[saizkovsky]

Hola a todos, quiero pediros ayuda con el siguiente problema compuesto por cuatro apartados; dice así:

Sea \( f : \mathbb{R^3} \longrightarrow{} \mathbb{R^3} \) la aplicación lineal que, en la base canónica, su matriz (conocida parcialmente) es:

\( A = \begin{bmatrix}{5}&{x}&{y}\\{z}&{-1}&{t}\\{-11}&{-13}&{-9}\end{bmatrix} \)

\( (x, y, z, t \in{} \mathbb{R} \) desconocidos\( ) \)

a) Si sabemos que \( u_1 = (2, 1, -5) \) y \( u_2 = (-1, -1, 3) \) son vectores propios, ¿cuáles son los valores propios de \( f \)?

b) Utilizad a para encontrar la matriz de \( f \) en la base canónica.

c) Encontrad la forma canónica de Jordan, \( J_A \), de \( A \).

d) Encontrad una base de Jordan que reduzca la matriz \( A \) a su forma de Jordan.

Gracias por vuestro inestimable trabajo y felices fiestas.

[robinlambada]

Hola:

si planteas las ecuaciones que salen de la definición de autovector:

\( u_1\cdot{}A=\lambda _1 u_1 \) y \( u_2\cdot{}A=\lambda _2 u_2 \)

Obtienes un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas: \( x,y,z,t, \lambda _1 , \lambda _2 \)

Lo que no sé es si el sistema es fácil de resolver.

Saludos.

[saizkovsky]

Hola:

si planteas las ecuaciones que salen de la definición de autovector:

\( u_1\cdot{}A=\lambda _1 u_1 \) y \( u_2\cdot{}A=\lambda _2 u_2 \)

Obtienes un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas: \( x,y,z,t, \lambda _1 , \lambda _2 \)

Lo que no sé es si el sistema es fácil de resolver.

Saludos.

Gracias, aplicando esas dos ecuaciones me ha quedado este resultado para el apartado a:

\( A \cdot{} u_1 = \lambda_1 \cdot{} u_1 \) \( \Rightarrow{} \) \( \begin{bmatrix}{5}&{x}&{y}\\{z}&{-1}&{t}\\{-11}&{-13}&{-9}\end{bmatrix}\ \cdot{}\begin{bmatrix}{2}\\{1}\\{-5}\end{bmatrix} = \lambda_1 \cdot{} \begin{bmatrix}{2}\\{1}\\{-5}\end{bmatrix} \) \( \Rightarrow{} \) \( \begin{cases}{ 10 + x - 5y}&\text{=}& 2\lambda_1\\2z - 1 - 5t & \text{=}& \lambda_1\\- 22 - 13 + 45 & \text{=}& - 5\lambda_1\end{cases} \)\( \Rightarrow{} \) \( \lambda_1 = - 2 \)

\( A \cdot{} u_2 = \lambda_2 \cdot{} u_2 \) \( \Rightarrow{} \) \( \begin{bmatrix}{5}&{x}&{y}\\{z}&{-1}&{t}\\{-11}&{-13}&{-9}\end{bmatrix}\ \cdot{}\begin{bmatrix}{-1}\\{-1}\\{3}\end{bmatrix} = \lambda_2 \cdot{} \begin{bmatrix}{-1}\\{-1}\\{3}\end{bmatrix} \) \( \Rightarrow{} \) \( \begin{cases}{ - 5 - x + 3y}&\text{=}& -\lambda_2\\- z + 1 + 3t & \text{=}& -\lambda_2\\+ 11 + 13 - 27 & \text{=}& 3\lambda_2\end{cases} \)  \( \Rightarrow{} \) \( \lambda_2 = - 1 \)

Y este otro para el b:

\( A = \begin{bmatrix}{5}&{6}&{4}\\{-3}&{-1}&{-1}\\{-11}&{-13}&{-9}\end{bmatrix} \)

He comprobado que ambos son correctos a través de Octave.

¿Podrías darme otra pista o consejo para los apartados c y d?

Muchas gracias por la ayuda.

[Fernando Revilla]

He comprobado que ambos son correctos a través de Octave. ¿Podrías darme otra pista o consejo para los apartados c y d?

En realidad, pista no hay ninguna pues los apartados c) y d) son rutinarios si se conoce la teoría correspondiente. Te puede ayudar

http://fernandorevilla.es/blog/2014/07/19/forma-canonica-de-jordan/

en donde se proporciona la manera de hallar la forma de Jordan de una matriz, y

http://fernandorevilla.es/blog/2014/04/04/calculo-de-una-base-de-jordan/

para hallar una base de Jordan.

[saizkovsky]

He comprobado que ambos son correctos a través de Octave. ¿Podrías darme otra pista o consejo para los apartados c y d?

En realidad, pista no hay ninguna pues los apartados c) y d) son rutinarios si se conoce la teoría correspondiente. Te puede ayudar

http://fernandorevilla.es/blog/2014/07/19/forma-canonica-de-jordan/

en donde se proporciona la manera de hallar la forma de Jordan de una matriz, y

http://fernandorevilla.es/blog/2014/04/04/calculo-de-una-base-de-jordan/

para hallar una base de Jordan.

