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Temas - Marcos Castillo

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Cálculo 1 variable / Crecimiento logístico
« en: 24 Julio, 2021, 11:22 am »
Hola

Tengo un texto y unas dudas. Primero cito el texto, y luego las dudas:

Citar
Crecimiento logístico

Pocas cantidades en la naturaleza pueden sostener un crecimiento exponencial durante períodos extensos de tiempo. El crecimiento generalmente estará limitado por restricciones externas. Por ejemplo, supongamos que un pequeño número de conejos (de ambos sexos) se introduce en una pequeña isla donde no había conejos previamente, y donde no existen depredadores que puedan comerse a los conejos. En virtud de su fertilidad natural, el número de conejos podría crecer exponencialmente, pero este crecimiento al final estará limitado por la cantidad de alimento disponible para los conejos. Supongamos que la isla puede proporcionar suficiente alimento para sostener indefinidamente una población de \( L \) conejos. Si hay \( y(t) \) en el instante \( t \), podemos esperar que \( y(t) \) crezca con una velocidad proporcional a \( y(t) \) siempre que  \( y(t) \) sea lo suficientemente pequeño (mucho menor que \( L \)). Un posible modelo para este comportamiento es la ecuación difrerencial

\( \dfrac{dy}{dt}=ky\left({1-\dfrac{y}{L}}\right) \)

que se denomina ecuación logística ya que modela un crecimiento limitado por el suministro de recursos necesarios. Obsérvese que \( dy/dt>0 \) si \( 0<y<L \) y que esta velocidad es pequeña si \( y \) es pequeña (hay pocos conejos para reproducirse) o si \( y \) tiene un valor cercano a \( L \) (hay casi tantos conejos como los recursos disponibles pueden alimentar). Obsérvese también que \( dy/dt<0 \) si \( y>L \). Si hay más animales de los que los recursos pueden alimentar, los conejos mueren con mayor velocidad que nacen. Por supuesto, las poblaciones en estado estacionario \( y=0 \) y \( y=L \) son soluciones de la ecuación logística: en ambos casos \( dy/dt=0 \). En la sección 7.9 examinaremos técnicas para resolver ecuaciones diferenciales como la ecuación logística. Por ahora, invitaremos al lector a verificar por diferenciación que la solución que cumple \( y(0)=y_0 \) es

\( y=\dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}} \)

Me sale un enredo algebraico irreductible:

\( \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{Ly_0^2e^{-kt}kt-L^2y_0kt}{y_0^2+e^{-2kt}L-y_0e^{-2kt}+2y_0L-2y_0^2e^{-kt}} \)

¡Un saludo!

2
Hola, tengo un texto del libro "Cálculo", de Robert A. Adams, Capítulo 3, "Funciones transcendentes", y una duda. Primero cito, y luego la duda:

Citar
En el caso de \( x=1 \) la fórmula dada en el Teorema 6 toma la siguiente forma:

\( e=\displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\left({1+\dfrac{1}{n}}\right)^n} \)

Podemos utilizar esta fórmula para calcular aproximaciones a \( e \), como se muestra en la Tabla 2. Al obtener los números de esta tabla hemos hecho trampa en cierto sentido. Se obtuvieron utilizando la función \( y^x \) en una calculadora científica. Sin embargo, esta función se calcula realmente como \( e^{x\ln y} \).

(...)



Duda: la calculadora científica que yo tengo, Casio fx-82MS, no tiene la función \( y^x \). Es una curiosidad: ¿lo que quiere decir el texto es que cuando se emplea \( y^x \), la calculadora efectúa el cálculo \( e^{x\ln y} \)?

Un saludo

3
Libros / Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial
« en: 15 Julio, 2021, 06:50 am »
Hola, RM

En "Cálculo", de Robert A. Adams, en la sección 3.4, el segundo apartado, "Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial", tengo dos dudas. Primero lo cito:
Citar
Modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial

En muchos procesos naturales intervienen cantidades que crecen o decrecen con una velocidad proporcional a su tamaño. Por ejemplo, la masa de un cultivo de bacterias que crece en un medio que proporciona los nutrientes adecuados crecerá con una velocidad proporcional a dicha masa. El valor de una inversión con interés compuesto crece con una velocidad proporcional a dicho valor. La masa de material radiactivo no descompuesto en una muestra decrece con una velocidad proporcional a dicha masa.

Todos estos fenómenos, y otros que muestran un comportamiento similar, se pueden modelar matemáticamente de la misma forma. Si \( y=y(t) \) indica el valor de una cantidad \( y \) en el instante \( t \), y si \( y \) cambia con una velocidad proporcional a su tamaño, entonces

\( \dfrac{dy}{dt}=ky \)

siendo \( k \) la constante de proporcionalidad. La ecuación anterior se denomina ecuación diferencial de crecimiento o decrecimiento exponencial ya que, para cualquier valor de la constante \( C \), la función \( y=Ce^{kt} \) cumple la ecuación. De hecho, si \( y(t) \) representa cualquier solución de la ecuación diferencial \( y'=ky \), entonces

\( \dfrac{d}{dt}\left({\dfrac{y(t)}{e^{kt}}}\right)=\dfrac{e^{kt}y'(t)-ke^{kt}y(t)}{e^{2kt}}=\dfrac{y'(t)-ky(t)}{e^{kt}}=0\quad\mbox{para todo}\;{t} \)

Entonces \( y(t)/e^{kt}=C \), una constante, e \( y(t)=Ce^{kt} \). Como \( y(0)=Ce^0=C \),

El problema de valor inicial \( \begin{cases}{\dfrac{dy}{dt}=ky}\\y(0)=y_0\end{cases} \) tiene como solución única \( y=y_0e^{kt} \)

Si \( y_0>0 \), entonces \( y(t) \) es una función creciente con \( t \) si \( k>0 \) y es una función decreciente con \( t \) si \( k<0 \). Se dice que la cantidad \( y \) presenta un crecimiento exponencial si \( k>0 \) y un decrecimiento exponencial si \( k<0 \). Véase la figura 3.15.



