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Mensajes - Marcos Castillo

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Hola, feriva, Luis, voy a publicar más rápido, por no eternizarme



Es que no puedes comprobar otra cosa, porque es lo que es.

Piensa que todos los valores de \( cos(a) \) están aquí \( [-1,1] \) y eso es equivalente a decir \( |cos(a)|\leq1 \); de manera obvia, porque si tomas un valor un poco mayor que -1, por ejemplo -0,9, evidentemente que su valor absoluto, 0,9, es menor que 1. Si vas tomando valores cada vez mayores van a ser así -0,9..., -0,8... hasta llegar a cero (de momento) donde se acaban los negativos; todos son “cero coma” y en valor absoluto, por tanto, son menores que 1. Si a aprtir de cero das valores positivos cada vez mayores también todos son “cero coma” hasta que llegan a 1; y de ahí no pasan.

Con el valor inverso del coseno, ocurre al revés por lo dicho. Entonces, si damos valores menores que -1, van siendo así “-1,00...”, después “-2,00...”, etc. Y del mismo modo hacia el otro lado, de 1 hacia arriba.

Al tomar el valor absoluto, quitamos el signo y una cosa significa lo mismo que la otra, nos quedamos con el ejemplo de los positivos y con eso ya se ve claro.

Lo del valor absoluto ahí es una forma cómoda de decir por dónde se mueve la función, nada más.


Perfecto, pero, ¿tan evidente, inmediata, intuitiva, es la determinación del dominio para esta identidad?. Debe serlo :-X ;)


Bien. ¿Pero como se demuestra la igualdad no es algo que ya se había tratado al principio de este hilo?. En concreto está hecho en la primera respuesta.


Esta cita apoya la de feriva, en mi opinión. Pero yo distingo dos etapas: en la primera respuesta, de Luis, veo la primera; es decir, la prueba de la identidad. Y la segunda etapa sería concretar el dominio y el rango.


No se muy bien a qué error te refieres. La gráfica de \( sec(x) \) entre \( 0 \) y \( \pi \)( excluído \( \pi/2 \)) está dibujada en rojo.

Su relfexión respecto a la recta \( x=y \) está en azul y efectivamente es \( sec^{-1}(x) \) en su dominio.


 :aplauso: ¡Gracias! No existe tal error.

Aún me queda un fleco: ¿por qué la reflexión respecto a \( y=x \) debe considerarse para \( 0\leq x\leq \pi \)? Supongamos que quiero un argumento conjuntista: ¿por qué debo fijarme en ese intervalo de \( x \) para la función secante?¿por qué el rango de \( \sec^{-1} \)?

Un saludo




2
¡Hola, feriva!

Voy a estudiar el hilo, creo que esa es la clave. Tardaré una semana como mucho, o menos.

¡Un abrazo, Rincón!

Es muy sencillo, Marcos. Si para el coseno haces la hipotenusa igual a 1 (en todo caso lo puedes representar así al existir la fracción equivalente) el cateto “b” puede estar entre -1 y 1, pero en valor absoluto el coseno será \( |\dfrac{b}{1}|=|b|\leq1
  \). Y como la secante es \( \dfrac{1}{b}
  \), ahora es el denominador el que es (en valor absoluto) menor o igual a 1 y, dicho sea de paso, puede acercarse a cero tanto como quiera; entonces la fracción da un número mayor o igual a 1 por eso, porque el denominador no puede ser mayor que el numerador, o sea \( |\dfrac{1}{b}|\geq1
  \).

Ahora, dado que \( x=\dfrac{1}{b}
  \), entonces, lógicamente, \( |x|=|\dfrac{1}{b}|
  \); y de este modo, por la desigualdad del párrafo anterior, \( |x|\geq1
  \).

Un abrazo.

Perfecto. La circunferencia goniométrica ha facilitado mucho mi comprensión.

Yo he hecho mis pinitos.  Cito el libro:
Citar
Propiedades de las funciones inversas
(...)
2- El dominio de \( f^{-1} \) es el rango de \( f \).
(...)

