Hola.

Hace unas semanas, mientras hacía con un chico un ejercicio de ecuaciones diferenciales, me di cuenta de que existe una costumbre bastante extendida y que puede resultar confusa.

Estábamos resolviendo una EDO sencilla cuyo enunciado no recuerdo pero que para el caso podría ser \[ y'=\displaystyle\frac{1}{x} \] y ante la que yo escribí \[ y=\ln x +C \]. El chico me preguntó si debía escribir la \[ x \] entre valores absolutos, y yo le dije que en realidad la solución que yo había escrito sólo tenía sentido si el dato inicial que nos dan tiene abcisa positiva, en otro caso la solución sería del tipo \[ y=\ln( - x) +C \]. Él insistió en que su profesor utiliza ahí el valor absoluto indiscriminadamente e intentamos buscarle un sentido a eso. Ciertamente, utilizar el logaritmo del valor absoluto de una función en este tipo de problemas es una costumbre bastante extendida y llegamos a la conclusión de que en muchos de los casos puede resultar confuso hacerlo.

El diálogo entre él y yo acabó derivando en un interrogante sobre situaciones en las que, ante un problema de búsqueda de primitivas, se suelen escribir resultados del tipo

\[ \displaystyle\int\displaystyle\frac{dx}{x}=\ln |x|+C \].

Supongo que no soy el primero que se ha encontrado con expresiones así. Yo la primera vez que vi algo así entendí que lo que se quería decir es que tanto la derivada de \[ \ln x \] como la de \[ \ln(-x)  \] coinciden con la función que nos dan en sus respectivos dominios y utilizar ahí el valor absoluto permitía dar, de una manera elegante, una función cuya derivada coincidiese con la dada en todos los puntos de su dominio. Pero, ¿qué se supone que nos están pidiendo cuando nos preguntan por el miembro y izquierdo y qué se pretende decir con el miembro derecho?

En un principio, podríamos pensar que el problema de buscar la primitiva de una función consiste en dar todas las funciones cuya derivada coincide con la función que nos dan en los puntos en los que está definida. En este caso el miembro derecho no representa con exactitud la solución al problema, ya que funciones como por ejemplo:

\[ f(x) =\begin{cases}{\ln(-x) }&\text{si}& x<0\\ 1+\ln x& \text{si}& x>0\end{cases} \]

Cumplen la condición del problema pero no están representadas en la solución aportada.

Por otro lado, también podría considerarse el problema de hallar las funciones cuya derivada coincidiese con la función dada en todos los puntos de un cierto entorno de un punto \[ x_0 \] dado. Parece que en el contexto de las EDOS esta segunda interpretación tiene más sentido dado el interés que tiene en la teoría el problema de valor inicial. En ese caso la solución sería:

\[ f(x) = \ln(x) +C \] si \[ x_0>0 \]

Y

\[ f(x) = \ln(-x) +C \] si \[ x_0<0 \]

En cualquier caso, la expresión del valor absoluto me está empezando a parecer desafortunada.

¿Qué opináis al respecto?

Gracias, y saludos.

Hola.

Me he encontrado con este código en C (puro y duro, sin el ++) que escribí hace años y que pretende implementar el algoritmo de Dijkstra y el de Floyd. El programilla no tiene mucho interés, más que nada es una curiosidad y algo a lo que le tengo cariño porque empecé a estudiar grafos y programación más o menos a la vez y, bueno... Pues esto es una de las cosas que salió en aquel entonces... Recuerdo que la idea era ir metiéndole otros algoritmos, pero finalmente así se quedó. Tal vez algún día lo actualice.

Lo subo por si le viene bien a alguien y para tener una copia por aquí, que estas cosas digitales al final uno las va perdiendo con facilidad.

Un saludo.

Hola.

Abro un hilo aquí para comentar algo sobre un tema que está intentando introducir el usuario César Burguete Cortés en varios hilos. Se trata de esto:

Asunto: la aleatoriedad. Concretando (cuidao con la cuestión que, quizá, tiene tela) ... mmm ... Dejando aparte (si se puede) que la aleatoriedad sea o no imposible, o centrándonos en los generadores de números aleatorios, ¿es posible, según los métodos de control actuales, que un sistema aparentemente aleatorio, p.ej. el usado por las casas de poker, pase los controles legales, PERO sin embargo mantenga tendencias o querencias que puedan ser usadas para ciertos propósitos concretos?