Figura 3.15 Soluciones del problema del valor inicial \( dy/dt=ky \), \( y(0)=y_0 \) para \( k>0 \), \( k=0 \) y \( k<0 \)

Dudas:
- ¿qué diferencia hay entre \( y \) e \( y(t) \)?
- ¿por qué \( \dfrac{d}{dt}\left({\dfrac{y(t)}{e^{kt}}}\right)=0 \)?
Vamos, que  :banghead:
Un saludo

4
Hola

Tengo un ejercicio resuelto y una duda. Primero cito:

Citar
Ejemplo 7 Calcule el punto crítico de \( y=x^x \)
Solución No se puede diferenciar \( x^x \) tratándolo como una potencia (como \( x^a \)), ya que el exponente varía. Tampoco se puede tratar como una función exponencial (como a^x) porque la base varía. Pero podemos diferenciarlo si lo escribimos primero en términos de la función exponencial \( x^x=x^{x\mbox{ln}\;x} \) y utilizamos después la Regla de la Cadena y la Regla del Producto:

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}e^{x\mbox{ln}\;x}=e^{x\mbox{ln}\;x}\left({\mbox{ln}\;x+x\left({\dfrac{1}{x}}\right)}\right)=x^x(1+\mbox{ln}\;x) \)

\( x^x \) está definida sólo para \( x>0 \) y nunca vale 0 (¿por qué?). Por tanto el punto crítico se produce cuando \( 1+\mbox{ln}\;x=0 \), es decir, \( \mbox{ln}x=-1 \) o \( x=1/e \)


La pregunta es: ¿por qué nunca vale cero?. Se me ocurre que la forma de probarlo es probar la discontinuidad en ese punto; o que no esté definido:

\( x^0=1 \), y \( 0^x=0 \)

Un saludo cordial.

5
Libros / La exponencial y el logaritmo natural
« en: 07 Julio, 2021, 08:44 am »
Hola

En la 6ª edición de "Cálculo", de Robert A. Adams, en la sección 3.3 y siguientes, introduce la exponencial y el logaritmo natural.

Primero aborda el logaritmo natural, y luego las propiedades del logaritmo natural.

Spoiler
DEFINICIÓN 6 Logaritmo natural

Para \( x>0 \), sea el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( \mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln}=\;x\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)
[cerrar]

Citar
Primera duda: ¿lo hace para todo \( x \) real?

En la siguiente página, Teorema 2, "Propiedades del logaritmo natural"

Spoiler
"TEOREMA 2 Propiedades del logaritmo natural

(i)\( \mbox{ln}\;(xy)=\mbox{ln}\;x+\mbox{ln}\;y \)

(ii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{x}{y}}\right )=\mbox{ln}\;x-\mbox{ln}\;y \)

(iii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{1}{x}}\right )=-\mbox{ln}\;x \)

(iv)\( \mbox{ln}\;(x^r)=r\mbox{ln}\;x \)
[cerrar]

Menciona: "Como no deseamos suponer que las exponenciales son continuas (como hicimos en la sección 3.2)", diremos por el momento que (iv) sólo es válido para exponentes \( r \) que sean números racionales, pero no podremos demostrarlo hasta la sección siguiente".

Tres páginas más adelante dice: el Teorema 3(i) indica que \( \mbox{exp}\;r=\mbox{exp}\;(1r)=(\mbox{exp}\;1)^r=e^r \) se cumple para todo número racional \( r \). Realizaremos ahora una observación crucial. Sólo conocemos el significado de \( e^r \) si \( r \) es un número racional (si \( r=m/n \)), entonces \( e^r=\sqrt[n]{e^m} \). Pero \( \mbox{exp}\;x \) está definida para todo \( x \) real, sea racional o no. Como \( e^r=\mbox{exp}\;r \) cuando \( r \) es racional, se puede usar \( \mbox{exp}\;r \) como definición de lo que significa \( e^x \) para cualquier número real \( x \), y no habrá contradicción en el caso de que \( x \) sea racional.

\( e^x=\mbox{exp}\;x\quad\mbox{para todo}\;x\;\mbox{real} \)

Citar
Segunda duda: no entiendo esta observación crucial. He perdido la visión de conjunto. :( ¿Qué significa?

¡Un saludo!

6
Libros / ¿Teorema 3 o Teorema 2?
« en: 06 Julio, 2021, 12:08 am »
Hola Rincón

Tengo la sexta edición del libro de texto "Cálculo", de Robert A. Adams, y veo "Teorema 2" a dos teoremas distintos: Propiedades del logaritmo natural, y Propiedades de la función exponencial. ¿No será una errata, y el segundo, "Propiedades de la función exponencial", es el Teorema 3?. Es en el tercer apartado del Capítulo 3.

