Autor Tema: Distintas maneras de resolver un enunciado matemático.

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15 Agosto, 2021, 09:51 pm
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C. Enrique B.

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No sé si ése es el título adecuado, y tampoco sé si ésta es la sección; p.ej. no he visto la manera de colocar este hilo en la "aparente" sección de "Métodos Y Técnicas Matemáticas" (ciertamente estoy creando este hilo a toda prisa y se me están escapando cosas).
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EN FIN, se trata del rollo de los atajos o las diversas maneras de afrontar y resolver un problema matemático.

Mi idea (que por supuesto ya puede haber sido contemplada en este foro, en años pasados, e incluso puede existir un hilo ya creado con este asunto), surge después de contemplar estos dos hilos recientes:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=117688.msg472727;topicseen#msg472727

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=117734.msg472705;topicseen#msg472705

P.ej., respecto a este último hilo y a la solución de Abdulai, comenté:

¡Magnusífico, Abdulai! (Magnus Carlsen es el hiperCampeón de Ajedrez de la actualidad).

Más que ser un problema equivalente parece ser una simplificación del enunciado, o sea, quitar la paja (la estructura decimal) y ver que el problema es más simple de lo que aparenta. ¿No?

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La ancha propuesta de este hilo en el que estamos, es enorme, profunda ... y nos ayudará a desvelar algunos aspectos elementales, fundamentales.

Mi idea sería ESTRUCTURAR un esquema de tipos de atajo -creo ver claras definiciones para algunos de ellos-.
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-- FALTAN LAS MUJERES en muchos ámbitos sociales. Yo no me siento perteneciente al bando masculino; soy del bando de las personas. Chicas, manifestáos; no concibo charlar sobre un tema si no estáis vosotras: es impropio, casi absurdo.

16 Agosto, 2021, 10:00 pm
Respuesta #1

feriva

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Mi idea sería ESTRUCTURAR un esquema de tipos de atajo -creo ver claras definiciones para algunos de ellos-.
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Hola, Enrique.

Yo creo que, usando combinatoria (me refiero al problema de las cifras que suman 7) las soluciones van a ser “parecidas”; las habrá más largas, más cortas (que no siempre quiere decir que sean más fáciles de entender) pero la idea siempre será combinatoria.

Lo he intentado sin combinatoria, pero no puedo, se hace muy complicado. Pero digo cómo lo he intentado:

Es conocido que el resto que da dividir un número entre nueve es equivalente a la suma de sus cifras; en spoiler lo explico.

Spoiler

Podemos expresar cualquier número con potencias de diez; y lo podemos escribir así

\( a_{1}(9k_{1}+1)+a_{2}(9k_{2}+1)+...+a_{n-1}(9k_{n}+1)+a_{n}=9t+r
  \)

*[O sea, los \( 9k_{i}+1
  \) son potencias de diez escritas así 9+1, 99+1, 999+1...].

Multiplicando por la distributiva vamos a tener la suma de unos múltiplos de nueve (éstos \( a_{1}9k_{1}+a_{2}9k_{2}+...
  \), que da un múltiplo de nueve ) más la suma \( a_{1}+a_{2}+...+a_{n}
  \), que es la suma de las cifras del número y que, lógicamente, es equivalente a “r”; el resto que da el número al ser dividido entre 9.

Pongamos cualquier ejemplo; sea \( n=2212
  \), cuyas cifras suman 7.

Se representa con sumas de potencias de diez así

\( 2(1000)+2(100)+1\cdot(10)+2
  \)

pero lo escribimos así \( 2(999+1)+2(99+1)+1\cdot(9+1)+2
  \).

Nos da un múltiplo de nueve más la suma de sus cifras: 2+2+1+2=7, que coincide con el resto si dividimos entre 9 el número.

[cerrar]

Luego tenemos esto:

El primer múltiplo de 9 es 0; y si añadimos 7 es el primero cuyas cifras suman siete.

Por tanto, los números que suman siete, en principio, son

9*0+7=7; 9*1+7=16; 9*2+7=25; 9*3+7=34; 9*4+7=43...

Pero ocurre que 9*8+7=79 ya no suma 7, suma 16, que es equivalente, porque 1+6=7.

La cantidad de múltiplos de 9 hasta 100000 la hallamos dividiendo y tomando la parte entera:

\( \dfrac{100000}{7}=11111,11...
  \). Hay 11111 múltiplos de 9; y también hay 11111 múltiplos de 9, más 7, contando con el propio 7, ya que el primer múltiplo de 9 es 0.

