Este problema lo planteó Henry Dudeney en 1917. Según Dudeney (aunque el rigor histórico es más que cuestionable, a la vista de la solución):

El rey Harold II de Inglaterra, que en 1066 se enfrentó en la batalla de Hastings al ejército del rey normando Guillermo el Conquistador, contaba con un ejército repartido en \( 61 \) divisiones de soldados que formaban dispuestas en cuadrados idénticos, pero que formaban uno solo (un único cuadrado) cuando se unía a ellos su general. ¿Cuántos soldados tenía el ejército del rey Harold II?

En realidad el problema tiene infinitas soluciones, pero basta con calcular la menor posible. Por pura fuerza bruta no ofrece dificultad, aunque el resultado es igualmente interesante. Por otro lado, hay una técnica sencilla para encontrar la solución con cálculos relativamente simples que uno podría hacer con una modesta calculadora y un poquito de paciencia (tampoco mucha). Ahora bien, quien quiera conocer ese método tendría que estudiarse antes lo que puse en este mensaje.

Por ejemplo, el problema siguiente es soso y trivial si se aborda por "fuerza bruta", pero, con el método adecuado (el que se puede entender habiéndose estudiado el mensaje que cito), uno puede encontrar una expresión recurrente para sus infinitas soluciones:


(Los números triangulares son los de la forma \( 1+2+\cdots + n \).)

Un hombre va a un banco a cobrar un cheque, pero el cajero que lo atiende se equivoca, y le da tantos euros como céntimos marca el cheque y tantos céntimos como euros (por ejemplo, si el cheque fuera de \( 15.80 \) euros, el cajero le da \( 80.15 \) euros). El hombre gasta \( 5 \) céntimos, y entonces se da cuenta del error, pues ve que el dinero que le queda es justo el doble del dinero que debería haber cobrado. ¿Cuál era el importe del cheque?

Como parece que os gustan las ecuaciones diferenciales, planteo otro problema "clásico" de ecuaciones diferenciales:

Encontrar una función \( y:[-c, c]\longrightarrow \mathbb R \) con \( y(\pm c) = 0 \) y tal que, si pavimentamos el suelo con las "montañitas" que resultan de repetir la función \( y \) periódicamente, una rueda cuadrada de lado \( 2a \) que ruede sin deslizamiento se mueva sin traqueteos, es decir, de modo que su eje (el centro del cuadrado) se mantenga siempre a la misma altura:


La idea es que cada vértice del cuadrado llegue a un punto del suelo de altura 0 cuando su diagonal esté en vertical, lo que exige que la altura constante del centro del cuadrado tiene que ser \( \sqrt 2  a \).

La gracia del problema está en encontrar el planteamiento de la ecuación diferencial que determina la función \( y(x) \), porque luego, la resolución no es especialmente problemática.

Iba a poner un spoiler con la idea del planteamiento, pero de momento no lo pongo. Si hace falta, lo pondré más adelante.

En 1643 Evangelista Toricelli publicó un artículo sobre esta figura:


Es la superficie que resulta de girar alrededor del eje X la hipérbola \( y = 1/x \), desde \( x=1 \) hasta \( +\infty \).

Torricelli la llamó el sólido hiperbólico agudo, aunque hoy en día es más conocida como la trompeta de Gabriel, o el cuerno de Gabriel, en alusión a la trompeta que el arcángel gabriel hará sonar el día del juicio final.

Calcular el área de la superficie y el volumen que encierra.

En términos más gráficos, si vemos la figura como una copa de altura infinita, podemos preguntarnos:
1) Si queremos llenar la copa de pintura, ¿cuánta pintura necesitaremos?
2) Si queremos pintar la copa, ¿cuánta pintura necesitaremos?

Esto se conoce como la paradoja del pintor.

Con la ayuda de un ordenador, calcular el número exacto de cifras decimales del número \( 10^{100}! \)

Con ayuda de un ordenador no quiere decir "a lo bruto". Dudo mucho que ningún ordenador pueda calcular el factorial de \( 10^{100} \) de forma exacta.

Con Mathematica o con Python el cálculo necesario requiere una línea y se obtiene instantáneamente. (La cuestión es determinar qué hay que calcular.)