Un saludo

7
Cálculo 1 variable / Propiedades de los logaritmos naturales
« en: 04 Julio, 2021, 11:42 pm »
Hola, Rincón, se trata de nuevo de la función \( \mbox{ln}\;x \).

Cito:

Citar
Las dos propiedades \( (d/dx)\mbox{ln}\;x=1/x \) y \( \mbox{ln}\;1=0 \) sirven para determinar completamente la función \( \mbox{ln}\;x \) (esto se deduce del Teorema 13 de la sección 2.6). A partir de estas dos propiedades se puede deducir que \( \mbox{ln}\;x \) cumple las leyes apropiadas de los logaritmos.

Teorema 13
Si una función es constante en un intervalo, entonces su derivada será cero en dicho intervalo. El Teorema del Valor Medio nos permite
demostrar la afirmación recíproca
[cerrar]

TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior del \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos). Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \).
DEMOSTRACIÓN Sea un punto \( x_0 \) de \( I \) y sea \( C=f(x_0) \). Si \( x \) es otro punto de \( I \), entonces el Teorema del Valor Medio dice que debe existir un punto \( c \) entre \( x_0 \) y \( x \) tal que

\( \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(c) \)

El punto \( c \) debe pertenecer a \( I \) porque el intervalo contiene a todos los puntos entre los dos citados, y \( c \) no puede ser un extremo de \( I \) ya que \( c\neq x_0 \) y \( c\neq x \). Como \( f'(c)=0 \) para todos esos puntos \( c \), tenemos que \( f(x)-f(x_0)=0 \) para todo \( x \) en \( I \), y \( f(x)=f(x_0)=C \), como queríamos demostrar.

"TEOREMA 2 Propiedades del logaritmo natural

(i)\( \mbox{ln}\;(xy)=\mbox{ln}\;x+\mbox{ln}\;y \)

(ii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{x}{y}}\right )=\mbox{ln}\;x-\mbox{ln}\;y \)

(iii)\( \mbox{ln}\;\left ({\dfrac{1}{x}}\right )=-\mbox{ln}\;x \)

(iv)\( \mbox{ln}\;(x^r)=r\mbox{ln}\;x \)

Como no deseamos suponer que las exponenciales son continuas (como hicimos en la sección 3.2), diremos por el momento que (iv) sólo es válido para exponentes \( r \) que sean números racionales

DEMOSTRACIÓN Sólo demostraremos el apartado (i), ya que los otros apartados se demuestran por el mismo método. Si \( y>0 \) es una constante, entonces por la Regla de la Cadena,

\( \dfrac{d}{dx}(\mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x)=\dfrac{y}{xy}-\dfrac{1}{x}=0\quad\mbox{para todo}\;x>0 \)

El Teorema 13 de la sección 2.6 indica que \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \) (una constante) para \( x>0 \). Haciendo \( x=1 \) se tiene \( C=\mbox{ln}\;y \) y se deduce la identidad (i)."

Dudas: la aplicación de la Regla de la Cadena; por otra parte, ¿\( y \) por qué es considerada una constante?; y además, ¿por qué el Teorema 13 de la sección 2.6 indica que \( \mbox{ln}\;(xy)-\mbox{ln}\;x=C \) (una constante) para \( x>0 \)?; ¿por qué se hace \( x=1 \)?  :-[

¡Un saludo!

8
Hola, RM

Tengo la siguiente definición de logaritmo natural, y una duda. Cito primero:

Citar
DEFINICIÓN 6 Logaritmo natural

Para \( x>0 \), sea el área de la región plana encerrada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \). La función \( \mbox{ln}\;x \) se define como

\( \mbox{ln}=\;x\begin{cases}{A_x}&\text{si}& x\geq{1}\\-A_x & \text{si}& 0<x<1\end{cases} \)

y se muestra en la Figura 3.9.




La definición implica que \( \mbox{ln}\;1=0 \), que \( \mbox{ln}\;x>0 \) si \( x>1 \), que \( \mbox{ln}\;x<0 \) si \( 0<x<1 \) y que es una función uno a uno. Ahora demostraremos que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \). La demostración de este resultado es similar a la demostración del Teorema Fundamental del Cálculo que proporcionaremos en la sección 5.5

TEOREMA 1 Si \( x>0 \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\dfrac{1}{x} \)

DEMOSTRACIÓN Para \( x>0 \) y \( h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región plana limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \). Corresponde al área sombreada en la Figura 3.10. Comparando esta área con la de los dos rectángulos se puede ver que

\( \dfrac{h}{x+h}<\mbox{area sombreada}=\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x<\dfrac{h}{x} \)

Por tanto, el cociente de Newton de \( \mbox{ln}\;x \) cumple

\( \dfrac{h}{x+h}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x} \)

Haciendo que \( h \) tienda a cero por la derecha, se obtiene (por el Teorema del Sandwich aplicado a límites unilaterales)

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0+}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)





Un argumento similar permite demostrar que si \( 0<x+h<x \), entonces

\( \dfrac{1}{x}<\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)}{h}<\dfrac{1}{x+h} \)

por lo que

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0-}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)

Combinando estos dos límites laterales se obtiene el resultado deseado:

\( \dfrac{d}{dx}\mbox{ln}\;x=\displaystyle\lim_{h \to{}0}{\dfrac{\mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x}{h}}=\dfrac{1}{x} \)


Duda: ¿es a partir de la definición de logaritmo natural la demostración de que si \( y=\mbox{ln}\;x \), entonces \( y'=1/x \)? En ese caso tendría una duda que no sé concretar muy bien: ¿cómo sabe que \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \) es el área de la región limitada por la curva \( y=1/t \), el eje \( t \) y las rectas verticales \( t=1 \) y \( t=x \)?. Distingo tres casos:

1- para \( 1>x>0 \) y \( 1>h>0 \), a partir de la definición, el área de la región limitada por \( y=1/t \), \( y=0 \), y las rectas verticales \( t=x \) y \( t=x+h \), sería \( -(\mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x) \);

2- para \( x>1 \) y \( 1>h>0 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)-\mbox{ln}\;x \);

3- para \( x>1 \) y \( h>1 \), \( \mbox{ln}\;(x+h)+\mbox{ln}\;x \).