En un principio pretendía demostrar \( \sec^{-1} x=\cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right)\quad{\mbox{para}\;|x|\geq 1} \), pero sólo he logrado, creo, comprobar que \( \cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right) \) tiene dominio en la unión de intervalos \( (-\infty,-1]\cup{[1,\infty)} \) para \( |x|\geq 1 \)

  • \( |\cos x|\leq 1\Leftrightarrow{Dom(\cos^{-1})=\{x\in{[-1,1]}\}} \)
  • \( \left({\dfrac{1}{x}}\right)\leq 1\Leftrightarrow{1\leq |x|} \)

Otra duda: ¿no habrá una errata en esta cita del libro?


Es la reflexión respecto a la recta \( y=x \) de la parte de la gráfica de \( \sec x \) para \( x \) entre 0 y \( \pi \)."


¿No será una errata, es decir, en esta cita la reflexión es respecto a la recta \( y=x \), pero de la parte de la gráfica de \( \sec^{-1} x \) para \( x \) entre 0 y \( \pi \)

PS: Administradores, ¿podríais cambiar el título del hilo?
  Una cuestión linguística: no tiene sentido la frase demostrar una ecuación. Si lo tiene demostrar una identidad.

3
¡Hola, feriva!

Voy a estudiar el hilo, creo que esa es la clave. Tardaré una semana como mucho, o menos.

¡Un abrazo, Rincón!

4
Bueno, voy a liarme un poco; vamos, que tengo un pequeño lío. Ahí va:

¡Hola, feriva, franma, Fernando Revilla!

Fernando, perfecto.

franma, muy bueno el enlace.


\( \sec^{-1}(x)=\dfrac{1}{sec(x)} \)

Importa el paréntesis, creo recordar, pero no estoy seguro.


Sí. Es importante.

Citar
No hay que confundir el -1 de \( f^{-1} \) con un exponente. La función inversa \( f^{-1} \) no es el inverso \( 1/f \). Si deseamos indicar el inverso \( 1/f(x) \) con un exponente se puede escribir como \( (f(x))^{-1} \).

Creo que he olvidado algo importante, que pone justo antes de la DEFINICIÓN 13:

Citar
Las funciones inversas de las funciones trigonométricas secundarias se expresan también fácilmente por medio de las de sus funciones recíprocas


DEFINICIÓN 13 La función inversa de la secante \( \sec^{-1} x \) ( o \( \mbox{arcsec} x \))

\( \sec^{-1} x=\cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right) \) para \( |x|\geq 1 \)



feriva, tu mensaje me ha encendido una bombilla: no veía por qué \( \cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right) \) era el recíproco de \( \sec^{-1} x \). Pero me ha surgido una duda que había obviado hasta ahora. Con Geogebra se ve muy bien, pero, ¿por qué esta identidad se da para \( |x|\geq 1 \)? ¿por qué no está definida en \( (-1,1) \)? ¿es porque el dominio de \( \arcsen \) es \( [-1,1] \)?

Otra duda que había olvidado:cito el libro otra vez
Citar
El dominio de \( \sec^{-1} \) es la unión de los intervalos \( (-\infty,-1]\cup{[1,\infty)} \), y su rango es \( [0,\dfrac{\pi}{2})\cup{(\dfrac{\pi}{2},\pi)} \). La gráfica de \( y=\sec^{-1}x \) (...) Es la reflexión respecto a la recta \( y=x \) de la parte de la gráfica de \( \sec x \) para \( x \) entre 0 y \( \pi \)
.

Esto es cierto (lo de la reflexión) sólo para el primer cuadrante, ¿no?. Adjunto imagen



Un saludo cordial



5

Claro, ahora me doy cuenta: una ecuación se resuelve. Entonces es una identidad, pero, ¿qué tipo de identidad?. Tiene condicionantes. Eso hace que entre en otra categoría, ¿no?.


Es una identidad trigonométrica, el hecho de que sea para \( |x|\geq 1 \) no modifica ni pone adjetivos. Ya le quería sacar punta a todo una vez más :laugh:

Un saludo

6
¡Muchas gracias, el_manco! :)

  Una cuestión linguística: no tiene sentido la frase demostrar una ecuación. Si lo tiene demostrar una identidad.

