Buenas, he estado tratando de resolver el siguiente ejercicio:
Sea \( U=\{(u,v)\in \mathbb{R}^2 \ | \ u>0\} \) Mostrar que el mapeo \( \varphi:U \to \mathbb{R}^3 \) dado por
\( \varphi(u,v)=(u+v\cos u, u^2+v\sin u, u^3) \) es una superficie inmersa.
Por definición para que el mapeo \( \varphi:U \to \mathbb{R}^3 \) sea una superficie inmersa tendría que verificar lo siguiente:
- \( \varphi:U \to \mathbb{R}^3 \) es de clase \( C^{\infty} \)
- \( U \) es abierto
- La diferencial \( d\varphi_x:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) es inyectiva (Tiene rango 2) para cada punto \( x\in U \)
La primera condición es evidente, me falta verificar la segunda y tercera condición. Les agradezco su gran ayuda,
Saludos.