¡Un saludo!

9
Temas de Física / Satélites artificiales y caída libre
« en: 24 Junio, 2021, 01:00 pm »
Hola

Según la órbita que describen, se distinguen tres tipos de satélites artificiales:

LEO Órbita baja terrestre: son satélites de órbita baja. Están a una altura de 700 a 1400 km y tienen un período orbital de 80 a 150 min;

MEO Órbita media terrestre. Es de órbita mediana rota de 9000 a 20000 km tienen un período orbital de 10 a 14 horas. También se conocen como órbitas circular intermedia

GEO Órbita geoestacionaria. Es una órbita a una altura de 35786 km sobre el ecuador terrestre. Tiene un período orbital de 24 horas, permaneciendo siempre sobre el mismo lugar de la Tierra.

La duda es: ¿todos ellos se encuentran en caída libre?

¡Un saludo!

10
Hola, estimado Rincón

En un ejercicio de cálculo me he encontrado con una frase que creo que puedo sacar de contexto y citar

Citar
La velocidad es continua para todo \( t \), por lo que, de acuerdo con el Teorema del Valor Medio, su signo es constante en los intervalos entre los puntos en los que vale 0.

Cito también los dos teoremas

Citar

Teorema del Valor Medio

Sea una función \( F \) continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \), y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que

\( \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

Teorema del Valor Intermedio

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \) y \( s \) es un número real comprendido entre los números \( f(a) \) y \( f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \)


La función es \( v=6t^2-30t+24 \), correspondiente a la velocidad en función del tiempo de un punto \( P \) que se mueve por el eje \( x \).

La duda es sobre la cita primera: ¿Por qué el Teorema del Valor Medio implica signo constante en los intervalos entre los que que vale 0?¿Y por qué no el Teorema del Valor Intermedio?

Básicamente el Teorema del Valor Intermedio afirma que una función continua en un intervalo \( [a,b] \) toma todos los valores comprendidos entre \( f(a) \) y \( f(b) \). Así que creo que así sí entiendo la cita; el Teorema del Valor Medio es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto. Y aquí dudo, pero tengo la sensación de que es igual de válido.

¡Un saludo!

11
Cálculo 1 variable / Problema de valor inicial
« en: 16 Junio, 2021, 02:15 pm »
Hola

Tengo un ejercicio resuelto ilustrativo y una cuestión teórica

Citar
Ejemplo 7 Resuelva el problema de valor inicial

\( \begin{cases}{y'=\dfrac{3+2x^2}{x^2}}\\y(-2)=1 \end{cases} \)

¿Dónde es válida la solución?

Solución

\( y=\displaystyle\int \left ({\dfrac{3}{x^2}+2}\right )dx=-\dfrac{3}{x}+2x+C \)

\( 1=y(-2)=\dfrac{3}{2}-4+C \)

Por tanto, \( C=\dfrac{7}{2} \) y

\( y=-\dfrac{3}{x}+2x+\dfrac{7}{2} \)

Aunque la solución parece estar definida para todo valor de \( x \) excepto el 0, el PVI sólo tiene solución para \( x<0 \). Esto se debe a que \( (-\infty,0) \) es el mayor intervalo que contiene al punto inicial -2 pero no \( x=0 \), donde la \( y \) está indefinida

Cito el texto de la cuestión teórica:

Citar

El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. La ED del ejemplo 5 (\( x^2y''-xy'-3y=0 \)) es de segundo orden ya que en ella interviene \( y'' \), y no hay derivadas de \( y \) de orden superior. Nótese que en la solución que se ha verificado en el ejemplo 5 intervienen dos constantes arbitrarias, \( A \) y \( B \). Esta solución se denomina solución general de la ecuación, ya que se puede demostrar que cualquier solución es de esta forma, dando valores concretos a las constantes \( A \) y \( B \). Se obtiene una solución particular de la ecuación asignando valores concretos a esas constantes. En la solución general de una ecuación diferencial de orden \( n \) aparecen \( n \) constantes arbitrarias.
Un problema de valor inicial (PVI) está formado por:

(a) una ecuación diferencial (para resolverla encontrando una función desconocida) y
(b) valores de la solución y de un número suficiente de sus derivadas en un punto determinado (el punto inicial) para determinar los valores de todas las constantes arbitrarias en la solución general de la ED y obtener, así, una solución particular.

Observación Es habitual utilizar el mismo símbolo, por ejemplo \( y \), para indicar la variable independiente y la función solución de una ED o de un PVI. Es decir, la función solución se denominará \( y=y(x) \), en vez de \( y=f(x) \).

Observación La solución de un PVI es válida en el máximo intervalo que contenga a los puntos iniciales donde se define la función solución.


