Rincón Matemático
Matemática => Geometría y Topología => Mensaje iniciado por: cristianoceli en 16 Agosto, 2020, 10:04 pm
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Hola tengo dudas con esta demostración necesito ayuda para poder encarararla no se me ocurre como empezar
Definimos un triangulo "almost-equilateral" de error \( e>0 \)si el valor absoluto de la diferencia entre cada uno de sus ángulos y 60° es menor que e.
Demuestre que para cada \( e>0 \) existen triángulos "almost-equilateral" de error \( e \)cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano cartesiano. Además determine el de menor área
Saludos
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Hola
Hola tengo dudas con esta demostración necesito ayuda para poder encarararla no se me ocurre como empezar
Definimos un triangulo "almost-equilateral" de error \( e>0 \)si el valor absoluto de la diferencia entre cada uno de sus ángulos y 60° es menor que e.
Demuestre que para cada \( e>0 \) existen triángulos "almost-equilateral" de error \( e \)cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano cartesiano.
La existencia es fácil. Nota que si tomamos un triángulo con vértices \( A=(0,0),B=(2a,0) \) y \( C=(a,a\sqrt{3}) \) es equilátero de lado \( 2a \). El problema es que sus vértices no son enteros (en concreto si \( a \) es entero no lo es la ordenada de \( C \)). Pero si tomas por ejemplo \( a_n=10^n \) y \( A_n=(0,0),B_n=(2a_n,0) \) y \( C=(a_n,[a_n\sqrt{3}]) \) siendo \( [x]= \)parte entera de \( x \), comprueba que los ángulos del triángulo \( A_nB_nC_n \) se acercan tanto como queramos a \( 60^o \) a medida que \( n\to \infty \) y por tanto tenemos un triángulo "almost-equilateral" para cualquier \( e>0 \)con vértices de coordenadas enteras.
Además determine el de menor área
Esto lo veo bastante más delicado. Entiendo que hay que calcular el de menor área en función de \( e \), es decir para cada valor de \( e>0 \). ¿Es así?.
Saludos.
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Hola
Hola tengo dudas con esta demostración necesito ayuda para poder encarararla no se me ocurre como empezar
Definimos un triangulo "almost-equilateral" de error \( e>0 \)si el valor absoluto de la diferencia entre cada uno de sus ángulos y 60° es menor que e.
Demuestre que para cada \( e>0 \) existen triángulos "almost-equilateral" de error \( e \)cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano cartesiano.
La existencia es fácil. Nota que si tomamos un triángulo con vértices \( A=(0,0),B=(2a,0) \) y \( C=(a,a\sqrt{3}) \) es equilátero de lado \( 2a \). El problema es que sus vértices no son enteros (en concreto si \( a \) es entero no lo es la ordenada de \( C \)). Pero si tomas por ejemplo \( a_n=10^n \) y \( A_n=(0,0),B_n=(2a_n,0) \) y \( C=(a_n,[a_n\sqrt{3}]) \) siendo \( [x]= \)parte entera de \( x \), comprueba que los ángulos del triángulo \( A_nB_nC_n \) se acercan tanto como queramos a \( 60^o \) a medida que \( n\to \infty \) y por tanto tenemos un triángulo "almost-equilateral" para cualquier \( e>0 \)con vértices de coordenadas enteras.
Además determine el de menor área
Esto lo veo bastante más delicado. Entiendo que hay que calcular el de menor área en función de \( e \), es decir para cada valor de \( e>0 \). ¿Es así?.
Saludos.
Exactamente eso es lo que me piden en función de \( e \) y no se como hacerlo.
Saludos