Gracias, me ha sido de gran utilidad tu aporte. Los resultados de los apartados c y d me han quedado así:

\( \left |{A - \lambda I_3}\right | \) \( = \) \( \begin{vmatrix}{-(\lambda - 5)}&{6}&{4}\\{- 3}&{-(\lambda + 1)}&{- 1}\\{- 11}&{- 13}&{-(\lambda + 9)}\end{vmatrix} \) \( = \) \( -(\lambda^3 + 5\lambda^2 + 8\lambda + 4) \) \( = \) \( -(\lambda + 1)(\lambda + 2)^2 \)

dim\( (V_{-1}) \) \( = 3 -  \) rg\( (A + I_3) = 3 - \) rg\( \begin{bmatrix}{6}&{6}&{4}\\{- 3}&{0}&{- 1}\\{- 11}&{- 13}&{- 8}\end{bmatrix} \) \( = 3 - 2 = 1 \)

dim\( (V_{-2}) \) \( = 3 -  \) rg\( (A + 2I_3) = 3 - \) rg\( \begin{bmatrix}{7}&{6}&{4}\\{- 3}&{1}&{- 1}\\{- 11}&{- 13}&{- 7}\end{bmatrix} \) \( = 3 - 2 = 1 \) (No coincide con la multiplicidad algebraica)

\( J_A = \begin{bmatrix}{- 1}&{0}&{0}\\{0}&{- 2}&{1}\\{0}&{0}&{- 2}\end{bmatrix} \)

\( B_{JA} \) \( = \) {\( u_2, u_1, u_3 \)} \( = \) {\( (-1, -1, 3); (2, 1, -5); (a, b, c) \)}

\( (A + 2I_3)u_3 = u_1 \) \( \Leftrightarrow{\begin{bmatrix}{7}&{6}&{4}\\{-3}&{1}&{-1}\\{-11}&{-13}&{-7}\end{bmatrix} \cdot{}\begin{bmatrix}{a}\\{b}\\{c}\end{bmatrix}} = \begin{bmatrix}{2}\\{1}\\{-5}\end{bmatrix} \)

\( (A + 2I_3|u_1) = \) \( \begin{bmatrix}{7}&{6}&{4}&{2}\\{-3}&{1}&{-1}&{1}\\{-11}&{-13}&{-7}&{-5}\end{bmatrix} \) \( \sim{...\sim{\begin{bmatrix}{7}&{6}&{4}&{2}\\{0}&{\displaystyle\frac{25}{7}}&{\displaystyle\frac{5}{7}}&{\displaystyle\frac{13}{7}}\\{0}&{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}}} \) \( \Rightarrow{} \) \( \begin{cases} 7a + 6b + 4c & \text{=}& 2\\\displaystyle\frac{25a}{7} + \displaystyle\frac{5b}{7} & \text{=}& \displaystyle\frac{13}{7}\end{cases} \) \( \Rightarrow{u_3 = (1,\displaystyle\frac{11}{10}, \displaystyle\frac{-29}{10})} \)

\( B_{JA} \) \( = \) {\( u_2, u_1, u_3 \)} \( = \) {\( (-1, -1, 3); (2, 1, -5); (1,\displaystyle\frac{11}{10}, \displaystyle\frac{-29}{10}) \)}

\( P = \begin{bmatrix}{-1}&{2}&{1}\\{-1}&{1}&{\displaystyle\frac{11}{10}}\\{3}&{-5}&{\displaystyle\frac{-29}{10}}\end{bmatrix} \), \( P^{-1} = \begin{bmatrix}{13}&{4}&{6}\\{2}&{\displaystyle\frac{-1}{2}}&{\displaystyle\frac{1}{2}}\\{10}&{5}&{5}\end{bmatrix} \)

\( A = P \cdot{J_A} \cdot{P^{-1}} = \begin{bmatrix}{5}&{6}&{4}\\{-3}&{-1}&{-1}\\{-11}&{-13}&{-9}\end{bmatrix} \)

[Fernando Revilla]

\( A = P \cdot{J_A} \cdot{P^{-1}} = \begin{bmatrix}{5}&{6}&{4}\\{-3}&{-1}&{-1}\\{-11}&{-13}&{-9}\end{bmatrix} \)

Bien, no he seguido los cálculos. Puedes verificar el resultado (no hace falta hallar \( P^{-1} \)) comprobando que \( AP=PJ_A \), que equivale a \( A=PJ_AP^{-1}. \)

[saizkovsky]

\( A = P \cdot{J_A} \cdot{P^{-1}} = \begin{bmatrix}{5}&{6}&{4}\\{-3}&{-1}&{-1}\\{-11}&{-13}&{-9}\end{bmatrix} \)

Bien, no he seguido los cálculos. Puedes verificar el resultado (no hace falta hallar \( P^{-1} \)) comprobando que \( AP=PJ_A \), que equivale a \( A=PJ_AP^{-1}. \)

Cierto, gracias también por este detalle.