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Hola buenas tardes, me surge una duda, (que es algo intuitiva pero no termino de ver si se trata de algo más elemental relacionado con triángulos), en la prueba de Cauchy Goursat (prop 2.11, pág 95 del pdf que adjunto) se define:

\( \Delta =\{ \mu a + \lambda b + \gamma c : \mu + \lambda + \gamma =1 : \mu, \lambda, \gamma\geq{0}   \} \)

si ahora denotamos los puntos medios \( a'=(b+c)/2 \) , \( b'=(a+c)/2 \) , \( c'=(a+b)/2 \)

y denotamos con \( \Delta_i \) a cualquiera de los 4 triángulos contenidos en \( \Delta \) , por ejemplo uno podría ser:

\( \Delta_1 =\{ \mu a' + \lambda b' + \gamma c ': \mu + \lambda + \gamma =1 : \mu, \lambda, \gamma\geq{0}   \} \)

entonces perímetro(\( \Delta_1 \))=\( \displaystyle\frac{1}{2} \)perímetro(\( \Delta \)) y de forma análoga para el diámetro
       diámetro(\( \Delta_1 \))=\( \displaystyle\frac{1}{2} \)diámetro(\( \Delta \)),
¿cuál sería la forma que tendría una demostración rigurosa de ese hecho?

Muchas gracias de antemano.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas tardes, me surge una duda, (que es algo intuitiva pero no termino de ver si se trata de algo más elemental relacionado con triángulos), en la prueba de Cauchy Goursat (prop 2.11, pág 95 del pdf que adjunto) se define:

\( \Delta =\{ \mu a + \lambda b + \gamma c : \mu + \lambda + \gamma =1 : \mu, \lambda, \gamma\geq{0}   \} \)

si ahora denotamos los puntos medios \( a'=(b+c)/2 \) , \( b'=(a+c)/2 \) , \( c'=(a+b)/2 \)

y denotamos con \( \Delta_i \) a cualquiera de los 4 triángulos contenidos en \( \Delta \) , por ejemplo uno podría ser:

\( \Delta_1 =\{ \mu a' + \lambda b' + \gamma c ': \mu + \lambda + \gamma =1 : \mu, \lambda, \gamma\geq{0}   \} \)

entonces perímetro(\( \Delta_1 \))=\( \displaystyle\frac{1}{2} \)perímetro(\( \Delta \)) y de forma análoga para el diámetro
       diámetro(\( \Delta_1 \))=\( \displaystyle\frac{1}{2} \)diámetro(\( \Delta \)),
¿cuál sería la forma que tendría una demostración rigurosa de ese hecho?

Son triángulos homotéticos al original con razón de homotecia \( 1/2 \). Cualquier medida de longitud de lo original es el doble del de su homotético.

Saludos.

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Hola Luis!, gracias por responder, intuitivamente (haciendo un dibujo) se ve que son semejantes, y si lo dibujas con precisión se tiene que sería razonable pensar que son una homotecia de razón \( 1/2 \) del original. Pero si trabajamos con la definición dada \( \Delta \), y \( \Delta_1 \) , ¿Cómo se deduce que son una homotecia de razón \( 1/2 \) (el uno respecto del otro)? (en plan formal)

Por otro lado si \( \omega \) y \( \omega_r \) son triángulos homotéticos de razón  \( r \), ¿se cumple que perimetro(\( \omega \))\( =r\cdot \) perimetro(\( \omega_r \))?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis!, gracias por responder, intuitivamente (haciendo un dibujo) se ve que son semejantes, y si lo dibujas con precisión se tiene que sería razonable pensar que son una homotecia de razón \( 1/2 \) del original. Pero si trabajamos con la definición dada \( \Delta \), y \( \Delta_1 \) , ¿Cómo se deduce que son una homotecia de razón \( 1/2 \) (el uno respecto del otro)? (en plan formal)

Pues en ese caso:

\( f(z)=-\dfrac{1}{2}z+\dfrac{a+b+c}{2} \)

Por otro lado si \( \omega \) y \( \omega_r \) son triángulos homotéticos de razón  \( r \), ¿se cumple que perimetro(\( \omega \))\( =r\cdot \) perimetro(\( \omega_r \))?

Dada una homotecia de razón \( r \):

\( f(z)=rz+k \)

Es inmediato que multiplica por \( |r| \) las distancias:

\( |f(z)-f(z')|=|r(z-z')|=|r||z-z'| \)

Saludos.

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Duda entendida y resuelta

Muchas gracias.

Saludos