[TitoNathan]

Buenas, en el último ejercicio que se me plantea en el tema de aplicaciones lineales no estoy seguro de estar obteniendo lo que realmente me están pidiendo.

Alguien podría decirme si lo he resuelto correctamente o si tendría que hacer algo más?
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Sea la aplicación \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow{\mathbb{R}^2} \) definida \( f(1,3,5)=(1,0) , f(0,1,1)=(1,0) , f(0,0,1)=(0,0) \)
a) Halle la matriz asociada a \( f \) en las bases canónicas.
b) Encuentre la ecuación de \(  f(U) \) siendo \(  U=\left\{{(x,y,z) Є R3 / x + y - z = 0, y – z = 0}\right\} \)
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Esta es mi resolución:

a)
La matriz de la transformación será una matriz 2x3,

\( A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}  \)

Multiplicando esta matriz por cada elemento de \mathbb{R}^3 tendremos el transformado de \mathbb{R}^2.

Aplico la transformación al vector \( (1,3,5) \) y obtengo \( (1,0) \)
\( 1\cdot{a} + 3\cdot{b} + 5\cdot{c} = 1  \)
\( 1\cdot{d} + 3\cdot{e} + 5\cdot{f} = 0 \)

Si la aplico a \( (0,1,1) \) obtengo el \( (1,0) \):
\( 0\cdot{a} + 1\cdot{b} + 1\cdot{c} = 1  \)
\( 0\cdot{d} + 1\cdot{e} + 1\cdot{f} = 0 \)

La aplico a \( (0,0,1)  \) y obtengo el \( (0,0) \):
\( 0\cdot{a} + 0\cdot{b} + 1\cdot{c} = 0  \)\( \longrightarrow{c=0} \)
\( 0\cdot{d} + 0\cdot{e} + 1\cdot{f} = 0 \)\( \longrightarrow{f=0} \)

Sustituyendo en las demas ecuaciones obtengo finalmente: \( a=-2, b=1, c=0, d=0, e=0, f=0 \).

Por lo que queda:

\( A=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}  \)     

Mi duda: ¿Esta es la matriz que se me está pidiendo?
En caso de que no, alguién podría aportar las que se me piden?

b)
\( \left\{ \begin{array}{c} x + y - z = 0  \\ y - z = 0  \end{array}\right  \)
 
De aquí obtengo \( x=0, y=z \).

Por lo tanto \( f(x,y,z)=(0,k,k) \)

¿Esta es la ecuación que se me pide?

Muchísimas gracias.

[Fernando Revilla]

Sea la aplicación \( f : \mathbb{R}^3 \rightarrow{\mathbb{R}^2} \) definida \( f(1,3,5)=(1,0) , f(0,1,1)=(1,0) , f(0,0,1)=(0,0) \)
a) Halle la matriz asociada a \( f \) en las bases canónicas.

LLamando \( \{e_1,e_2,e_3\} \) y\(  \{u_1,u_2\} \) a las bases canónicas de \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^2 \) tenemos

          \( \left \{ \begin{matrix} f(1,3,5)=(1,0)& \\\ldots\\\ldots\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(e_1+3e_2+5e_3)=u_1& \\\ldots\\\ldots\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(e_1)+3f(e_2)+5f(e_3)=u_1& \\\ldots\\\ldots\end{matrix}\right. \)

Resuelve el sistema y ya tienes la matriz \( A \) pedida.

b) Encuentre la ecuación de \(  f(U) \)

Efectivamente los vectores de \( U \) son de la forma \( (0,k,k) \) con \( k\in\mathbb{R} \) por tanto,

          \( f(U)\equiv{}A\left({\begin{array}{ccc}{0}\\{k}\\{k}\end{array}\right),\quad k\in\mathbb{R}. \)

En el ejemplo 3 aquí:

http://fernandorevilla.es/cambio-de-base-en-aplicaciones-lineales-matrices-equivalentes/

tienes un problema parecido resuelto por dos métodos.

