a) La suma de los autovalores de una matriz con coeficientes racionales es siempre racional
b) El producto de los autovalores de una matriz con coeficientes racionales es siempre racional
Para toda matriz \( A\in \mathbb{K}^{n\times n} \) su polinomio característico es
\( \chi(\lambda)=\det (A-\lambda I )=(-1)^n\lambda^n+(-1)^{n-1}(\text{traza } A)\lambda^{n-1}+\ldots+\det A\in\mathbb{K} [ x ]. \)
Si \( A\in \mathbb{Q}^{n\times n} \) y \( \lambda_1,\ldots,\lambda_n \) son los valores propios de \( A \) (racionales, reales o complejos):
\( (-1)^n\lambda^n+(-1)^{n-1}(\text{traza } A)\lambda^{n-1}+\ldots+\det A=(-1)^n(\lambda-\lambda_1)\cdot\ldots \cdot (\lambda-\lambda_n) \)
Entonces,
\( \lambda_1+\ldots +\lambda_n=\text{traza } A\in\mathbb{Q} \)
\( \lambda_1\cdot \ldots \cdot\lambda_n=\det A\in\mathbb{Q} \)
c) Toda matriz nxn con n impar tiene un vector propio no nulo
Suponiendo que \( A \) es real, su polinomio característico tiene grado impar y por tanto al menos una raíz \( \lambda \) real, por tanto existe \( 0\ne x\in\mathbb{R}^n \) tal que \( Ax=\lambda x \).
