Autor Tema: Calcular Area en amarillo

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14 Febrero, 2022, 09:17 pm
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rusocdu

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Hola a todos, quería saber si pueden guiarme a poder encontrar el área sombreada en amarillo. Gracias!




14 Febrero, 2022, 11:09 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos, quería saber si pueden guiarme a poder encontrar el área sombreada en amarillo. Gracias!





Hallas el valor buscado aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo entre los puntos de la esquina inferior izquierda del cuadrado de borde azul más grande (no el de color amarillo), la esquina inferior derecha del cuadrado de relleno amarillo, y la esquina superior derecha del mismo cuadrado de relleno amarillo.

14 Febrero, 2022, 11:48 pm
Respuesta #2

rusocdu

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Hola a todos, quería saber si pueden guiarme a poder encontrar el área sombreada en amarillo. Gracias!





Hallas el valor buscado aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo entre los puntos de la esquina inferior izquierda del cuadrado de borde azul más grande (no el de color amarillo), la esquina inferior derecha del cuadrado de relleno amarillo, y la esquina superior derecha del mismo cuadrado de relleno amarillo.


Gracias por contestar!!! :)
Supongamos que el lado  a = 5
Me queda la duda de cuál valor tomas para el cateto adyacente... Supongamos que el lado del cuadrado amarillo le llamo "L", entonces ese cateto es L + ...
Ese pedacito que falta será la cuarta parte de 5?
De algo no me estaría dando cuenta  :banghead:... gracias por ayudarme
(Te adjunto una imagen) No sé cómo se agrega una imagen al mensaje, perdón.

14 Febrero, 2022, 11:51 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola

Una forma utilizando geometría análitica, considerando el origen de coordenadas el vértice inferior izquierdo del cuadrado azul, eje x positivo lado derecho del cuadrado azul y eje y positivo lado izquierdo del cuadrado azul en esas condiciones hay dos circunferencias una centrada en el origen (0,0) circunferencia C1 y la otra centrada en el vértice derecho del cuadrado azul (a,0) circunferencia C2. Hay que determinar el valor del lado del cuadrado amarillo, denominando L, observa que L es la ordenada de los vértices superiores (izquierdo y derecho) del cuadrado amarillo y la distancia entre estos dos vértices es L también; pero estos vértices pertenecen a las circunferencias , el izquierdo \( (x_2,L) \) a C2 y el derecho \( (x_1,L) \) a C1 en consecuencia cumplen las ecuaciones de las circunferencias respectivamente entonces :

\( x_1^2+L^2=a^2 \) vértice derecho

\( (x_2-a)^2+L^2=a^2 \) vértice izquierdo

La distancia entre los dos vértices es \( \left |{x_1-x_2}\right | \) esta ha de ser igual a L en consecuencia despejando estos valores de las ecuaciones respectivas se tiene :

\( \left |{\sqrt[ ]{a^2-L^2}-(a-\sqrt[ ]{a^2-L^2})}\right |=L \) observa que \( x_1, \ x_2 \) tienen dos soluciones cada una; pero se considera una de ellas de acuerdo al gráfico, esto ha de entenderse y luego se ha de deducir a que es igual el valor absoluto de la parte izquierda de la ecuación y se despeja L


Spoiler
area=\( \displaystyle\frac{9a^2}{25} \)
[cerrar]


Saludos

15 Febrero, 2022, 01:01 am
Respuesta #4

Masacroso

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Gracias por contestar!!! :)
Supongamos que el lado  a = 5
Me queda la duda de cuál valor tomas para el cateto adyacente... Supongamos que el lado del cuadrado amarillo le llamo "L", entonces ese cateto es L + ...
Ese pedacito que falta será la cuarta parte de 5?
De algo no me estaría dando cuenta  :banghead:... gracias por ayudarme
(Te adjunto una imagen) No sé cómo se agrega una imagen al mensaje, perdón.

Tienes que el lado del cuadrado más grande es \( a \) y el del cuadrado pequeño (de relleno amarillo) es \( L \) entonces tienes que el trocito ese del que hablas mide justamente \( (a-L)/2 \), ya que la figura es simétrica.

