[Matthew]

Buenos días a todos, ¿me podrían ayudar a simplificar este ejercicio?

    \( \dfrac{a\,\cos(A)+b\,\cos(B)+c\,\cos(C)}{\sin(A)\,\sin(B)\,\sin(C)} \)

desde ya muchas gracias por su colaboración

[martiniano]

Hola.

¿Hay alguna relación entre las variables que aparecen? ¿Son los lados y ángulos de un triángulo?

Un saludo.

[martiniano]

Hola.

¿Son los lados y ángulos de un triángulo?

Supongamos que es que sí.

Spoiler

Entonces, llamando \[ S \] al área del triángulo y \[ R \] al radio de la circunferencia circunscrita se pueden demostrar las siguientes relaciones:

\[ S=\displaystyle\frac{abc}{4R}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}ab\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}bc\sin A=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}ac\sin B \]

\[ \sin A\cos A+\sin B\cos B+\sin C\cos C=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{\left[\sin 2A+ \sin 2B+2\sin(180-A-B)\cos(180-A-B)\right]}= \]
\[ \sin(A+B)\cos(A-B)-\sin(A+B)\cos(A+B)=\sin(A+B)\cdot{}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]=2\sin(A+B)\sin A\sin B= \]
\[ 2\sin A\sin B\sin C \]

Dividiendo numerador y denominador de la expresión del enunciado por \( abc \) tenemos:

\[ \displaystyle\frac{a\cos A+b\cos B+ c\cos C}{\sin A\sin B\sin C}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\cos A\sin A}{bc\sin A}+\displaystyle\frac{\cos B\sin B}{ac\sin B}+\displaystyle\frac{ \cos C\sin C}{ab\sin C}}{\displaystyle\frac{\sin A\sin B\sin C}{abc}} \]\[ =\displaystyle\frac{\sin A\cos A+\sin B\cos B+\sin C\cos C}{2S\cdot{\displaystyle\frac{\sin A\sin B\sin C}{abc}}}=...=\color{red} 4R \]

Es decir, la expresión nos da el radio de la circunferencia circunscrita.

[cerrar]

Si te pierdes en algún detalle nos comentas. Un saludo.

[hméndez]

Hola.

¿Son los lados y ángulos de un triángulo?

Supongamos que es que sí.

Spoiler

Entonces, llamando \[ S \] al área del triángulo y \[ R \] al radio de la circunferencia circunscrita se pueden demostrar las siguientes relaciones:

\[ S=\displaystyle\frac{abc}{4R}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}ab\sin C=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}bc\sin A=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{}ac\sin B \]

\[ \sin A\cos A+\sin B\cos B+\sin C\cos C=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{\left[\sin 2A+ \sin 2B+2\sin(180-A-B)\cos(180-A-B)\right]}= \]
\[ \sin(A+B)\cos(A-B)-\sin(A+B)\cos(A+B)=\sin(A+B)\cdot{}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]=2\sin(A+B)\sin A\sin B= \]
\[ 2\sin A\sin B\sin C \]

Dividiendo numerador y denominador de la expresión del enunciado por \( abc \) tenemos:

\[ \displaystyle\frac{a\cos A+b\cos B+ c\cos C}{\sin A\sin B\sin C}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\cos A\sin A}{bc\sin A}+\displaystyle\frac{\cos B\sin B}{ac\sin B}+\displaystyle\frac{ \cos C\sin C}{ab\sin C}}{\displaystyle\frac{\sin A\sin B\sin C}{abc}} \]\[ =\displaystyle\frac{\sin A\cos A+\sin B\cos B+\sin C\cos C}{2S\cdot{\displaystyle\frac{\sin A\sin B\sin C}{abc}}}=...=R \]

Es decir, la expresión nos da el radio de la circunferencia circunscrita.

[cerrar]

Si te pierdes en algún detalle nos comentas. Un saludo.

Hola martiniano...¡Ojo que la expresión final se reduce a \( 4R \)!

Saludos.

[martiniano]

Hola.

Hola martiniano...¡Ojo que la expresión final se reduce a \( 4R \)!

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¡Cierto! Gracias por estar al tanto 

Un saludo.