Claro, ahora me doy cuenta: una ecuación se resuelve. Entonces es una identidad, pero, ¿qué tipo de identidad?. Tiene condicionantes. Eso hace que entre en otra categoría, ¿no?.

Un saludo

7
Hola

Es la primera vez que me encuentro con una identidad trigonométrica sin justificar:

"DEFINICIÓN 13 La función inversa de la secante \( \sec^{-1} x \) ( o \( \mbox{arcsec} x \))

\( \sec^{-1} x=\cos^{-1}\left({\dfrac{1}{x}}\right) \) para \( |x|\geq 1 \)

El dominio de \( \sec^{-1} \) es la unión de los intervalos \( (-\infty, -1]\cup{[1, \infty)} \) y su rango es \( [0,\dfrac{\pi}{2})\cup{(\dfrac{\pi}{2}, \pi)} \). La gráfica de \( y=\sec^{-1} x \) se muestra en la figura 3.25(b)(*). Es la reflexión respecto a la recta \( y=x \) de la parte de la gráfica de \( \sec x \) para \( x \) entre 0 y \( \pi \)."

Dudas:
1- ¿Hay una forma de probarlo?,
2- He estado leyendo en internet y creo que se trata no de una identidad, sino de una ecuación (por el dominio de \( x \) para el que es cierta). ¿Es esto verdadero?.

Un saludo afectuoso.

(*) No la adjunto.

8

Yo entiendo que es análisis de una variable real,  los problemas de valores iniciales suelen ser dados para resolver ecuaciones diferenciales. (Añadido: en los problemas de valores iniciales tienes que calcular explícitamente f(x) a partir de una ec. diferencial con condiciones de valor inicial o de contorno, pero aquí te dan explícitamente cuanto vale la función f(x))

En este caso la idea es que una función de derivada cero en todo el dominio es constante  y en este caso la constante es \( -\displaystyle\frac{\pi}{4} \) , toma el valor en cero, como podría haber tomado otro cualquiera, la constante sería la misma.


¡Perfecto! Lo quería ver más complicado de lo que es.

Hola.

Sólo indicar que la relación se puede demostrar con identidades trigonométricas, sin hacer uso de ninguna herramienta propia del análisis de funciones. Algo así:

\[ \tan^{-1}\left(\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\right)=\alpha\,\Rightarrow{\,}\tan\alpha=\displaystyle\frac{x-1}{x+1}\,\Rightarrow{\,}(x+1)\tan\alpha=x-1\,\Rightarrow{\,} \]

De donde:

\[ x=\displaystyle\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\displaystyle\frac{\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}+\tan\alpha}{1-\tan\displaystyle\frac{\pi}{4}\tan\alpha}=\tan\left(\alpha+\displaystyle\frac{\pi}{4}\right) \]

Y de aquí:

\[ \alpha=\tan^{-1}{x}-\displaystyle\frac{\pi}{4} \]  , etc.

Un saludo.

Apunto la fórmula \( \tan (\alpha+ \beta)=\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \). La tengo en el libro, pero ahora también en el hilo.

¡Muchas gracias!

9
Hola, estimado Rincón

El caso es que entiendo el ejercicio al completo, pero no sé dónde se encaja teóricamente. Cito primero:

Citar
Ejemplo 9 Demuestre que \( \tan^{-1}{\left({\dfrac{x-1}{x+1}}\right)}=\tan^{-1} x-\dfrac{\pi}{4} \) para \( x>-1 \)

Solución Sea \( f(x)=\tan^{-1}{\left({\dfrac{x-1}{x+1}}\right)}-\tan^{-1} x \) en el intervalo \( (-1,\infty) \). Con la Regla de la Cadena y la Regla del Cociente, y operando, tiene que dar 0. Demuestra que es así. Esto implica que \( f(x)=C \) (una constante) en ese intervalo. Para obtener \( C \) calcula \( f(0) \):

\( C=f(0)=\tan^{-1}(-1)-\tan^{-1} 0=-\dfrac{\pi}{4} \)


Así, la identidad dada se cumple en \( (-1,\infty) \)

La duda es que no sé si es un ejercicio de cálculo mondo y lirondo, o es un problema de valor inicial, o dónde darle encaje teórico. Estoy en el capítulo de funciones trascendentes, dentro del apartado de funciones trigonométricas inversas.

