¡Buenas buenas!
En el siguiente ejercicio:
Sea \( p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x+a_0 \) un elemento de un anillo de polinomios \( R[x] \). Demuestre que \( p(x) \) es un divisor de cero en \( R[x] \) si y sólo si existe un elemento diferente de cero \( b\in R \) tal que \( bp(x)=0 \)
dan el siguiente hint: Sea \( g(x)=b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots + b_0 \) un polinomio tal que \( g(x)p(x)=0 \) cuyo grado sea mínimo. Demuestre que \( b_ma_n=0 \) y entonces \( a_n g(x) \) es un polinomio de grado menor que \( m \) que al multiplicarse por \( p(x) \) su resultado. Deduzca que \( a_n g(x)=0 \). Aplique un argumento similar para demostrar por inducción en \( i \) que \( a_{n-i}g(x)=0 \) para \( i=0,\dots, n \) y demuestre que esto implica que \( b_m p(x)=0 \).
La segunda parte del consejo no la entiendo bien, además que me enredo con los índices. El paso base lo comprendo bien, no así el paso inductivo.
Gracias por las ayudas y consejos.
