Autor Tema: Problema de límites 0/0

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30 Enero, 2022, 01:40 pm
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Raúl Pérez

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Buenas tardes, me gustaría saber si alguien me puede ayudar a resolver este problema:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{2-2cos{(x)}-x^2}{tg^2{(x)}-sen^2{(x)}}} \)

Un saludo y muchas gracias por adelantado.

30 Enero, 2022, 02:19 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Buenas tardes, me gustaría saber si alguien me puede ayudar a resolver este problema:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{2-2cos{(x)}-x^2}{tg^2{(x)}-sen^2{(x)}}} \)

Un saludo y muchas gracias por adelantado.

El numerador lo puedes escribir como:

\( 2-2cos(x)-x^2=4sin^2(x/2)-x^2=(2sin^2(x/2)-x)(2sin(x/2)+x) \)

y el denominador como

\( tan^2(x)-sin^2(x)=(tan(x)-sin(x))(tan(x)+sin(x)) \)

Entonces divide la cuestión en dos límites (la solución es su producto):

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2sin(x/2)+x}{tan(x)+sin(x)} \)

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{2sin(x/2)-x}{tan(x)-sin(x)}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{}cos(x)\cdot \dfrac{2sin(x/2)-x}{sin(x)-sin(x)cos(x)} \)

¿Puedes terminar ahora?.

Saludos.

30 Enero, 2022, 03:41 pm
Respuesta #2

Raúl Pérez

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Gracias por tu rápida respuesta.
No me queda claro por qué \( 2-2cos(x)=4sin^2(x/2) \)

30 Enero, 2022, 04:41 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Gracias por tu rápida respuesta.
No me queda claro por qué \( 2-2cos(x)=4sin^2(x/2) \)

Es una identidad trigonométrica conocida:

\( sin(x/2)=\sqrt{\dfrac{1-cos(x)}{2}} \)

Elevando al cuadrado, quitando de denominadores y multiplicando por dos, tienes \( 2-2cos(x)=4sin^2(x/2) \).

También puedes deducirla de:

\( cos(2A)=cos^2(A)-sin^2(A)=1-sin^2(A)-sin^2(A)=1-2sin^2(A) \)

para \( A=x/2 \).

Saludos.