Es esta última observación: no entiendo por qué la solución es válida en el máximo intervalo que contenga al punto inicial.

¡Un saludo!

12
Cálculo 1 variable / Primitivas e intervalos
« en: 14 Junio, 2021, 01:22 pm »
Hola, tengo un texto y dos dudas. Primero cito:


Citar
PRIMITIVAS

Comenzaremos por definir la primitiva de una función \( f \) como una función \( F \) cuya derivada es \( f \). Es apropiado requerir que \( F'(x)=f(x) \) en un intervalo.

DEFINICIÓN 7

La primitiva de una función \( f \) en un intervalo \( I \) es otra función \( F \) que cumple
\( F'(x)=f(x) \) para \( x \) en \( I \)

Las primitivas no son únicas. De hecho si \( C \) es una constante, entonces \( F(x)=x+C \) es una primitiva de \( f(x)=1 \) en cualquier intervalo. Siempre se puede añadir una constante a la primitiva \( F \) de una función \( f \) en un intervalo y obtener otra derivada de \( f \). Lo que es más importante, todas las primitivas de \( f \) en un intervalo se pueden obtener sumando constantes a una primitiva concreta. Si \( F \) y \( G \) son primitivas de \( f \) en un determinado intervalo \( I \), entonces

\( \dfrac{d}{dx}(G(x)-F(x))=f(x)-f(x)=0 \)

en dicho intervalo \( I \), de forma que \( G(x)-F(x)=C \) (una constante) en \( I \) por el Teorema 13 de la sección 2.6.

Spoiler
TEOREMA 13 Sea \( f \) una función continua en un intervalo \( I \), y sea \( f'(x)=0 \) en todo punto del interior de \( I \) (es decir, en todo punto de \( I \) excepto en sus extremos. Entonces \( f(x)=C \), una constante, en \( I \)
[cerrar]

Por tanto, \( G(x)=F(x)+C \) en \( I \).

Nótese que ni esta conclusión ni el Teorema 13 son válidos en un conjunto que no sea un intervalo. Por ejemplo la derivada de

\( \mbox{sgn}\;x=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Es 0 para todo \( x\neq 0 \), pero \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio.

Es el razonamiento de por qué debe ser un intervalo:

\( \mbox{sgn}\;x=\dfrac{d|x|}{dx}=\begin{cases}{-1}&\text{si}& x<0\\1 & \text{si}& x>0\end{cases} \)

Citar
Es 0 para todo \( x\neq 0 \)

Aquí está la clave de mi duda: si es 0 para todo \( x\neq 0 \), ya no es un intervalo. El razonamiento queda: "No debe ser un intervalo, porque no es un intervalo, pero  \( \mbox{sgn}\;x \) no es constante para todo \( x\neq 0 \), sino que tiene valores constantes diferentes en los dos intervalos \( (-\infty,0) \) y \( (0,\infty) \) que forman su dominio."

Vamos, que algo se me escapa, y no sé qué.

Un saludo

13
Hola, Rincón

Citar

Otra interpretación de la ecuación paramétrica \( X=A+\lambda\mathbf v \) es que el vector \( \vec {AX} \) depende linealmente del vector \( \mathbf v \). Por tanto

\( \mbox{det}(\vec{AX},\mathbf v)=\begin{pmatrix}{x_1-a_1}&{x_2-a_2}\\{v_1}&{v_2}\end{pmatrix}=0 \)

Desarrollando

\( v_2(x_1-a_1)+(-v_1)(x_2-a_2)=0 \)

o sea

\( v_2x_1+(-v_1)x_2+(v_1a_2-v_2a_1)=0 \)

Todas las rectas tienen una ecuación que se puede reducir a la forma general o implícita

\( Ax_1+Bx_2+C=0 \)

Siendo los números \( A \) y \( B \) no ambos nulos.

Si el sistema de referencia es cartesiano, el vector formado por los coeficientes de las variables \( x_1 \) y \( x_2 \) en la ecuación general es \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \), que es ortogonal al vector de dirección.




¿Cómo doy encaje a la imagen? Yo dibujo \( \mathbf n=(v_2,-v_1) \) y me sale ortogonal, pero en sentido contrario al de la imagen, que indica \( \mathbf n=(A,B) \)

Un saludo

14
Hola, estimado Rincón, me encuentro con algo que creía que dominaba, pero no:

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=0 \)

Utilizando las propiedades de los determinantes se tiene que

\( \begin{vmatrix}{x_1-b_1}&{x_2-b_2}\\{a_1-b_1}&{a_2-b_2}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{x_1}&{x_2}&{1}\\{a_1}&{a_2}&{1}\\{b_1}&{b_2}&{1}\end{vmatrix} \)

¿Cuáles son las transformaciones elementales?

¡Un saludo!

15
Cálculo 1 variable / Diferenciación implícita
« en: 04 Junio, 2021, 10:58 am »
Hola, RM

Aquí estoy de nuevo. Es un ejercicio concreto ya solucionado. Lo cito:

Citar

Diferenciación implícita

(...)

