Principal * N Z Q R C + Pero ... ¿a donde nos lleva esto? ¿a definir número natural? ¿cada número natural es representativo de una clase? ¿Y qué elementos pertenecen a cada clase?
Me parece que la construcción que has sugerido no está muy clara.
En efecto se puede definir la clase de todos los conjuntos biyectivos con uno dado...
En particular, esto puede hacerse para los conjuntos finitos.
Ahora bien, primera pregunta: ¿existe realmente la clase de todos los conjuntos de, digamos, 7 elementos?
Podría ser que dicha clase esté vacía.
Para asegurarnos que no es vacía, debieramos demostrar que al menos existe algún objeto en la teoría de conjuntos que tiene exactamente 7 elementos.
Si usamos la construcción típica de \( \{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \) etc., podremos lograrlo tras 7 pasos.
Luego, tras obtener este "ejemplo" de conjunto de 7 elementos, la clase del "cardinal" 7 tendría un representante, y entonces la clase es no vacía.
Esto es importante, porque si no, la clase del "cardinal" 7 se pòdría confundir con alguna otra clase, la del 11 quizá, si también fuera vacía.
Pero ¿cómo podemos probar que para cada "n" existe de verdad un conjunto con "n" elementos?
¿Existe realmente?
Esto se podría probar por inducción...
Pero para poder hacer demostraciones por inducción, necesito basarme primero en un conjunto de números naturales...
Pero como estoy construyendo, supuestamente, los cardinales de uno en uno, porque quiero formar N a partir de ellos... ocurre que no tengo aún un principio de inducción que pueda usar.
No tengo nada.
Tengo que demostrar, entonces, que tengo algún conjunto en donde es válido el principio de inducción.
Es ahí donde viene en nuestro auxilio el axioma del infinito, que dice que: Existe un conjunto X tal que el vacío es un elemento de X, y para todo elemento x de X, el conjunto de nivel superior, {x}, también pertenece a X.
Con eso, y usando intersecciones... se puede construir el famoso conjunto que contiene a todos los \( \{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \) etc. como sus elementos.
Ahora puedo usar inducción, porque tengo un conjunto inductivo... jeje. Y lo llamo N.
Volvamos a las clases de equivalencia.
Puede definir la clase de equivalencia \( C_n \) que contenga a todos los conjuntos de la teoría de conjuntos, de cardinal \( n \), para \( n\in N \). Esto quiere decir, biyectivos con el conjunto \( {1,...,n} \).
Todas esas clases \( C_n \) son
no-conjuntos. O sea, son clases propias, porque se puede definir en ellas una aplicación sobreyectiva cuya imagen sea la clase universal.
Así que hay cosas que no se pueden hacer.
Por ejemplo, si yo quisiera definir un sistema \( M \) de números naturales como un "conjunto" que contiene a todas esas clases \( C_n \) como sus elementos, no se puede, porque justamente una clase propia no puede pertenecer a ninguna otra clase. Si algún objeto pertenece a M, ya es un conjunto, y no una clase propia...
Así que lo que puedo hacer es tomar un representante de cada clase.
Para eso se requiere un proceso de elección...
En este momento no recuerdo si los procesos de elección se pueden aplicar a familias de clases cualesquiera, o si sólo se puede aplicar a conjuntos.
Como sea, supongamos que sí se puede...
Entonces de cada clase \( C_n \) debiera elegir un representante para formarme un conjunto de números naturales.
La forma correcta de hacerlo sería la siguiente:
Elijo un representante de la clase \( C_1 \), que será un conjunto unitario, digamos \( U_1 \). De él extraigo su único elemento \( x_1 \).
Ahora tomo un representante de la clase \( C_2 \), que será un conjunto \( U_2 \) de dos elementos, digamos \( a, b \).
Podría tomar quizá cualquiera de ellos como el elemento extraído \( x_2 \).
Pero no es cierto eso, porque alguno de los dos elementos, ya sea \( a \) ó \( b \), podría coincidir con \( x_1 \). Así que debo tomar un elemento cualquiera de \( U_2 \), que no sea el \( x_1 \) antes obtenido.
En general, para la clase \( C_n \) tomo un conjunto \( U_n \) de \( n \) elementos, y elijo cualquiera de sus elementos, siempre que no esté en las lista de los anteriores pasos del proceso: \( x_1, x_2, ..., x_{n-1} \).
En forma recursiva queda definida una lista numerable de elementos "distintos".
Ahí sí que puedo tener un modelo de números naturales diferente, basado en clases de "cardinales".
No obstante, todo este proceso requiere que uno haga las definiciones por recurrencia con mucho más cuidado, desde un punto de vista formal.
No obstante, he seguido esos "pasos" para hallar \( x_1, x_2, ... \) porque quería reconstruir tu idea de cómo obtener un conjunto N a partir de las clases de cardinales.
Pero no es lo que yo haría, por ejemplo.
Yo me quedaría tranquilo tomando directamente a los conjuntos \( U_1, U_2, U_3 \), etc. como los elementos de ese nuevo conjunto N que deseo formar. Esos serían los "elementos" que tomaría.