DICHO DE OTRA forma. Dado que no podemos generar series de números absolutamente aleatorias. ¿Puede ser que un generador pase los controles científicos de suficiencia, y sin embargo el creador de tal generador mantenga un cierto control sobre algunas características ocultas, en la serie generada?

No sé si esto contesta exactamente a la pregunta que planteas, ya que no tengo mucha idea de cómo funcionan esos "controles científicos de suficiencia" pero parece que es algo relacionado con un ejemplo que suelo poner yo cuando explico la contrastación de hipótesis. Lo pongo por si sirve. Aprovecho para recrearme un poco, así rompemos un poco la rutina. 

Va la profesora de matemáticas y le pide a sus alumnos

-A ver, que cada uno de vosotros lance una moneda 20 veces al aire. Anotad los resultados en el orden que os salgan y me lo entregáis (a partir de ahora C significa cara y X significa cruz).

Va Jaimito y piensa:

-Buff... Lanzar una moneda 20 veces... Demasiado trabajo. Se la voy a dar con queso...

Y entrega la siguiente secuencia: CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC. La profesora le responde

-Jaimitooo. ¿Seguro que te ha salido esto de forma aleatoria? A ver... Mírame a los ojos...

Jaimito, atónito ante las habilidades ocultas de su profesora le confiesa:

-Me lo he inventado todo, profe. ¿Cómo te has dado cuenta?

-Hombre, pues porque es muuuy difícil que te hayan salido los 20 resultados iguales. La probabilidad de que eso pase es de \[ \displaystyle\frac{1}{2^{19}} \], muy baja, ¿no te parece?

Jaimito, en otro intento de burlar el control de calidad de la profesora entrega la secuencia: CCCCCCCCCCXXXXXXXXXX. A lo que la profesora le recrimina:

-Jaimitooooo...

-¿Sí?

-Ya está bien, ¿no te parece?

-Y ahora ¿qué pasa? He obtenido exactamente 10 resultados de cada tipo.

-Sí pero llama mucho la atención que te hayan salido 10 resultados iguales seguidos y luego otros 10 resultados iguales seguidos. La probabilidad de que eso pase es \[ \displaystyle\frac{1}{2^{18}} \]. Un poco sospechoso, ¿no?

Jaimito vuelve a las andadas y entrega: CXCXCXCXCXCXCXCXCXCX. La profesora, ya un poco harta de tanto vacile.

-¡Jaimito!

-¿Y ahora qué pasa?

-Pues mira. La probabilidad de que obtener un resultado diferente al anterior es \[ \displaystyle\frac{1}{2} \], por lo que se espera que al tirar 20 veces la moneda el resultado cambie unas 10 veces. Sin embargo, en tu secuencia el resultado ha cambiado las 19 veces que podía hacerlo. La probabilidad de que pase eso vuelve a ser bajísima, de \[ \displaystyle\frac{1}{2^{19}} \]. No puede ser.

El siguiente intento de Jaimito fue CCXXCCXXCCXXCCXXCCXX. Y los intentos de Jaimito de burlar a la profe y a cada uno de sus criterios de aleatoriedad se fueron sucediendo, así como las réplicas de la profesora contra el cada vez más desalentado Jaimito al que se le llegó a pasar incluso alguna vez por la cabeza lo de tirar las 20 monedas. Al darse cuenta de que estaba perdiendo facultades exclamó:

-A ver profe. ¿Hay alguna manera de hacer que la secuencia parezca aleatoria y en realidad no lo sea?

-Pues hombre, para que parezca aleatoria tiene que ser verosímil que el resultado que entregues haya sido aleatorio. Si se da un suceso tan poco probable como los que te he comentado, pues es un canteo.

La profesora, que antes de fraile fue monaguillo, le dice:

-Mira. Por ejemplo, si me entregas algo así como lo siguiente no tendré argumentos para no aceptártelo: CCXCCXXCXXXCXXXXCXCC.

Jaimito, cuya facilidad para darle la vuelta a la tortilla es mundialmente conocida le dice:

-Anda. Pues si está claro que esa secuencia no es aleatoria. La probabilidad de que ocurra el suceso "obtener CCXCCXXCXXXCXXXXCXCC" es \[ \displaystyle\frac{1}{2^{20}} \], la más baja de todos los sucesos que hemos comentado hasta ahora.

Un saludo.

Hola.

Sean \( c_1 \) y \( c_2 \) dos cónicas dadas. Demostrar que los polos de las rectas tangentes a \( c_1 \) con respecto a \( c_2 \) están sobre una tercera cónica.