Pero es difícil quitar los números que dan esas sumas equivalentes. Esto es, concluir que hay 330 que suman siete es complicado; y es debido a que los grupos no guardan la misma distancia en la sucesión respecto de los otros 9k+7.

...

Los números pedidos son éstos (si se listan junto a los otros, se observa lo que digo, pero no los pongo, porque la lista es demasiado larga):

Spoiler

7 , 16 , 25 , 34 , 43 , 52 , 61 , 70 , 106 , 115 , 124 , 133 , 142 , 151 , 160 , 205 , 214 , 223 , 232 , 241 , 250 , 304 , 313 , 322 , 331 , 340 , 403 , 412 , 421 , 430 , 502 , 511 , 520 , 601 , 610 , 700 , 1006 , 1015 , 1024 , 1033 , 1042 , 1051 , 1060 , 1105 , 1114 , 1123 , 1132 , 1141 , 1150 , 1204 , 1213 , 1222 , 1231 , 1240 , 1303 , 1312 , 1321 , 1330 , 1402 , 1411 , 1420 , 1501 , 1510 , 1600 , 2005 , 2014 , 2023 , 2032 , 2041 , 2050 , 2104 , 2113 , 2122 , 2131 , 2140 , 2203 , 2212 , 2221 , 2230 , 2302 , 2311 , 2320 , 2401 , 2410 , 2500 , 3004 , 3013 , 3022 , 3031 , 3040 , 3103 , 3112 , 3121 , 3130 , 3202 , 3211 , 3220 , 3301 , 3310 , 3400 , 4003 , 4012 , 4021 , 4030 , 4102 , 4111 , 4120 , 4201 , 4210 , 4300 , 5002 , 5011 , 5020 , 5101 , 5110 , 5200 , 6001 , 6010 , 6100 , 7000 , 10006 , 10015 , 10024 , 10033 , 10042 , 10051 , 10060 , 10105 , 10114 , 10123 , 10132 , 10141 , 10150 , 10204 , 10213 , 10222 , 10231 , 10240 , 10303 , 10312 , 10321 , 10330 , 10402 , 10411 , 10420 , 10501 , 10510 , 10600 , 11005 , 11014 , 11023 , 11032 , 11041 , 11050 , 11104 , 11113 , 11122 , 11131 , 11140 , 11203 , 11212 , 11221 , 11230 , 11302 , 11311 , 11320 , 11401 , 11410 , 11500 , 12004 , 12013 , 12022 , 12031 , 12040 , 12103 , 12112 , 12121 , 12130 , 12202 , 12211 , 12220 , 12301 , 12310 , 12400 , 13003 , 13012 , 13021 , 13030 , 13102 , 13111 , 13120 , 13201 , 13210 , 13300 , 14002 , 14011 , 14020 , 14101 , 14110 , 14200 , 15001 , 15010 , 15100 , 16000 , 20005 , 20014 , 20023 , 20032 , 20041 , 20050 , 20104 , 20113 , 20122 , 20131 , 20140 , 20203 , 20212 , 20221 , 20230 , 20302 , 20311 , 20320 , 20401 , 20410 , 20500 , 21004 , 21013 , 21022 , 21031 , 21040 , 21103 , 21112 , 21121 , 21130 , 21202 , 21211 , 21220 , 21301 , 21310 , 21400 , 22003 , 22012 , 22021 , 22030 , 22102 , 22111 , 22120 , 22201 , 22210 , 22300 , 23002 , 23011 , 23020 , 23101 , 23110 , 23200 , 24001 , 24010 , 24100 , 25000 , 30004 , 30013 , 30022 , 30031 , 30040 , 30103 , 30112 , 30121 , 30130 , 30202 , 30211 , 30220 , 30301 , 30310 , 30400 , 31003 , 31012 , 31021 , 31030 , 31102 , 31111 , 31120 , 31201 , 31210 , 31300 , 32002 , 32011 , 32020 , 32101 , 32110 , 32200 , 33001 , 33010 , 33100 , 34000 , 40003 , 40012 , 40021 , 40030 , 40102 , 40111 , 40120 , 40201 , 40210 , 40300 , 41002 , 41011 , 41020 , 41101 , 41110 , 41200 , 42001 , 42010 , 42100 , 43000 , 50002 , 50011 , 50020 , 50101 , 50110 , 50200 , 51001 , 51010 , 51100 , 52000 , 60001 , 60010 , 60100 , 61000 , 70000

[cerrar]

Saludos.