[ani_pascual]

Hola:
¿Pueden ayudarme con el siguiente ejercicio? El tema de las formas bilineales lo tengo bastante olvidado   .
Sea \( f:\mathbb{R}^4\times \mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R} \) una forma bilineal simétrica cuya matriz asociada respecto a la base canónica de \( \mathbb{R}^4 \) es \( A=\left(\begin{array}{rrcr}0&-1& 1&0\\-1&2& 0&1\\1&0&0&1\\0&1&1&2\end{array}\right)  \)
a) Hállese una base respecto a la cual la matriz asociada a \( f \) es diagonal.
b) Hállese una matriz \( P\in GL_4(\mathbb{R}) \) que verifique que \( P^tAP \) es diagonal siendo los valores de su diagonal principal \( 1 \) o \( -1 \). ¿Cuál es su signatura?

¿Es necesario calcular los valores propios o hay algún otro método específico?
Gracias con antelación
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
¿Pueden ayudarme con el siguiente ejercicio? El tema de las formas bilineales lo tengo bastante olvidado   .
Sea \( f:\mathbb{R}^4\times \mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R} \) una forma bilineal simétrica cuya matriz asociada respecto a la base canónica de \( \mathbb{R}^4 \) es \( A=\left(\begin{array}{rrcr}0&-1& 1&0\\-1&2& 0&1\\1&0&0&1\\0&1&1&2\end{array}\right)  \)
a) Hállese una base respecto a la cual la matriz asociada a \( f \) es diagonal.
b) Hállese una matriz \( P\in GL_4(\mathbb{R}) \) que verifique que \( P^tAP \) es diagonal siendo los valores de su diagonal principal \( 1 \) o \( -1 \). ¿Cuál es su signatura?

Hace \( P^tAP \) equivale a hacer las mismas operaciones elementales fila y columna sobre la matriz \( A \). Así que el procedimiento es diagonalizar mediante operaciones fila y la misma en la columna \( A \) (congruencia). De esta forma siempre se puede llegar a una matriz con 1,-1 y/o 0s en la diagonal. Haciendo las mismas operaciones columna usadas en el proceso en la diagonal se obtiene la matriz \( P \).

En este vídeo se explica el procedimiento y se ilustra con ejemplos:

Saludos.

[Fernando Revilla]

¿Es necesario calcular los valores propios o hay algún otro método específico?

No es necesario. Mira:

        https://fernandorevilla.es/2014/07/17/diagonalizacion-de-formas-bilineales-simetricas/.

[ani_pascual]

Hola:
Gracias Luis Fuentes, Fernando Revilla.  Desconocía este método. He visto en unos apuntes otro método, que ignoro si es correcto y  que consiste en lo siguiente:
Como \( A \) es la matriz asociada a la aplicación bilineal \( f \) respecto a la base canónica \( {\cal B}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\} \) de \( \mathbb{R}^4 \), se tiene que \( f(e_2,e_2)=2\neq 0 \), luego se toma como primer vector de la base \( {\cal B}' \) buscada, el vector \( v_1=e_2 \). A continuación se halla el ortogonal de \( v_1 \), es decir, \( <v_1>^{\perp} \), que tendrá dimensión tres. De entre estos tres vectores se escoge un vector que no sea isótropo, digamos \( v_2 \), es decir, con \( f(v_2,v_2)\neq 0 \); luego se halla \( <v_1,v_2>^{\perp} \), que tendrá dimensión dos, y entre estos, se escoge, a su vez, un tercer vector \( v_3 \) que no sea isótropo. Finalmente se elige \( v_4\in <v_1,v_2,v_3>^{\perp} \). Se tendría así la matriz
diagonal \( D=\left(\begin{array}{cccc}f(v_1,v_1)&0& 0&0\\0&f(v_2,v_2)& 0&0\\0&0&f(v_3,v_3)&0\\0&0&0&f(v_4,v_4)\end{array}\right)  \) y se cumipliría que \( D=P^tAP \), siendo \( P \) la matriz cuyas columnas son los vectores \( v_1,v_2, v_3, v_4 \).
Solo quedaría tomar la base \( {\cal B}'' =\{w_1,w_2,w_3,w_4\} \) donde cada vector \( w_i=\dfrac{v_i}{\sqrt{f(v_i,v_i)}} \) y se obtendría la matriz diagonal con \( 1,-1 \). ¿Es un método válido? ¿Es equivalente a los expuestos en los vídeos?
Gracias y saludos 
Donde pone ortogonal léase conjugado 
Gracias Luis Fuentes por la explicación

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
Gracias Luis Fuentes, Fernando Revilla.  Desconocía este método. He visto en unos apuntes otro método, que ignoro si es correcto y  que consiste en lo siguiente:
Como \( A \) es la matriz asociada a la aplicación bilineal \( f \) respecto a la base canónica \( {\cal B}=\{e_1,e_2,e_3,e_4\} \) de \( \mathbb{R}^4 \), se tiene que \( f(e_2,e_2)=2\neq 0 \), luego se toma como primer vector de la base \( {\cal B}' \) buscada, el vector \( v_1=e_2 \). A continuación se halla el ortogonal de \( v_1 \), es decir, \( <v_1>^{\perp} \), que tendrá dimensión tres. De entre estos tres vectores se escoge un vector que no sea isótropo, digamos \( v_2 \), es decir, con \( f(v_2,v_2)\neq 0 \); luego se halla \( <v_1,v_2>^{\perp} \), que tendrá dimensión dos, y entre estos, se escoge, a su vez, un tercer vector \( v_3 \) que no sea isótropo. Finalmente se elige \( v_4\in <v_1,v_2,v_3>^{\perp} \). Se tendría así la matriz
diagonal \( D=\left(\begin{array}{cccc}f(v_1,v_1)&0& 0&0\\0&f(v_2,v_2)& 0&0\\0&0&f(v_3,v_3)&0\\0&0&0&f(v_4,v_4)\end{array}\right)  \) y se cumipliría que \( D=P^tAP \), siendo \( P \) la matriz cuyas columnas son los vectores \( v_1,v_2, v_3, v_4 \).
Solo quedaría tomar la base \( {\cal B}'' =\{w_1,w_2,w_3,w_4\} \) donde cada vector \( w_i=\dfrac{v_i}{\sqrt{f(v_i,v_i)}} \) y se obtendría la matriz diagonal con \( 1,-1 \). ¿Es un método válido? ¿Es equivalente a los expuestos en los vídeos?
Gracias y saludos 

 Si, está bien y es equivalente. Pero es más rápido (o en el peor de los casos igual de rápido) diagonalizar por congruencia.

 En general para una forma bilineal simétrica no necesariamente definida positiva, la "ortogonalidad" suele definirse como la "conjugación"; una base en la que la matriz asociada es diagonal, equivale a una base de vectores conjugados.

Saludos.

P.D. Puedes leer sobre esto en el primer tema de aquí:

https://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/materiales.html

[ani_pascual]

Hola:

 Si, está bien y es equivalente. Pero es más rápido (o en el peor de los casos igual de rápido) diagonalizar por congruencia.

Gracias. Estoy de acuerdo.

En general para una forma bilineal simétrica no necesariamente definida positiva, la "ortogonalidad" suele definirse como la "conjugación"; una base en la que la matriz asociada es diagonal, equivale a una base de vectores conjugados.

Eso no lo sabía     Entonces ... lo apropiado será corregir el vocablo 
Saludos