En el dibujo las cónicas \( c_1 \) y \( c_2 \) vienen definidas a partir de cinco de sus puntos, \( X_1,...,X_5 \) para \( c_1 \) y \( Y_1,...,Y_5 \) para \( c_2 \). Consideremos dos rectas tangentes cualesquiera a \( c1 \) en \( A_1 \) y \( A_2 \), que llamaremos \( t_1 \) y \( t_2 \), y sus polos con respecto a \( c_2 \), que llamaremos \( Z_1 \) y \( Z_2 \) respectivamente. Sea \( I \) la intersección de ambas rectas. Consideremos la aplicación \( F \) que dada una recta que pasa por \( Z_1 \) nos devuelve una que pasa por \( Z_2 \) dada por la composición de las tres aplicaciones biyectivas siguientes:

\( f \): la aplicación que dada una recta que pasa por \( Z_1 \) nos devuelve su polo con respecto a \( c_2 \). Dado que \( Z_1 \) es el polo de \( t_1 \) esta última recta es el conjunto imagen de \( f \). La razón doble de cuatro rectas que pasen por \( Z_1 \) coincide con la de sus imágenes por \( f \).

\( g \): la aplicación que dado un punto \( P_1 \) de \( t_1 \) nos devuelve un punto \( P_2 \) de \( t_2 \) tal que \( P_1P_2 \) es tangente a \( c_1 \) y tal que:

\( g(P)=\begin{cases}{I}&\text{si}& P=A_1\\A_2 & \text{si}& P=I\end{cases} \)

y \( g(P)\neq I \) en otro caso

Por el teorema de Chasles, la aplicación \( g \) es una homografía y, por tanto, conserva la razón doble.

\( h \): la aplicación que dado un punto \( P_2 \) de \( t_2 \) nos devuelve su polar con respecto a \( c_2 \). Dado que \( Z_2 \) es el polo de \( t_2 \) el conjunto imagen de \( h \) es el haz de rectas que pasan por \( Z_2 \). La razón doble de cuatro puntos de \( t_2 \) coincide con las de sus imágenes por \( h \).

Como \( F \) es composición de tres biyecciones que conservan la razón doble, entonces es una homografía. Además, por el teorema de Steiner, el lugar definido por los puntos de intersección de las rectas que pasa por \( Z_1 \) con sus respectivas imágenes por \( F \) es una cónica \( c \) (en rojo en el dibujo). Además dada una tangente \( t_3 \) cualquiera a \( c_1 \) que corte a \( t_1 \) en \( P_1 \) y a \( t_2 \) en \( P_2 \) se cumplirá que el polo de \( t_3 \) con respecto a \( c_2 \) está en \( f^{-1}(P_1) \) y también en \( h(P_2) \), por lo que, al ser intersección de una recta que pasa por \( Z_1 \) con su imagen por \( F \), se hallará sobre \( c \).

Un saludo.

Hola.

Estoy ayudando a un amigo a sacarse una asignatura en la que analizan la tratabilidad de algoritmos y en la que se estudian algunos problemas NP-completos como los que defino a continuación.

El problema \( BINPACK(v_1,...v_n;k;V)  \) consiste en decidir si dado un conjunto de \( n \) objetos de tamaños \( v_1,...,v_n \) estos se pueden empaquetar en \( k \) cajas iguales de tamaño \( V \) sin exceder el tamaño de las cajas y sin romper ningún objeto.

El problema \( SUMSET(a_1,...,a_n;c)  \) consiste en decidir si dado un conjunto de \( n \) enteros \( A=\{a_1,...,a_n\} \) y un entero \( c \) existe un subconjunto \( S\subseteq{A} \) tal que su suma sea igual a \( c \).

Resulta que el otro día en un examen se pidió que se redujera polinómicamente el problema BINPACK al problema SUMSET. Cuando me lo comentó empecé a darle vueltas al asunto sin encontrar una reducción explícita. Está claro que la reducción existe porque ambos son problemas NP-complentos, pero no soy capaz de hallarla. Sí que tengo una reducción del problema SUMSET al problema BINPACK, pero claro, al revés me parece mucho más complicado.


El caso es que ayer los profesores facilitaron su solución al examen y la que dieron a este ejercicio es incorrecta. Yo pienso que es posible que se les haya colado la pregunta y que no corresponda para nada con lo que se estudia en el curso, con lo que mi amigo estaría en condiciones de reclamar que se anulase la pregunta y con ello llegar al aprobado. No obstante, me apetecía exponer aquí lo ocurrido a ver si alguien sabe de una reducción como la que se pidió en el examen o un bosquejo de cómo podría ser.

