Hola
Sea $$A$$ una matriz diagonalizable, sabemos existe $$Q$$ tal que $$A=Q^{-1}DQ$$. Si quisiera encontrar una raíz cuadrad de $$A$$ vía la expresión anterior. En caso de que los valores propios sean positivos puedo encontrar una raíz cuadrada de cada elemento de la diagonal y proponer $$Q^{-1}D^{1/2}Q$$ como raíz.Este proceso creo no depende de $$Q$$, es decir, si tomo otra base y calculo $$P^{-1}D^{1/2}P$$ con las misma $$D^{1/2}$$. Me daría la misma raíz? no logro probarlo. Gracias
Si la matriz es diagonalizable, entonces el espacio vectorial donde trabaja se descompone en suma directa de subespacios característicos \( V_1\oplus V_2\oplus\ldots\oplus V_n \) de manera que si \( f \) es el endomorfismo que representa la matriz entonces:
\( f|_{V_i}=\lambda_i\cdot Id \).
Lo que haces al escoger la raíz cuadrada como dices es tomar como raíz cuadrada:
\( g|_{V_i}=\pm \sqrt{\lambda_i}\cdot Id \) (escoges la raíz positiva o negativa en cada caso).
y esa definición no depende de la base de autovectores que hayas escogido.
Saludos.
