Hola
Luis, no quiero que se malinterprete, no hubo mala intención ni nada por el estilo con Richard. "Vos tenes una caracterización..." creo que fue un "argentinismo" nada mas... Me refiero a que él conoce la forma de los números pares.
Pero si en ningún momento te malinterpreté, ni pensé que hubiese mala intención. Simplemente no entiendo lo que quisiste decir con esa frase. Que él (y todos gracias a Euler/Euclides) conozcamos la forma de los números perfectos pares no quiere decir que la use para nada relacionado con los impares.
¿Pero de dónde te has sacado eso?.
De la observación.
No estoy seguro de que quieres decir. ¿Quieres decir de "observar" ejemplos de números perfectos?
Pero para poder observar ejemplos de números perfectos, ¡primero tenemos que fijar a qué llamamos números perfectos!. Sinceramente, si no entiendes esto va a ser imposible entendernos en nada.
Si no entiendes que no se puede hablar de números perfectos, sin fijar a que llamamos número perfecto, es imposible.
Pues mira... Es todo muy dificil de explicar.
Pues mal empezamos porque mi pregunta era muy concreta:
¿La definición que he dado de número perfecto es la misma que tu estás usando SI o NO?.
Si la respuesta es NO: usas un concepto de número perfecto a priori distinto del que usamos los demás (digo a priori, porque puede que coincida en la práctica). Pero a partir de ahí y mientras no aclares EXACTAMENTE tu definición de número perfecto, es imposible que nos entendamos.
Y desde luego no puedes seguir insistiendo como hacías en otros hilos que usas la misma definición que "todo el mundo".
Pero el número perfecto es una señal de cuando en la suma de los números naturales se puede formar el cuadrado de una potencia de dos con la suma de las acumulaciones de dos números consecutivos.
¿Es esta TÚ definición de número perfecto? Es de una imprecisión brutal. No tiene sentido así expresada. Es decir no dudo de que tu quieras decir algo coherente, pero no estás siendo capaz de explicarlo bien.
Donde hay un número perfecto, podés sumar los dos triangulares y encontrar el valor de una potencia de dos.
Veamos: la suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto:
\( T_n+T_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}=\dfrac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^2 \)
Por otra parte sabemos que todo número perfecto par es triangular con \( n=2^p-1 \) es decir, de la forma:
\( T_n=T_{2^p-1}=\dfrac{(2^p-1)2^p}{2}=2^{p-1}(2^p-1) \)
En ese caso:
\( T_n+T_{n+1}=(n+1)^2=(2^p-1+1)^2=2^{2p} \)
Creo que eso lo que estás diciendo y efectivamente es una propiedad que cumplen todos los números perfectos pares conocidos y que se demuestra fácilmente (como se acaba de ver) usando la caracterización de los mismos de Euler/Euclides.
Ahora puede que no te guste lo que te muestro... Pero es lo que son los números perfectos...
¿Por qué no me va a gustar lo que me muestras?
En general la mayoría (diría que todas) de las propiedades que observas de los números perfectos son correctas. Nadie te ha dicho lo contrario (salvo lo de que \( 1 \) sea perfecto).
Pero no es nada nuevo ni excepcional; todo se deduce fácilmente de lo que ya se sabe sobre los números perfectos.
Ni siquiera debo verificar si es primo... Ahí te agregue el número que se completa con los divisores. De la misma forma que se completa el N° perfecto, se completa el cuadrado.
Si la suma de los divisores no es número primo, cuando haces la suma de los números triangulares, no te da exacto el número.
Aquí vuelves a expresarte con una gran imprecisión. ¿No debes de verificar si es primo el qué?. Fíjate que ya antes he tenido que interpretarte. Escribe que número debes de comprobar si es primo; los divisores de qué número estás hablando; de qué números triangulares hablas; que no tengamos que adivinar a qué te refieres.
En cualquier caso, sospecho que una vez más está simplemente escribiendo propiedades de los números perfectos que son correctas, que se observan viendo los ejemplos de los mismos y que son fácilmente demostrables viendo usando la caracterización de los pares.
Saludos.