Muchas gracias de antemano por vuestros comentarios. Un saludo.

Hola.

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Viene de: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114307.msg452620#msg452620

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Con ánimo de echar una mano voy a expresar una posible respuesta en la que no se hable de sucesiones y subsucesiones a ver si sirve de algo.

Se trata de  probar:

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Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que:

 para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{1}{5}\Big|f(x)\Big|} \). (H)

Entonces   \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).

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Lo demostraré por reducción al absurdo. Supongamos que el enunciado es falso y que por tanto existe una función \( f(x)  \) que cumple las condiciones del enunciado pero que no se anula en \( [a, b] \). Si \( f(x)  \) es continua en \( [a, b]  \) también lo es \( |f(x) | \) y por el teorema de Weierstrass ésta debe alcanzar su mínimo en \( [a, b]  \). Supongamos que el mínimo se da en \( m\in{[a, b] } \). Como \( f(x)  \) no se anula tampoco lo hace \( |f(x) | \) y deberá ser \( |f(m) |>0 \). Pero por una de las condiciones del enunciado existe \( y \) tal que \( |f(y) |\leq{}\frac{|f(m) |}{5}<|f(m)| \) con lo que el mínimo no estaría en \( x=m \) y eso es absurdo.

No quisiera estar liando la madeja, pero pienso que si a lo mejor Buscón entendiese una demostración después le sería más sencillo entender las otras. De no cumplir este mensaje su cometido puede ser ignorado sin más.

Un saludo.

Hola. Tengo el siguiente enunciado:

Sea \( X  \) un conjunto ordenado en la topología del orden. Muestre que \[  \overline{(a,b)}\subseteq{[a,b]} \]. ¿Bajo qué condiciones se cumple la igualdad?

La primera parte creo que ya la tengo hecha. Por reducción al absurdo:

Supongamos que existe \( c\not\in{}[a,b] \) que cumple \( c\in{\overline{(a,b)}} \). Entonces, al ser la relación de orden total tiene que ser \( c<a \) o \( b<c \). Supongamos \( c<a \). Nuevamente, al ser la relación de orden total, \[ c \] no puede ser minimal sin ser el mínimo, por lo que o bien es mínimo y el abierto \( [c,a) \) contiene a \( c \) y no corta a \( (a,b) \) o bien existe un \( d \) tal que \( d<c \) y el abierto \( (d,a) \) contiene a \( c \) y no corta a \( (a,b) \). En cualquier caso, hemos encontrado un entorno de \( c \) que no corta a \( (a,b) \) por lo que \( c\not\in{}\overline{(a,b)} \) y esto es contradictorio. Si \( b<c \) se llega a una contradicción de forma similar.

En cuanto a la pregunta de después, entiendo que se cumple la igualdad si y sólo si la relación de orden cumple que para todos \( a,b\in{X} \) existe un \( c\in{X} \) tal que \( a<c<b \). Esta propiedad de las relaciones de orden, ¿tiene algún nombre concreto?

Gracias, y un saludo.

Hola.

Recuerdo un teorema que decía algo así como que:

Dada una biyección entre los puntos de dos rectas que conserva la razón doble, el lugar geométrico de las rectas que unen cada punto de una de las rectas con su imagen en la otra es un hiperboloide de una hoja. Si la aplicación conserva además la razón simple, entonces el lugar es un paraboloide hiperbólico.

He buscado este teorema entre mis apuntes pero no lo he encontrado. ¿Alguien conoce un texto dónde aparezca este teorema y, si es posible, su demostración?

Gracias de antemano.

Hola, ¿qué tal?

Abro este hilo para continuar una conversación que comenzó en este otro y que voy a desviar bastante del tema del hilo original.

El objetivo del hilo es aclarar algún que otro concepto sobre normas y los diferentes espacios en las que están definidas.

