[Nacho_Fernández]

Hola a todos, alguien me puede ayudar con este problema?
Sea f(z) un polinomio siendo z un número complejo. Probar que la función \( g(z)=[f(z^*)]^* \) es diferenciable en todo el plano, pero \( h(z)=[f(z)]^* \) es diferenciable en z=0 sólo si \( f'(0)=0 \)

- El asterisco * significa conjugado

[Masacroso]

Observa que \( (z^k)^*=(z^*)^k \) para \( k\in\Bbb N \) y que \( (a+b)^*=a^*+b^* \). Entonces \( (f(z^*))^*=\ldots \)

Por otro lado is \( f \) es un polinomio no veo como \( h \), siendo otro polinomio, necesite alguna condición para ser diferenciable en el cero (o en cualquier otro punto).

Para el caso de \( h \) te basta con estudiar cuándo son diferenciables las funciones definidas por \( g(z):=(z^k)^* \), para \( k\in\Bbb N \).

CORREGIDO.

[Nacho_Fernández]

Entiendo, por ese razonamiento \( g(z)=f(z) \) ?

[Masacroso]

Entiendo, por ese razonamiento \( g(z)=f(z) \) ?

Eso dependerá de los coeficientes de los polinomios, si son reales o complejos. Ahora edito arriba porque he tenido un lapsus con la función \( h \)...

[Nacho_Fernández]

De acuerdo, entonces cómodo puede escribir \( [f(z^*)]^* \)?

[Masacroso]

De acuerdo, entonces cómodo puede escribir \( [f(z^*)]^* \)?

Por ejemplo así

\( \displaystyle f(z):=\sum_{k=0}^n c_k z^k\implies [f(z^*)]^*=\left(\sum_{k=0}^n c_k (z^*)^k\right)^*=\sum_{k=0}^n c_k^*z^k \)

donde los \( c_k\in\Bbb C \) son los coeficientes del polinomio \( f \).

[Nacho_Fernández]

Gracias, entonces ese sumatorio al ser un polinomio se deduce que es diferenciable en todo el plano? Y para la función h cómo lo haría? No veo por qué da problemas en el 0

[Masacroso]

Gracias, entonces ese sumatorio al ser un polinomio se deduce que es diferenciable en todo el plano?

Sí, la función \( [f(z^*)]^* \) es diferenciable en todo el plano.

Y para la función h cómo lo haría? No veo por qué da problemas en el 0

No es que en el cero de problemas, es otra cosa. Hazme caso y mira dónde son diferenciables (y dónde no) las funciones complejas definidas por \( g(z):=(z^k)^* \) para \( k=1 \) y para \( k>1 \). Simplemente usa la definición de derivada. Con eso resuelves lo de la función \( h \).

[Nacho_Fernández]

De acuerdo, con k=1 es simplemente la función que hace la conjugada, la cual no es derivable porque los límites dan diferente según las direcciones. Lo que no veo es porqué estudiar por separado k=1 y k>1

[Masacroso]

De acuerdo, con k=1 es simplemente la función que hace la conjugada, la cual no es derivable porque los límites dan diferente según las direcciones. Lo que no veo es porqué estudiar por separado k=1 y k>1

Porque ya has visto lo que pasa con polinomios de grado uno. Entonces para demostrar lo que te piden sobre la función \( h \) tendrás que estudiar otros monomios de grado mayor, y verificar que son diferenciables en el cero.