Añadido:  Ya puestos, es posible calcular, digamos, las 100 primeras cifras (por la izquierda) de \( 10^{100}! \)

Este problema sólo requiere un poco de geometría muy básica:

Un país carece de autopistas, y el gobierno ha decidido poner fin a esta situación. En una primera fase, se construirá una autopista que una cada ciudad del país a la ciudad más próxima. Algunas precisiones:

• La distancia entre las ciudades se mide en línea recta sobre el mapa, sin perjuicio de que luego la autopista se curve para adaptarse al terreno.
• En todo el país no hay dos pares de ciudades exactamente a la misma distancia, por lo que "la ciudad más próxima" está unívocamente determinada en todos los casos.
• Por ejemplo, si el país tuviera sólo tres ciudades alineadas, así
  
  
  A       B                             C
  
  tendríamos que la ciudad más próxima a A es B, y la ciudad más próxima a B es A. En esta situación se construye —obviamente— una única autopista que une A con B (no dos).
  
  Por otro lado, la ciudad más próxima a C es B, luego también se construirá una autopista que una B con C. Vemos así que de una misma ciudad pueden salir varias autopistas, pues no tiene por qué haberse construido únicamente la que la une con la ciudad más próxima, sino que la ciudad puede ser la más próxima a varias ciudades, lo que puede hacer que termine con varias autopistas.

El problema consiste en probar que, con este plan de construcción, de cada ciudad saldrán como máximo cinco autopistas.

La solución de este problema no requiere más que resolver un par de sistemas de ecuaciones lineales, bastante aburridos, por cierto (yo los he resuelto con Mathematica, sólo por no trabajar  ), pero me parece interesante porque muestra cómo los sistemas de ecuaciones aburridos permiten dar respuesta a una pregunta cuya solución no me parece obvia en absoluto a priori. Si alguien encuentra un argumento que explique la respuesta sin hundirse en cálculos laboriosos (o sin usar Mathematica), sería interesante. El problema dice así:

El dueño de una empresa envía a uno de sus empleados a llevar una carta a un pueblo vecino, que está a unos \( 2.5 \) km. El empleado hace el recorrido andando. A los cinco minutos envía a otro empleado con una carta similar a otro pueblo que se encuentra más o menos a la misma distancia caminando por la misma carretera, pero en sentido opuesto. Sin embargo, pronto se da cuenta de que se ha equivocado y le ha dado a cada empleado la carta que tenía que haberle dado al otro. Por ello recurre a un tercer empleado, al que le pide que coja su bicicleta, que alcance a uno de los caminantes, le pida la carta, se la lleve al segundo caminante, se la cambie por la carta que lleva éste, vuelva hasta el primer caminante para darle la carta del segundo y que por último regrese a la oficina lo antes posible.

El ciclista sale cinco minutos después que el segundo caminante, y su dilema es: si quiere tardar lo menos posible en cumplir el encargo (o, equivalentemente, si quiere pedalear lo menos posible), ¿en qué dirección debe salir, en la del primer caminante o en la del segundo?

La decisión no es irrelevante. Por ejemplo, si los caminantes viajan a \( 3 \) km/h y el ciclista a \( 12 \) km/h, a mí me sale que, según si el ciclista elige dirigirse primero hacia uno u otro de los caminantes tardará \( 24 \) minutos o \( 31 \) minutos en cumplir el encargo. Pero, ¿cuál es la elección que requiere menos tiempo?

Editado Había dado los tiempos de llegada, sin descontar que el ciclista sale 10 minutos más tarde.

En realidad, todos los datos numéricos son irrelevantes. Hay que suponer que los dos caminantes se mueven a la misma velocidad constante y que el ciclista también se mueve a una velocidad constante superior a la de los caminantes (y que los pueblos están suficientemente lejos para que ninguno de los caminantes entregue su carta antes de que lo alcance el ciclista).

Otro supuesto importante es que, cuando el ciclista alcanza al primer caminante y éste le da la carta, el caminante no se queda parado esperando carta que realmente tenía que entregar, sino que continúa su camino para no perder tiempo, dejando que sea el ciclista el que avance luego lo necesario para alcanzarlo de nuevo cuando vuelva con la segunda carta.

El 22 de enero de 1960 el Japan Times publicó un artículo de Ivan Bell, un profesor de inglés en Tokio, con un mensaje pensado para que pudiera entenderlo cualquier extraterrestre mínimamente culto que conociera un poco el sistema solar. El mensaje es el siguiente:

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• A        B        C        D        E        F        G        H        I        J        K        L        M
          N        P        Q        R        S        T        U        V        W        Y        Z
  
  
• A A  B    A A A  C    A A A A  D    A A A A A  E    A A A A A A  F    A A A A A A A  G
      A A A A A A A A  H    A A A A A A A A A  I    A A A A A A A A A A  J
  
  
• A K A L B    A K A K A L C    A K A K A K A L D        A K A L B    B K A L C    C K A L D    D K A L E
          B K E L G    G L E K B        F K D L J    J L F K D
  
