Principal * N Z Q R C + Fijate que hay una de las construcciones que se hace en base a "dígitos".
Esa sería muy similar a lo que estás proponiendo.
Después de todo, ¿cómo describirías la parte fraccionaria del número real?
O bien, se puede construir la parte fraccionaria siguiendo métodos cualesquiera.
No has especificado el método que estás usando para construir esa parte.
Lo que decís está bien como idea, pero al desarrollar la idea verás que lleva mucho trabajo.
Creo que sugeriste que sería más rápido, pero no es así.
El problema estriba en que se supone que uno no tiene a la mano ningún conjunto de números reales, sólo tiene racionales, y entonces tiene que inventarse algo que "funcione" como los números reales.
Así que:
* Primero hay que definir con mayor precisión a qué le llamás "parte decimal o fraccionaria". Así como está, pareciera que te referís a una sucesión de dígitos.
* A continuación está el problema de la unicidad de los objetos. Si se usan dígitos, hay objetos con dos representaciones, y hay que tomar algún tipo de decisión de qué hacer con eso.
* Pero definir el conjunto que va a funcionar como R no es suficiente, hace falta definir también las operaciones aritméticas de suma y producto, y también la relación de orden <.
* También hay que indicar qué objetos harán las veces de elementos 0 y 1, pero eso en general es fácil.
* El siguiente paso es comprobar que tu construcción (R, +, ., < , 0, 1) satisface todos los axiomas de un "sistema de números reales", porque los números reales son un "sistema" que ha de cumplir leyes, y no es un simple conjunto. Si bastara con construir un conjunto sin nada más que hacer, entonces sólo habría que tomar \( R=\mathcal P(N) \), que es un conjunto con el cardinal del "continuo", y ya está. Pero necesitamos que R esté acompañado de una "estructura algebraico-analítica", y entonces hay que trabajar más.
Una vez establecido el punto anterior, ya podríamos andar más o menos tranquilos, porque lo que nos hacía falta era que nuestro sistema recién construido verifique los postulados especificados.
Pero por una cuestión de seriedad matemática, hace falta verificar algo más:
* Que nuestro sistema (R, +, ., < , 0, 1) tiene en forma natural un "subsistema isomorfo a los números racionales". En tal caso, hay que indicar un subconjunto Q de "nuestro sistema construido R", especificar una biyección con el "sistema de partida \( \mathbb Q \)" de racionales que usamos para "apoyar la construcción", y finalmente demostrar que la biyección en cuestión conserva la suma, el producto, y la relación de orden <, además de las identidades 0 y 1.
Todo este trabajo no puede ser evitado, y debe acompañar a toda construcción.
Quizá tengas razón en que al menos el primer paso de la construcción sea más breve.
Eso sí.
Pero es de sospechar que lo que uno se ahorra en ese paso, se complica luego en pasos subsiguientes, porque uno tiene que hacer todo a mano: la suma, el producto y el orden, y tiene que estar seguro de que todo está correcto, que no hay errores.
Hay un modo de saltearse todos esos pasos, pero es tramposo.
Veamos. Supongamos que ya tenemos alguna otra construcción alternativa de R, como la de encaje de intervalos.
En ese caso, bastaría establecer una biyección entre esa construcción y la nuestra, y así "contagiar" las operaciones y el orden <.
Se podría "contagiar" la estructura, y cruzar los dedos.
Si uno no se convence de eso, puede construir algunos pasos más, como por ejemplo fabricar la suma, el producto y el orden <, y luego usar la biyección anterior para demostrar simplemente que se conservan dichas operaciones y el orden.
Eso sería indudablemente correcto, y estaría demostrando automáticamente que se cumplen todos los axiomas de los reales, sin necesidad de comprobarlos uno por uno.
Pero el problema con este enfoque es que necesitamos previamente tener una construcción que alguien "ya" nos haya dado de R, una distinta, que funcione.
O sea que el "trabajo a mano" alguna vez hay que hacerlo.
Y como ninguna construcción es preferible a otra, mi idea es construir todo a mano, para todas las construcciones posibles, y después cada cual elige la que más le gusta como su "construcción inicial de referencia", si así le place.
Además, la subsección 4.9 del thread
Teoría Números Realesestablece un teorema de unicidad: no importa cuáles construcciones hagamos de los reales, son todas equivalentes entre sí, son isomorfas.
Esto es importante, porque no queremos una noción ambigua de número real.
Sin embargo, no nos ayuda mucho ese teorema en ahorrarnos trabajo, porque para aplicarlo necesitamos previamente haber demostrado que un par de construcciones dadas de R satisfacen (a mano) cada uno de los Axiomas listados al principio del citado thread.
Saludos
