Buenas tardes!
LLevo una semana con este trabajo de clase, y no consigo nada aunque haya buscado en libros e internet, asi que recurro a vosotros. Espero que me podais ayudar y aprenda un poco sobre esto. Muchas gracias de antemano.
El problema dice:
Supongamos que \( \left\|{.}\right\| \) es una norma en \( \matbb{C}^{n} \). Se define la norma dual de \( \left\|{.}\right\| \) como \( \left\|{x}\right\|^{'}=sup_{\left\|{y}\right\|=1}\left |{y^*x}\right | \).
a) Demuestra que se puede sustituir sup por max en la definición de norma dual.
b) Demuestra que, en realidad, es una norma de operador, ¿de qué operador?
c) ¿Cual es la norma dual de la norma euclídea?
d) Prueba que \( \forall x, y\in\mathbb{C}^{n} \) se tiene que \( \left |{y^*x}\right |\leq \left\|{y}\right\|' \left\|{x}\right\| \). Demuestra, además, que para cada \( \forall x\in\mathbb{C}^{n} \) existe un vector no nulo \( \forall z\in\mathbb{C}^{n} \) tal que \( \left |{z^*x}\right |= \left\|{z}\right\|' \left\|{x}\right\| \).
e) Sean \( \forall x, y\in\mathbb{C}^{n} \) vectores dados tales que \( \left\|{x}\right\|= \left\|{y}\right\|=1 \). Prueba que existe una matriz de rango 1, \( B=yz^* \), tal que \( Bx=y \) y \( \left\|{B}\right\|=1 \), siendo \( \left\|{B}\right\| \) la norma de B inducida por la norma \( \left\|{.}\right\| \).
Esto es el problema, espero que podais ayudarme porque estoy muy atascado. Gracias