  
• C M A L B    D M A L C    I M G L B
  
  
• C K N L C    H K N L H        D M D L N    E M E L N
  
  
• J L AN    J K A L AA    J K B L AB        J K J L BN    J K J K J L CN        FN K G L FG
  
  
• B P C L F    E P B L J    F P J L FN
  
  
• F Q B L C    J Q B L E    FN Q F L J
  
  
• C R B L I    B R E L CB
  
  
• J P J L J R B L S L ANN    J P J P J L J R C L T L ANNN        J P S L T    J P T L J R D
  
  
• A Q J L U    U Q J L A Q S L V
  
  
• U L WA    U P B L WB    AWD M A L WD L D P U        V L WNA    V P C L WNC
          V Q J WNNA    V Q S L WNNNA        J P EWFGH L EFWGH    S P EWFGH L EFGWH
  
  
• GIWIH Y HN    T K C Y T        Z Y CWADAF
  
  
• D P Z P  WNNIB R C  Q C

---

Está pensado para que un extraterrestre que no supiera nada de ninguna cultura de la Tierra pudiera descifrarlo. Hay que entender que el mensaje consta únicamente de las 14 líneas escritas en azul, mientras que la numeración que precede a cada línea está para facilitar aquí las referencias. Los cambios de línea dentro de cada línea tampoco son significativos, sino que los he introducido para facilitar la lectura en la pantalla. Por ejemplo, hay que entender que la línea 2 es una única línea larga. Lo que sí que forma parte del mensaje son los cambios de línea, es decir, que parte de la estructura del mensaje consiste en el hecho de que está dividido en 14 líneas.

El periódico recibió cuatro respuestas completas, entre ellas la de una lectora que respondió con el mismo código y dijo que vivía en Júpiter.

¿Algún lector terrestre o extraterrestre sabría descifrarlo?

Insisto en que no se trata de un código criptográfico pensado para que sea difícil de descifrar, sino todo lo contrario, está pensado para que que la probabilidad de que lograra descifrarlo un extraterrestre suficientemente civilizado —aun sin saber nada de nuestras costumbres lingüísticas— sea la máxima posible. Dicho con otras palabras: es muchísimo más fácil de lo que podría parecer a primera vista.

Presento aquí otro problema de Henry Dudeney que me ha parecido lo suficientemente curioso como para ponerme a resolverlo.

He aquí una multiplicación mágica:


Vemos que el producto se obtiene sin más que poner delante del primer factor la segunda cifra del segundo y detrás la primera.

El problema pide encontrar todas las multiplicaciones mágicas, es decir, todos los pares de números naturales \( (x, y) \) tales que \( y \) tiene dos cifras y el producto \( xy \) se obtiene anteponiendo a \( x \) la segunda cifra de \( y \) y posponiendo la primera.

Hay infinitas posibilidades, luego se trata de describir de forma sencilla el conjunto de todas ellas.

En principio, el problema sólo requiere aritmética elemental (nada más complicado que el concepto de congruencia), pero es muy laborioso. Es notable que Dudeney lo resolviera sin usar ordenador (no le quedaba otra, ya que en su época no había ordenadores). Con un ordenador que haga unas pocas comprobaciones rutinarias se resuelve cómodamente, pero el uso del ordenador no vuelve trivial el problema, ya que no se trata de pedirle que encuentre a lo bruto unos cuantos ejemplos, sino de describir el conjunto infinito de todos los pares posibles.

Pongo en spoiler algunas consideraciones más sobre el uso del ordenador en este problema.


Un problema que requiere la misma técnica, pero que —en ausencia de ordenador— es mucho menos laborioso es el siguiente:

Encontrar todos los números naturales tales que, si tomamos su primera cifra decimal por la izquierda y la ponemos a la derecha (así: \( 5\,364\mapsto 3\,645 \)) el número resultante es \( 1.5 \) veces el inicial.

En lugar de \( 1.5 \) se puede poner un \( 2 \), pero entonces sucede que la segunda cifra por la izquierda es un \( 0 \), con lo que la solución es menos elegante (pasando la cifra de la derecha a la izquierda no volvemos al número inicial). Según tengo entendido, este problema lo planteó Jacob Bronowski.

Añadido: Como la solución del problema ha quedado muy diluida en el hilo, para facilitar la lectura a quienes vean esto más adelante, la pongo a continuación en spoiler:

Tenemos una botella de plástico cuyas paredes tienen grosor despreciable y cuya forma es una superficie de revolución con la sección que muestra la figura:


Calcular su volumen sin más instrumento de medida que una regla graduada (al menos tan larga como la botella).