15 Febrero, 2022, 10:19 am
Respuesta #5

feriva

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Hola a todos, quería saber si pueden guiarme a poder encontrar el área sombreada en amarillo. Gracias!


Esto del spoiler no es correcto

Spoiler

Mira la imagen



¿Ves cómo he transportado el gajo rojo? Lo he girado sobre sí mismo 180 grados y después 90 grados hacia arriba.

La diagonal del cuadrado, D, en verde, es el radio en ese cuarto de circunferencia “rojo-amarillo”.

Entonces \( D=\sqrt{2}\cdot L=L+K
  \)

\( k=L(\sqrt{2}-1)
  \)

Y ahora, fijándonos en la base de la circunferencia grande, de radio “a”, tienes

\( a=2k+L
  \)

Por tanto

\( a=2L(\sqrt{2}-1)+L=
  \)

sacando factor común “L”

\( L\cdot[\,2(\sqrt{2}-1)+1\,]
  \)

O sea

\( L=\dfrac{a}{(2(\sqrt{2}-1)+1)}
  \).

Y ya tienes el lado “L” en función de “a”.
[cerrar]
Saludos.

15 Febrero, 2022, 10:36 am
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

¿Ves cómo he transportado el gajo rojo? Lo he girado sobre sí mismo 180 grados y después 90 grados hacia arriba.

La diagonal del cuadrado, D, en verde, es el radio en ese cuarto de circunferencia “rojo-amarillo”.

Entonces \( D=\sqrt{2}\cdot L=L+K
  \)

\( k=L(\sqrt{2}-1)
  \)

Está mal. Si la circunferencia roja coincide en todo ese arco con la azul, debería de ser la misma. No es cierto que la diagonal del cuadrado sea \( K+L \).

Es mucho más sencillo y sobre todo CORRECTO lo que propone Masacroso, que lleva a la ecuación:

\( \left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{L}{2}\right)^2+L^2=a^2 \)

de donde \( L=3a/5 \).

Saludos.

15 Febrero, 2022, 11:04 am
Respuesta #7

feriva

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Hola

¿Ves cómo he transportado el gajo rojo? Lo he girado sobre sí mismo 180 grados y después 90 grados hacia arriba.

La diagonal del cuadrado, D, en verde, es el radio en ese cuarto de circunferencia “rojo-amarillo”.

Entonces \( D=\sqrt{2}\cdot L=L+K
  \)

\( k=L(\sqrt{2}-1)
  \)

Está mal. Si la circunferencia roja coincide en todo ese arco con la azul, debería de ser la misma. No es cierto que la diagonal del cuadrado sea \( K+L \).


O sea, que no es exactamente un cuarto de circunferencia. Me ha engañado el dibujo.

Muchas gracias, Luis.

15 Febrero, 2022, 11:25 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

O sea, que no es exactamente un cuarto de circunferencia. Me ha engañado el dibujo.

Pero uno podría predecir que no es como dices incluso con un dibujo horrible. La clave es que si el primer gajo rojo coincide en su arco con la circunferencia AZUL, no puedes pretender que luego pertenezca a una circunferencia distinta. Cada gajo pertenece a una única circunferencia.

Aunque como digo no es necesario ningún dibujo para este razonamiento, visualmente la situación es esta:



Saludos.

15 Febrero, 2022, 12:22 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola

O sea, que no es exactamente un cuarto de circunferencia. Me ha engañado el dibujo.

Pero uno podría predecir que no es como dices incluso con un dibujo horrible. La clave es que si el primer gajo rojo coincide en su arco con la circunferencia AZUL, no puedes pretender que luego pertenezca a una circunferencia distinta. Cada gajo pertenece a una única circunferencia.

Aunque como digo no es necesario ningún dibujo para este razonamiento, visualmente la situación es esta:
]


Saludos.

Sí, sí, me refería a que me ha engañado mi propio dibujo al mover la figura; no he reparado en el peligro de que los arcos formaran un “pico” aunque no lo viera. Un despiste terrible, la verdad.

En el dibujo original es muy visible, pero lo he falseado sin querer, no me he dado cuenta.



Gracias, Luis.