¡Un saludo!

10
A mí me han atraído las matemáticas desde muy pequeñito, pero el supremo :laugh: me negó al mismo tiempo la rapidez, por llamar de alguna forma a la inteligencia. Pero volviendo al hilo, mi experiencia personal se resume en una anécdota, un recuerdo, una conversación, que tuve con mi madre, economista, cuando yo era un niño. Ella dijo que la teoría de conjuntos le parecía terriblemente difícil. Yo me quedé perplejo: "Si es superfácil", o algo así, le dije yo. Y es que creo que las nociones primeras son triviales, pero la Teoría de Conjuntos, con mayúsculas, es al mismo tiempo diabólicamente difícil, y diabólicamente fundamental. Esto último que digo es, sin salir de mi enfoque personal, como un niño que se asoma a un mirador precioso, observa el paisaje, y se siente pleno, y reconoce su sentimiento...Plena, fundamental, el pilar de las matemáticas, son los conjuntos, pero lo del colegio era de risa: flechitas, circulitos...Pero necesario, en mi opinión. Es más, esta aproximación ingenua que tuve de niño sirve para morder el anzuelo. Me refiero a que a mí me hizo sentirme inicialmente muy confiado.
Si no me hubieran proporcionado esta aproximación ingenua, no me habrían predispuesto favorablemente. No me parece nada didáctico. Hay que empezar jugando.

He dicho :laugh:

11
¡Muchas gracias, franma, Rincón!

Un abrazo ;D

12
Hola, franma, estimado Rincón


No logre entender el ultimo mensaje ¿A quien va dirigido? ¿Esta respondiendo a algo en particular?


Al foro, y está respondiendo a lo que yo creía que era la necesidad de contextualizar mi mensaje de ayer a las 5.43 pm: el motivo es que he tenido la sensación de que algo quedaba en el tintero. Vamos, que igual estaba hablando solo :)


El punto de partida es

\( \displaystyle\lim_{x \to{x^+_0}}{f(x)}=+\infty\Leftrightarrow{(\forall{N>0}),(\exists{\delta>0}})/(\mbox{Si}\;0<x-x_0<\delta\wedge{x\in{\mbox{Df}}})\Rightarrow{(f(x)>N)} \)



La frase en negrita me desconcierta pues lo que colocaste encima es la definición de un limite infinito (que da infinito).
¿Hay algo que no te convence de la definición?


Creí que era correcta, pero necesitaba saber incluso si la propia definición era adecuada.

Es decir, era un mensaje lleno de incógnitas para mí. Pero al mismo tiempo lo había estudiado.

¡Un saludo!

13
Hola

Ya la he liado. He replicado, he acomodado, un vídeo de YouTube, en el que he visto analogías. No se puede poner un enlace, así que no sé si lo que voy a hacer es correcto: se trata de un vídeo de 9.30 segundos que tiene 47143 visualizaciones, pero sólo 544 personas han hecho clic en "Me gusta", y 28 en "No me gusta". Es "Demostracion de limites infinitos por definicion (Ejercicio 1)", así, sin tildes, de JUANK MATH, todo en mayúsculas.

Pero no hace falta ver este vídeo. El problema es que voy a insistir en sus argumentos; o peor, voy a plantear si son válidos.

