reparando en la gráfica de arcoseno?
¡Un saludo!


PS: No adjunto gráficas de (*) y (**).