Las curvas son generalmente ecuaciones en dos variables. Estas ecuaciones se pueden expresar en la forma

\( F(x,y)=0 \)

Ejemplo 1

Calcule \( dy/dx \) si \( y^2=x \)

Solución: La ecuación no es una función, pero podemos enfocarla como dos funciones diferenciables de \( x \): \( y_1=\sqrt{x} \) e \( y_2=-\sqrt{x} \):

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) y \( \dfrac{dy_2}{dx}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Sin embargo, es posible obtener la pendiente de la curva \( y^2=x \) en cualquier punto \( (x,y) \) que cumpla la ecuación sin despejar previamente \( y \). Para calcular \( dy/dx \) simplemente se diferencian con respecto a \( x \) los dos miembros de la ecuación \( y^2=x \) tratando \( y \) como una función diferenciable de \( x \) y utilizando la Regla de la Cadena para diferenciar \( y^2 \):

\( \dfrac{d}{dx}(y^2)=\dfrac{d}{dx}(x) \)\( \left ({\mbox{La Regla de la Cadena da}}\dfrac{d}{dx}y^2=2y\dfrac{dy}{dx}\right ) \)

\( 2y\dfrac{dy}{dx}=1 \)

\( \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2y} \)

Obsérvese que esto coincide con las derivadas calculadas anteriormente para ambas soluciones explícitas

\( \dfrac{dy_1}{dx}=\dfrac{1}{2y_1}=\dfrac{1}{2\sqrt x} \)    y    \( \dfrac{dy_2}{dx}=\dfrac{dy}{2y_2}=\dfrac{1}{2(-\sqrt x)}=-\dfrac{1}{2\sqrt x} \)
"

Duda: La regla de la cadena dice: \( (f\circ{g})'=(f'\circ{g})\cdot g' \)

Es decir, \( f\circ g=y^2 \), osea, \( f(g(x))=y^2 \). ¿Cuál es \( f \) y cuál \( g \) en este caso?

¿Cómo puedo hallar la pendiente de \( y^2-x=0 \) en base a la derivada implícita en un punto de la ecuación?. Por ejemplo, en \( Q=(2,-\sqrt 2) \)

¡Un saludo!

16
Hola, ¿qué tal?. Tengo un texto y al final me ha surgido una duda. Primero el texto y luego la duda:

"Derivadas en economía

Del mismo modo que los físicos utilizan los términos de velocidad y aceleración para referirse a las derivadas de ciertas cantidades, los economistas también tienen su vocabulario especializado para denominar a las derivadas. Las denominan marginales. En economía el término marginal se refiere a la velocidad o tasa de cambio de una cantidad con respecto a la variable de la que depende. Por ejemplo, el coste de producción \( C(x) \) en una operación de fabricación es función de \( x \), el número de unidades de producto producidas. El coste marginal de producción es la velocidad de cambio de \( C \) con respecto de \( x \), y por tanto es \( dC/dx \). Algunas veces el coste marginal de producción corresponde aproximadamente al coste extra de producir una unidad más, es decir,

\( \Delta{C}=C(x+1)-C(x) \)

Para ver por qué esto es aproximadamente correcto, observemos en la Figura 2.32 que si la pendiente de \( C=C(x) \) no varía muy rápidamente cerca de \( x \), entonces el cociente de incrementos \( \Delta{C}/\Delta{x} \) tomará un valor próximo a su límite, la derivada \( dC/dx \), incluso cuando \( \Delta{x}=1 \).



Ejemplo 5 (Tasas marginales de impuestos). Si la tasa marginal de impuestos sobre ingresos es del 35% y los ingresos crecen en 1000 Euros, habrá que pagar unos 350 Euros extras en impuestos. Significa que en el nivel de ingresos actual \( l \), la tasa de incremento de de los impuestos \( T \) con respecto a los ingresos es \( dT/dl=0,35 \). Es decir, se pagan 0,35 Euros de impuestos por cada euro extra que se ingresa. Por supuesto, si el nivel de ingresos aumenta mucho, puede pasarse a otro segmento impositivo y aumentar las tasas marginales.

Ejemplo 6 (Coste marginal de producción) El coste de producir \( x \) toneladas de carbón por día en una mina es \( C(x) \) Euros, siendo

\( C(x)=4200+3.40x-0.001x^2+0.000002x^3 \)

(a) ¿Cuál es el coste medio de producir cada tonelada si el nivel diario de producción es de 1000 toneladas? ¿Y si es de 2000 toneladas?

(b) Calcule el coste marginal de producción diaria es de 1000 toneladas y de 2000 toneladas.

(c) Si el nivel de producción crece ligeramente de las 1000 toneladas o de las 2000 toneladas, ¿qué sucederá con el coste medio por tonelada?

Solución

(a) El coste medio por tonelada de carbón es

\( \dfrac{C(x)}{x}=\dfrac{4200}{x}+5.40-0,001x+0.000002x^2 \)

Si \( x=1000 \), el coste medio por tonelada es de \( C(1000)/1000=10.6/\mbox{ton} \). Si \( x=2000 \), el coste medio por tonelada es de \( C(2000)/2000=13.5\;\mbox{E/ton} \).

(b) El coste marginal de producción es

\( C'(x)=5.40-0.002x+0.000006x^2 \)

Si \( x=1000 \), el coste marginal es de \( C'(1000)=9.4/\mbox{ton} \). Si \( x=2000 \), el coste marginal es de \( C'(2000)=25.4\;\mbox{E/ton} \).

(c) Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste medio por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio. En \( x=2000 \) ocurre lo contrario. Un incremento en la producción aumentará el coste medio por tonelada."