El punto de partida es

\( \displaystyle\lim_{x \to{x^+_0}}{f(x)}=+\infty\Leftrightarrow{(\forall{N>0}),(\exists{\delta>0}})/(\mbox{Si}\;0<x-x_0<\delta\wedge{x\in{\mbox{Df}}})\Rightarrow{(f(x)>N)} \)

que yo he dado por válido para probar

\( \displaystyle\lim_{x \to{-1^{+}}}{f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}=+\infty\Leftrightarrow{(\forall{N>0}),(\exists{\delta>0}})/(\mbox{Si}\;0<x-(-1)<\delta\wedge{x\in (-1,1)})\Rightarrow{\left({f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}>N}\right)} \)

La hipótesis es, entonces, \( 0<x-(-1)<\delta\wedge{x\in (-1,1)} \). Partiendo de esto, acoto superiormente, primero \( \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \), y después \( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \). Y si multiplico estas dos cotas, estoy acotando \( f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \). Lo único que tengo que hacer es igualar esta multiplicación a \( N \), y despejar \( \delta \). Sólo queda tener en cuenta la primera restricción hecha a \( \delta \), y compararla con este resultado, para elegir siempre el mínimo: 1, o el que está en función de \( N \). Cuanto mayor sea \( N \), mayor será la probabilidad de escoger \( \delta=\dfrac{1}{2N^2} \).

Un saludo.

14
¡Hola, martiniano, franma, feriva, entendido!

He querido probar matemáticamente que el límite cuando \( x\rightarrow{-1} \) por la derecha de \( f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) es \( +\infty \), pero tengo dudas. He hecho lo siguiente:

1- \( \displaystyle\lim_{x \to{x^+_0}}{f(x)}=+\infty\Leftrightarrow{(\forall{N>0}),(\exists{\delta>0}})/(\mbox{Si}\;0<x-x_0<\delta\wedge{x\in{\mbox{Df}}})\Rightarrow{(f(x)>N)} \).

2- He buscado \( \delta \) en función de \( N \). He factorizado:

\( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}} \) debe ser mayor que \( N \)

3- Por hipótesis, \( 0<x-(-1)<\delta \)

\( \Rightarrow{\dfrac{1}{1+x}>\dfrac{1}{\delta}} \)
\( \Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}>\dfrac{1}{\sqrt{\delta}}} \)

Con esto acoto un factor;

4- Falta acotar \( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \); hay que encontrar un \( K>0 \) tal que \( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}>K \)

5- \( 0<x+1<\delta_1=1 \)
\( \Rightarrow{0<x+1<1} \)
\( \Rightarrow{0>-x-1>-1} \)
\( \Rightarrow{2>1-x>1} \)
\( \Rightarrow{\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{1-x}<1} \)
\( \Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{2}}<\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}<1}\Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}>\dfrac{1}{\sqrt{2}}} \)

6- Multiplicamos las desigualdades:

\( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}}>\dfrac{1}{\sqrt{2\delta}}\Rightarrow{\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}>N} \)

7- Haciendo \( \dfrac{1}{\sqrt{2\delta}}=N\Rightarrow{\delta=\dfrac{1}{2N^2}} \)

8- Escogemos \( \delta=\mbox{min}\{1,\dfrac{1}{2N^2}\} \). Y queda probado.

Dudas:

- La hipótesis, ¿es correcta?. ¿El hecho de que haya que restar un \( x_0<0 \) hace que sea incorrecta?
- El dominio de la derivada es \( (-1,1) \). ¿La elección de \( \delta_1 \) es adecuada?
- ¿El razonamiento es correcto?

¡Un saludo!

15
¡Hola, martiniano, franma!

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}1-}{\arcsen x}=\infty \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{-}1+}{\arcsen x}=\infty \)

¿Se expresa así el comportamiento asintótico de \( \arcsin \)? No he llegado aún a ese apartado.

¡Un saludo!

16
Hola, estimado Rincón, tengo un texto y una duda. Cito primero

Citar
Funciones trigonométricas inversas

Las seis funciones trigonométricas son periódicas y, por tanto, no son uno a uno. Sin embargo, tal como hicimos con la función \( x^2 \) en la sección 3.1, podemos restringir sus dominios de forma que las funciones restringidas sean uno a uno e invertibles.

