Autor Tema: Bifurcación de nodo silla para una familia de funciones

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05 Abril, 2021, 03:12 am
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FerOliMenNewton

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Hola a todos,
Tengo la siguiente definición de bifurcación nodo silla:
Definición. Dada una familia de funciones \( \left\{{f_{\lambda}}\right\} \) dependientes del parámetro \( \lambda \), decimos que esta familia tiene una bifurcación de nodo silla en \( \lambda = \lambda _{0} \) si existe un intervalo \( I \) y una \( \epsilon >0 \) tal que:
1. Para \( \lambda_{0}-\epsilon < \lambda < \lambda_{0} \) , \( f_{\lambda} \) no tiene puntos fijos en \( I \).
2. Para \( \lambda=\lambda_{0} \), \( f_{\lambda} \) tiene un punto fijo neutro en \( I \), i.e , \( | f_{\lambda_{0}} '(p) |=1 \) siendo \( p \) el punto fijo.
3. Para \( \lambda_{0}<\lambda < \lambda_{0}+\epsilon \), \( f_{\lambda} \) tiene dos puntos fijos en \( I \), uno es repulsor y el otro atractor.
O bien, si lo anterior se satisface pero cambiando el \( < \) por \( > \).
Dicho esto, creo que hay algo que no estoy entendiendo,  me interesa saber si la familia \( E_{\lambda}(x)=\lambda (e^{x}-1) \) tiene una bifurcación de nodo silla en \( \lambda=1 \). El libro afirma que SÍ , pero no entiendo la razón. De hecho, según lo que entiendo de la definición no debería tener una bifurcación en ese valor.
El motivo por el que pienso eso es que, para empezar, para \( \lambda=1 \) la función \( E_{\lambda}(x) \) tiene un único punto fijo neutro, a saber \( x=0 \). Así que, sea quien sea el intervalo I, por la definición debe contener al 0. Luego, la función \( E_{\lambda}(x) \) tiene un punto fijo en cualquier intervalo \( I \) que contenga al \( 0 \) y para cualquier \( \epsilon>0 \) tal que \( \lambda \in{(1-\epsilon,1)} \cup{(1,1+\epsilon)} \), así que entonces no deberíamos concluir que la familia no tiene una bifurcación de nodo silla en ese valor?
Saludos.

05 Abril, 2021, 11:08 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos,
Tengo la siguiente definición de bifurcación nodo silla:
Definición. Dada una familia de funciones \( \left\{{f_{\lambda}}\right\} \) dependientes del parámetro \( \lambda \), decimos que esta familia tiene una bifurcación de nodo silla en \( \lambda = \lambda _{0} \) si existe un intervalo \( I \) y una \( \epsilon >0 \) tal que:
1. Para \( \lambda_{0}-\epsilon < \lambda < \lambda_{0} \) , \( f_{\lambda} \) no tiene puntos fijos en \( I \).
2. Para \( \lambda=\lambda_{0} \), \( f_{\lambda} \) tiene un punto fijo neutro en \( I \), i.e , \( | f_{\lambda_{0}} '(p) |=1 \) siendo \( p \) el punto fijo.
3. Para \( \lambda_{0}<\lambda < \lambda_{0}+\epsilon \), \( f_{\lambda} \) tiene dos puntos fijos en \( I \), uno es repulsor y el otro atractor.
O bien, si lo anterior se satisface pero cambiando el \( < \) por \( > \).
Dicho esto, creo que hay algo que no estoy entendiendo,  me interesa saber si la familia \( E_{\lambda}(x)=\lambda (e^{x}-1) \) tiene una bifurcación de nodo silla en \( \lambda=1 \). El libro afirma que SÍ , pero no entiendo la razón. De hecho, según lo que entiendo de la definición no debería tener una bifurcación en ese valor.
El motivo por el que pienso eso es que, para empezar, para \( \lambda=1 \) la función \( E_{\lambda}(x) \) tiene un único punto fijo neutro, a saber \( x=0 \). Así que, sea quien sea el intervalo I, por la definición debe contener al 0. Luego, la función \( E_{\lambda}(x) \) tiene un punto fijo en cualquier intervalo \( I \) que contenga al \( 0 \) y para cualquier \( \epsilon>0 \) tal que \( \lambda \in{(1-\epsilon,1)} \cup{(1,1+\epsilon)} \), así que entonces no deberíamos concluir que la familia no tiene una bifurcación de nodo silla en ese valor?
Saludos.

Estoy de acuerdo, no hay manera de que se cumpla 1 y 2.

Saludos.

05 Abril, 2021, 08:57 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

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