Dudas:

Voy a hablar, a ver si es correcto:

En el ejemplo 5, la tasa es \( dT/dl\cdot 100 \), porque para ángulos pequeños, \( \tan \alpha \approx \alpha \)

En relación al párrafo (c) último de la cita. Me centro en la primera frase: "Si el nivel de producción se incrementa ligeramente por encima de \( x=1000 \), entonces disminuirá el coste por tonelada, ya que el coste crece con una tasa menor que el coste medio."

He dibujado con Geogebra \( C(x) \), y he visto que las pendientes cerca de \( x=1000 \) son muy pronunciadas. No sirve la fórmula \( dC/dx \cdot 100 \). Hallo el arcotangente de 9,4/ton, que es 83,92º, y esa es la tasa marginal de costes en \( x=1000 \): 83,92%

¿El criterio de la segunda derivada no sería más rápido?: \( C''(1000)=0,118>0 \), y por lo tanto es un mínimo local en ese intervalo (¿qué intervalo?, me pregunto)....Pero no, porque \( C''(2000)=0,24 \)...

¡Un saludo!

17
Hola, estimado RM

En el hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116334.0 me surgió una duda: probar la derivabilidad de \( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in \mathbb Q\\6(x-3)+9 & \text{si}& x\in \mathbb R \setminus \mathbb Q\end{cases} \)  sólo en el punto \( x=3 \). Y tuve la tentación de preguntarlo en el mismo hilo, pero me frenaron las ideas de estar resultando pesado y la incógnita de si abrir un nuevo hilo. Así que cogí el diccionario de inglés y publiqué en Physics Forums.

Allí, igual que en RM, dan pistas: revisar el concepto de continuidad en un punto, diferenciabilidad, implicación de la continuidad de una función en un punto a partir de la derivabilidad...

La pregunta es: ¿podría iniciar un hilo en RM, con un enlace al hilo que inicié en PF, y trabajar "a dos bandas"?; es decir, plantear en RM las dudas que me han ido surgiendo en torno al debate de PF, y compartir las ideas, con el objetivo de solucionar la cuestión.

El motivo es que el inglés no es mi lengua nativa, y he llegado a un punto en el que me he dado cuenta mis lagunas. Además, el hilo ha entrado en un terreno desconocido para mí: el de las sucesiones. Google, Wikipedia, la red,... lo he intentado, pero no me aportan pistas, ni en inglés ni en castellano.

¡Un saludo!

18
Cálculo 1 variable / ¿Función creciente en un intervalo, o no?
« en: 28 Marzo, 2021, 05:40 am »
Hola, qué tal, RM

Tengo un texto que me desconcierta. Creo que hay dos erratas. Lo escribo, y intercalo las dudas:

"TEOREMA 12 Sea \( J \) un intervalo abierto, y sea \( I \) un intervalo que contiene a todos los puntos de \( J \), y posiblemente uno de sus extremos, o ambos. Sea \( f \) una función continua en \( I \) y diferenciable en \( J \).

(a) Si \( f'(x)>0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es creciente en \( I \).

(b) Si \( f'(x)<0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es decreciente en \( I \).

(c) Si \( f'(x)\geq 0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es no decreciente en \( I \).

(d) Si \( f'(x)\leq 0 \) para todo \( x \) perteneciente a \( J \), entonces \( f \) es no creciente en \( I \).

(...)

Observación A pesar de lo que dice el Teorema 12, \( f'(x_0)>0 \) en un solo punto \( x_0 \) no implica que la función sea creciente en cualquier intervalo que contenga a \( x_0 \). Véase el Ejercicio 20 al final de esta sección, donde se presenta un contraejemplo."

Primera duda: el Teorema 12 no afirma que si  \( f'(x_0)>0 \) en un solo punto \( x_0 \), eso implique que la función sea creciente en cualquier intervalo que contenga a \( x_0 \).

El texto llega al ejercicio que creo que menciona:

"*20. Sea \(  f(x) = \left \{ \begin{matrix} x+2x^2\sin{(1/x)} & \mbox{si }\;x\neq \color{red}0
\\ 0 & \mbox{si }\;x=0\end{matrix}\right. \)

(a) Demuestre que \( f'(0)=1 \) (Sugerencia:Utilice la definición de derivada)

(b) Demuestre que todo intervalo que contenga a \( x=0 \) contiene también puntos en los que \( f'(x)<0 \), por lo que \( f \) no puede se creciente en ese intervalo."

Duda: he dibujado la función y su derivada en Geogebra, y la función es creciente en un entorno próximo a \( x_0=0 \)



Mi conclusión personal: esto no es un contraejemplo del Teorema 12. Es un enriquecedor apunte. Pero no sé si estoy metiendo la pata: he usado Geogebra, y se trata de una impresión visual. No he hecho ningún cálculo, como sugiere el libro.

¡Un saludo!

19
Cálculo 1 variable / Continuidad de la función compuesta
« en: 21 Marzo, 2021, 09:48 pm »
Hola

El concepto de continuidad de la composición se me resiste en relación al hilo

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116229.0, titulado "Demostración de la Regla de la Cadena".


No me entusiasma de todo la notación usada por el libro, porque \( k \) depende de \( h \); al denotarlo con una letra sin más uno olvida esa relación y eso te está despistando.

Entonces:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))} \)

Y ahí se usan dos cosas:

- Por ser \( g \) continua en \( x \) se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}g(x+h)=g(x) \).
- Lo anterior unido al hecho de que \( \displaystyle\lim_{z \to{0}}{E(z)=0} \) sirve pare concluir que:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)



Me lío con la \( z \) como variable :-[ ¿Cómo se llega a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(k)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g(x+h)-g(x))}=0 \)?.