Función inversa del seno (o arcoseno)

Definamos una función \( \mbox{Sen} x \) (nótese la letra mayúscula) como \( \sen x \), restringida de forma que su dominio sea el intervalo \( -\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq {\dfrac{\pi}{2}} \):

DEFINICIÓN 8 La función restringida \( \mbox{Sen} x \)

\( \mbox{Sen} x=\sen x\quad \mbox{si}\;-\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq {\dfrac{\pi}{2}} \)

Como su derivada \( \cos x \) es positiva en el intervalo \( (-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}) \), la función \( \mbox{Sen} x \) es creciente en su dominio, por lo que es una función uno a uno. Su dominio es \( [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] \) y su rango \( [-1,1] \) (véase la Figura 3.17)(*)

Como es uno a uno, \( \mbox{Sen} x \) tiene función inversa que se indica como \( \sen^{-1} \) (o en algunos libros y programas de ordenador como \( \arcsen \), \( \mbox{Arcsen} \) o \( \mbox{asen} \)) y que se denomina función inversa del seno o arcoseno.

DEFINICIÓN 9 La función inversa \( \sen^{-1}x \) o \( \arcsen x \)

\( y=\sen^{-1}x\Leftrightarrow{x=\mbox{Sen}\;y} \)
\( \Leftrightarrow{x=\sen y}\quad\mbox{y}\quad-\dfrac{\pi}{2}\leq y\leq {\dfrac{\pi}{2}} \)

La gráfica de \( \sen^{-1} \) se muestra en la Figura 3.18 (**). Es la reflexión de la gráfica de \( \mbox{Sen} x \) con respecto a la recta \( x=y \). El dominio de \( \sen^{-1} \) es \( [-1,1] \) (el rango de \( \mbox{Sen} \)), y el rango de \( \sen^{-1} \) es \( [-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}] \) (el dominio de \( \mbox{Sen}x \)). Las identidades de cancelación para \( \mbox{Sen} x \) y \( \sen^{-1}x \) son

\( \sen^{-1}(\mbox{Sen}x)=\arcsen (\mbox{Sen}x)=x\quad\mbox{para}\;-\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq {\dfrac{\pi}{2}} \)
\( \mbox{Sen}(\sen^{-1}x)=\mbox{Sen}(\arcsen x)=x\quad\mbox{para}\;-1\leq x\leq 1 \)

(...)

A continuación utilizaremos la diferenciación implícita para calcular la derivada de la función inversa del seno (...)

\( \dfrac{d}{dx}\sen^{-1}x=\dfrac{d}{dx}\arcsen x=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)



Nótese que la función inversa del seno es diferenciable solamente en el intervalo abierto \( (-1,1) \). La pendiente de su gráfica tiende a infinito cuando \( x\rightarrow{-1+} \) o cuando \( x\rightarrow{1-} \) (véase la Figura 3.18 (**))

(*) Gráfica de \( \mbox{Sen}x \), que forma parte de la gráfica de \( \sen x \), entre \( -\pi/2 \) y \( \pi/2 \).
(**) Gráfica de la función arcoseno.


Duda:
- La tendencia a infinito por la izquierda de 1 y por la derecha de -1 de la derivada de arcoseno, ¿cómo se comprueba reparando en la gráfica de arcoseno?
¡Un saludo!


PS: No adjunto gráficas de (*) y (**).

17
¡el_manco, muchas gracias! Vaya lapsus. :banghead: Gracias. Hacía tiempo que no me reía de mí mismo :laugh:. Es de traca lo mío...¡Sigo adelante!

¡Un abrazo!

18
Hola, estimado Rincón

Tengo un texto y una duda. Primero cito, y luego la duda:

Citar

3.4 Crecimiento y decrecimiento

En esta sección estudiaremos el uso de funciones exponenciales para modelar las tasas de crecimiento de cantidades para las que dicha tasa de crecimiento está directamente relacionada con su tamaño. El crecimiento de estas cantidades está generalmente gobernado por ecuaciones diferenciales en cuya solución aparecen funciones exponenciales. Antes de entrar en materia, prepararemos el camino examinando la forma de crecimiento de las funciones exponencial y logarítmica.