[TitoNathan]

LLamando \( \{e_1,e_2,e_3\} \) y\(  \{u_1,u_2\} \) a las bases canónicas de \( \mathbb{R}^3 \) y \( \mathbb{R}^2 \) tenemos

          \( \left \{ \begin{matrix} f(1,3,5)=(1,0)& \\\ldots\\\ldots\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(e_1+3e_2+5e_3)=u_1& \\\ldots\\\ldots\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(e_1)+3f(e_2)+5f(e_3)=u_1& \\\ldots\\\ldots\end{matrix}\right. \)

Resuelve el sistema y ya tienes la matriz \( A \) pedida.

No he entendido muy bien esto.
La primera ecuación quedaría igualada a \( u_1 \), la segunda a \( u_2 \) pero, ¿la tercera?

[Fernando Revilla]

No he entendido muy bien esto. La primera ecuación quedaría igualada a \( u_1 \), la segunda a \( u_2 \) pero, ¿la tercera?

Al vector nulo.

[TitoNathan]

Y otra cosa que no me ha quedado clara:

Si tengo \( f(1,3,5)=(1,0) \) y \( f(0,1,1)=(1,0) \), es decir, los dos están igualados a (1,0), por qué en el sistema siguiente quedaría uno igualado a \( u_1 \)(1,0) y el segundo a \( u_2 \)(0,1) cuando según el enunciado valen los dos (1,0)?

[Fernando Revilla]

Si tengo \( f(1,3,5)=(1,0) \) y \( f(0,1,1)=(1,0) \), es decir, los dos están igualados a (1,0), por qué en el sistema siguiente quedaría uno igualado a \( u_1 \)(1,0) y el segundo a \( u_2 \)(0,1) cuando según el enunciado valen los dos (1,0)?

No entiendo, ¿donde he hecho eso? El sistema sería   \( \left \{ \begin{matrix} f(e_1)+3f(e_2)+5f(e_3)=u_1& \\f(e_2)+f(e_3)=u_1\\f(e_3)=0.\end{matrix}\right. \)

Resuelto,   \( \left \{ \begin{matrix} f(e_1)=-2u_1& \\f(e_2)=u_1\\f(e_3)=0.\end{matrix}\right. \)

Trasponiendo,   \( A=\begin{bmatrix}{-2}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}. \)

[Fernando Revilla]

Expongo otra forma de solucionar el problema usando el teorema general del cambio de base para aplicaciones lineales.

Llamamos \( E=\mathbb{R}^3 \) y \( F=\mathbb{R}^2. \) Consideramos las bases de \( E \) y \( F: \)

          \( B_E=\left\{{u_1=(1,3,5),u_2=(0,1,1),u_3=(0,0,1)}\right\},\quad B_F=\left\{{v_1=(1,0),v_2=(0,1)}\right\}. \)

La aplicación dada satisface   \( \left \{ \begin{matrix} f(u_1)=v_1& \\f(u_2)=v_1\\f(v_3)=0.\end{matrix}\right. \)   por tanto

          \( A=[f]_{B_E}^{B_F}=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}. \)

Elegimos como nuevas bases de \( E \) y \( F \) las canónicas:

          \( B'_E=\left\{{u'_1=(1,0,0),u'_2=(0,1,1),u'_3=(0,0,1)}\right\},\quad B'_F=\left\{{v'_1=(1,0),v'_2=(0,1)}\right\}. \)

La matriz de cambio de \( B'_E \) a \( B_E \) es   \( M=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{3}&{1}&{0}\\{5}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)

por tanto, la de cambio de \( B_E \) a \( B'_E \) es   \( P=M^{-1}. \)

La matriz de cambio de \( B_F \) a \( B'_F \) es  \( Q=I \) (identidad de orden 2).

Usando el teorema general del cambio de base para aplicaciones lineales, la matriz de \( f \) en las nuevas bases \( B'_E \) y \( B'_F \) (las canónicas) es:

          \( B=[f]_{B'_E}^{B'_F}=Q^{-1}AP=I^{-1}AP=I\begin{bmatrix}{1}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{3}&{1}&{0}\\{5}&{1}&{1}\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}{-2}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{bmatrix}. \)

[TitoNathan]

Ahora sí, me había hecho un lío. Muchísimas gracias.