En general:

si \( \displaystyle\lim_{x \to a}{}f(x)=L  \) y \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}g(x)=a \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to b}{}f(g(x))=L  \)

O en otra versión equivalente si \( f(x) \) es continua en \( a \) y \( g(x) \) es continua en \( b \) y \( g(b)=a \) entonces la función compuesta \( (f\circ g)(x) \) es continua en \( b \).

O dicho de una tercera forma: la composición de funciones continuas es continua.

Esto te lo tienen que haber demostrado antes de ir con la regla de la cadena.


Dudas: no es lo mismo el concepto de límite y el concepto de derivada. Por otra parte, hay tres variables independientes, \( z \), \( k \), y \( x \).

Cómo lo soluciono:

La ley de composición establece que si \( f(x)=g(h(x)) \)

-\( h \) es continua en \( x=a \) y

-\( g \) es continua en \( h(a) \)

entonces \( f \) es continua en \( x=a \)

En base a esta definición, hago lo siguiente.

1- \( g \) es continua en todo su dominio.

2- \( E \) es continua en \( z=0 \). Puedo llamar \( x \) a \( z \), por ser una variable independiente.

3- \( E(g) \) es continua en \( x=0 \)

\( \therefore{\displaystyle\lim_{x \to{0}}{E(g)}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{E(g)}}=0 \)

Es decir, en este caso el concepto de límite coincide con el de derivada.

¿Correcto?.

¡Un saludo!

20
Cálculo 1 variable / Demostración de la Regla de la Cadena
« en: 15 Marzo, 2021, 06:13 am »
Hola, estimado RM

Tengo un texto, y algunas dudas. Primero el texto, y luego las dudas:

"Demostración de la Regla de la Cadena (Teorema 6)

Sea \( f \) una función derivable en el punto \( u=g(x) \) con \( g \) una función derivable en \( x \). Sea la función \( E(k) \) definida así:

                                          \( E(0)=0 \)

                                          \( E(k)=\dfrac{f(u+k)-f(u)}{k}-f'(u) \),   si \( k\neq 0 \)

Por definición de derivada, \( \lim_{k \to{0}}{E(k)=f'(u)-f'(u)=0=E(0)} \), por lo que \( E(k) \) es continua en \( k=0 \). Además, sea \( k=0 \) o no, tenemos que

                                         \( f(u+k)-f(u)=(f'(u)+E(k))k \)

Sea ahora \( u=g(x) \) y \( k=g(x+h)-g(x) \), de forma que \( u+k=g(x+h) \), con lo que se obtiene

                                         \( f(g(x+h))-f(g(x))=(f'g(x)+E(k))(g(x+h)-g(x)) \)

Como \( g \) es diferenciable en \( x \), \( \lim_{h \to{0}}{[g(x+h)-g(x)]/h=g'(x)} \). Además, \( g \) es continua en \( x \) por el Teorema 1

Spoiler

TEOREMA 1 Ser diferenciable implica ser continua

Si \( f \) es diferenciable en \( x \), sabemos que existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x) \)

Utilizando las reglas de los límites (Teorema 2 de la sección 1.2),

Spoiler
TEOREMA 2 Reglas para los límites

Si \( \lim_{x \to {a}}{f(x)}=L \), \( \lim_{x \to {a}}{g(x)}=M \), y \( k \) es una constante, entonces

1. Límite de la suma: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)+g(x)]}=L+M \)

2. Límite de una diferencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)-g(x)]}=L-M \)

3. Límite de un producto: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f(x)g(x)}=LM \)

4. Límite de una multiplicación por una constante: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{kf(x)}=kL \)

5. Límite de un cociente: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\dfrac{L}{M} \), si \( M\neq 0 \)

Si \( m \) es un entero y \( n \) un entero positivo, entonces

6. Límite de una potencia: \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{[f(x)^{m/n}]}=L^{m/n} \) siempre que \( L>0 \) cuando \( n \) sea par, y \( L\neq 0 \) si \( m<0 \)

Si \( f(x)\leq{g(x)} \) en un intervalo que contiene a \( a \) en su interior, entonces

7. Conservación del orden \( L\leq{M} \)

[cerrar]

tenemos que

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f(x+h)-f(x))}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\left ({\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\right )(h)}=(f'(x))(0)=0 \)

Esto es equivalente a \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{f(x+h)}=f(x) \), lo que indica que \( f \) es continua en \( x \).
[cerrar]

por lo que \( \lim_{h \to{0}}{k}=\lim_{h \to{0}}{(g(x+h)-g(x))=0} \). Como \( E \) es continua en 0, \( \lim_{h \to{0}}{E(k)}=\lim_{k \to{0}}{E(k)}=E(0)=0 \). Por tanto,

                                                     \( \dfrac{d}{dx}f(g(x))=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}} \) 

                                                                       \( =\displaystyle\lim_{h \to{0}}{(f'(g(x))+E(k))\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}} \)

                                                                       \( =(f'(g(x))+0)g'(x)=f'(g(x))g'(x) \)

como se quería demostrar.

¿Por qué es necesario recordar la continuidad de \( g \) en \( x \)? Pienso que es para saber que la derivada de una función compuesta es también continua

\( \lim_{h \to{0}}{E(k)} \), ¿no es igual a \( E(k) \)?

¡Un saludo!

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