Primero de todo voy a ir poniendo conceptos básicos que he ido encontrando por internet:

Dado un espacio vectorial \( V \) sobre un cuerpo \( K \) se dice que una operación \( \left\|{·}\right\|:V\rightarrow{\mathbb{R}} \) es una norma si para todos \( x,y\in{V} \) y todo \( \lambda\in{K} \) cumple las condicines siguientes:

EDITADO
\( \left\|{x}\right\|\geq{0} \)
\( \left\|{x}\right\|=0\Leftrightarrow{}x=0 \)
\( \left\|{x+y}\right\|\leq{\left\|{x}\right\|}+\left\|{y}\right\| \)
\( \left\|{\lambda x}\right\|={\left |{\lambda}\right |}\left\|{x}\right\| \)

Supongo que en el cuerpo \( \mathbb{K} \) tiene que haber definida una operación valor absoluto o módulo \( |·| \) que también cumpla una serie de condiciones, quizás que sea una norma. Supongo que esto se puede hacer porque \( \mathbb{K} \) es un espacio vectorial sobre \( \mathbb{K} \)

A un espacio vectorial en el que hay definida una norma se le llama espacio normado.

Bien. Tenemos que si en un espacio vectorial tenemos definido un producto escalar \( \cdot{} \), podemos definir a partir de él una norma \( \left\|{x}\right\|=\sqrt[ ]{x\cdot{x}} \). Se puede comprobar a partir de la definición de producto escalar que la operación así definida cumple las condiciones para ser norma. Luego todo espacio euclídeo es también automáticamente un espacio normado. El recíproco no es, en general, cierto.

Por otro lado, si tenemos dos espacios normados \( U,V \), se puede definir una norma inducida sobre el conjunto de aplicaciones lineales continuas entre ellos de la siguiente manera. Sea \( f:U\rightarrow{V} \) una de estas aplicaciones, entonces la operación \( \left\|{f}\right\|=\sup_{x\neq0}{\frac{\left\|{f(x)}\right\|}{\left\|{x}\right\|}}=\sup_{\left\|{x=1}\right\|}{\left\|{f(x)}\right\|} \) cumple las tres condiciones para ser norma. Aquí es donde se genera todo lo de las normas matriciales y la teoría en cuyo marco está el ejercicio que motivó esta conversación.

Hasta aquí creo que bien. Lo que viene a continuación lo tenía confundido. Pensaba que a los espacios con una norma definida se les llamaba de Banach, pero veo que no es así.

En un espacio vectorial normado sobre \( \mathbb{R} \), una sucesión de Cauchy es una sucesión que cumple que para todo \( \epsilon >0 \) existe un entero \( N \) tal que para todos \( n,m>N \) \( \left\|{x_n-x_m}\right\|<\epsilon \)

Un espacio de Banach es un espacio normado en el que toda sucesión de Cauchy es convergente. Por ejemplo \( \mathbb{Q} \) con el valor absoluto no es un espacio de Banach, ya que en \( Q \) hay sucesiones de Cauchy que no convergen a un número racional. Sin embargo \( \mathbb{R} \) y \( \mathbb{C} \) con el módulo sí que lo son. Así un espacio de Banach puede tener dimensión finita o infinita.

Un espacio de Hilbert es, básicamente, un espacio de Banach en el que la norma es inducida por un producto escalar. Pensaba yo que un espacio de Hilbert tenía que tener dimensión infinita pero parece ser que no tiene porqué.

También tenemos que toda norma induce una distancia \( d(x,y)=\left\|{x-y}\right\| \), por tanto todo espacio normado \( X \) es automáticamente un espacio métrico, y que toda distancia induce una topología, luego todo espacio métrico también es un espacio topológico. Los recíprocos no son, en general, ciertos.

¿Voy bien con todo esto?

Muchísimas gracias. Un saludo.

Hola.

Quiero subir aquí una identidad trigonométrica que a mí me resultó sorprendente bastante sorprendente. Me la conjeturé a mí mismo mientras le daba vueltas a este problema y acabé encontrando una demostración que comparto un poco más abajo. Quisiera saber si alguien de vosotros conoce esta identidad y alguna otra demostración, ya que en tal caso me gustaría compararlas. La identidad en cuestión es la siguiente:

Sea \( n  \) un entero \( n\geq{1} \). Entonces para \( k\in{}\{0,...,n\} \) se cumple:

\( \displaystyle\prod_{\substack{i=0\\i\neq{k}}}^{n}{\left |{\cos\left(\displaystyle\frac{k\cdot{}\pi}{n}\right)-\cos\left(\displaystyle\frac{i\cdot{}\pi}{n}\right)}\right |}=\begin{cases} \displaystyle\frac{n}{2^{n-2}} & \text{si}& k\in{\{0,n\}}\\\displaystyle\frac{n}{2^{n-1}} & \text{si}&  k\in{\{1,...,n-1\}}\end{cases} \)


Un saludo.