Crecimiento de exponenciales y logaritmos

En la sección 3.3 demostramos que tanto \( e^x \) como \( \ln x \) crecen (hacia infinito) cuando \( x \) crece. Sin embargo \( e^x \) aumenta muy rápidamente cuando \( x \) crece, para \( x \) grande, más deprisa que cualquier potencia positiva de \( x \) (no importa lo grande que sea la potencia), mientras que \( \ln x \) crece más lentamente que cualquier potencia positiva de \( x \) (no importa lo pequeña que sea la potencia). Para verificar este comportamiento comenzaremos por una inecuación que cumple \( \ln x \). La recta \( y=x-1 \) es tangente a la curva \( y=\ln x \) en el punto \( (1,0) \). El teorema que sigue afirma que la curva está por debajo de esta recta (véase la Figura 3.14).(*)

TEOREMA 4 Si \( x>0 \), entonces \( \ln x\leq x-1 \)

DEMOSTRACIÓN Sea \( g(x)=\ln x - (x-1) \) para \( x>0 \). Entonces \( g(1)=0 \) y

\( g'(x)=\dfrac{1}{x}-1\begin{cases}{>0}&\text{si}& 0<x<1\\<0 & \text{si}& x>1\end{cases} \)

Como se observó en la sección 2.6, estas inecuaciones implican que \( g \) crece en \( (0,1) \) y decrece en \( (1,\infty) \). Por tanto \( g(x)\leq g(1)=0 \) para todo \( x>0 \) y \( \ln x\leq x-1 \) para esos valores de \( x \)

TEOREMA 5 Propiedades de crecimiento de exp y ln

Si \( a>0 \), entonces

(a) \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\dfrac{x^a}{e^x}}=0 \)

(b) \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\dfrac{\ln x}{x^a}}=0 \)

(c) \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{|x|^a e^x}=0 \)

(d) \( \displaystyle\lim_{x \to{0+}}{x^a \ln x}=0 \)

Cada uno de estos límites hace una afirmación sobre quién "gana" en una competición entre una exponencial o un logaritmo y una potencia. Por ejemplo, en el apartado (a), el denominador \( e^x \) crece cuando \( x\rightarrow{\infty} \), por lo que hace que la fracción \( x^a/e^x \) tienda a 0. Por otra parte, si \( a \) es un número positivo grande, el numerador \( x^a \) también crece y hace que la fracción tienda a infinito. Lo que afirma el apartado (a) es que en esta competición entre la exponencial y la potencia, la exponencial es más fuerte y gana; por tanto, la fracción tiende a 0. La competición del Teorema 5 se puede expresar como sigue:

En una lucha entre una potencia y una exponencial, gana la exponencial.
En una lucha entre una potencia y un logaritmo, gana la potencia

DEMOSTRACIÓN Demostraremos primero el apartado (b). Sea \( x>1 \), \( a>0 \) y sea \( s=a/2 \). Como \( \ln(x^s)=s \ln x \), tenemos que, utilizando el Teorema 4,

\( 0<s\ln x=\ln(x^s)\leq{x^s-1}<x^s \)

Por tanto, \( 0<\ln x<\dfrac{1}{s}x^s \) y, dividiendo por \( x^a=x^{2s} \),

\( 0<\dfrac{\ln x}{x^a}<\dfrac{1}{s}\dfrac{x^s}{x^{2s}}=\dfrac{1}{sx^s} \)

Pero \( 1/(sx^s)\rightarrow{0} \) cuando \( x\rightarrow{\infty} \) (ya que \( s>0) \). Por tanto, por el Teorema del Sandwich

\( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{\dfrac{\ln x}{x^a}}=0 \)


Duda: ¿Por qué \( \ln x\leq x-1\Rightarrow{\ln(x^s)\leq{x^s-1}} \)

Mi intento: Si \( \ln x\leq x-1 \), puedo decir que si multiplico por \( s>0 \) el lado izquierdo de la inecuación, y me queda \( s\ln x\leq sx-s<x^s \)...  ??? No lo veo.

(*) No la adjunto

¡Un saludo!

19
Perfecto, Masacroso, franma, sigo adelante.

¡Un saludo!

20
Unos razonamientos.
Sencillamente perfecto. El álgebra de la que yo afirmaba adolecía el asunto. Luego lo repaso otra vez (son las 4.46 AM), pero creo que perfecto.

¡Un saludo!

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