Buenos días, tengo una pequeña duda acerca de como obtener finalmente la igualdad que veréis a continuación.
Asumiendo que se ha demostrado la igualdad \( log(1+z) = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n+1}{n}z^n} \) (donde \( log \) denota el logaritmo principal) \( \forall z \in D((0,0),1) \) , se plantea el problema de intentar saber si converge o no en la frontera (menos donde el logaritmo toma la evaluación nula, que en este caso sería \( (-1,0) \)). Para ello planteamos el siguiente problema, estudiar la convergencia de la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n}(cos(\alpha)+sen(\alpha))^n} \) , \( \alpha \in (-\pi, \pi) \) ( evitamos tomar el \( (-1,0) \) )
La convergencia se puede ver como una aplicación del
criterio de abel:
Sea \( \{a_n\} \) una sucesión numérica y \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}f_n \) una serie de funciones definidas en un conjunto A.
Criterio de Abel:
i) La serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^{}a_n \) convergente.
ii) Para cada \( z\in A\ \{f_n(z)\} \) es una sucesión de números reales monótona y la sucesión \( \{f_n\} \) esta uniformente acotada en A.
Entonces la serie de funciones \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n f_n} \) converge uniformemente en A
Por tanto como sabemos que converge, podemos aplicar el criterio de la continuidad radial, para obtener el valor de la suma de forma que:
\( \displaystyle\lim_{\underbrace{r \to{}1^-}_{0<r<1}}{log(1+r(cos(\alpha)+isen(\alpha)))} =\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{n} e^{i n\alpha}} = log(1+\displaystyle\lim_{r \to{}1}{r}(e^{i\alpha}))= log(1+e^{i \alpha}) = log(2cos(\displaystyle\frac{\alpha}{2})) + i\displaystyle\frac{\alpha}{2} \).
Lo único que me queda ver es que \( arctan(\displaystyle\frac{sen(\alpha)}{1+cos(\alpha)}) = \displaystyle\frac{\alpha}{2} \) pero no recuerdo muchas de las relaciones de la trigonometría (solo la del coseno y seno del ángulo doble y poco más)
Gracias de antemano,
Saludos
