[altercaimi]

Hola! cómo están?
Me pueden ayudar a resolver este ejercicio?

Sea \( S \) un conjunto, y \( S^* \) el conjunto de subconjuntos de \( S \). Sean \( A, B \) y \( C \) elementos de \( S^* \).

Se definen las operaciones:
1) \( A+B= (A-B)\cup (B-A) \)
2) \( A\cdot B=A\cap B \)

Demostrar que \( (A+B)+C=A+(B+C) \) y que \( A\cdot (B+C)=A\cdot B + A\cdot C \)

Muchas gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( S \) un conjunto, y \( S^* \) el conjunto de subconjuntos de \( S \). Sean \( A, B \) y \( C \) elementos de \( S^* \).

Se definen las operaciones:
1) \( A+B= (A-B)\cup (B-A) \)
2) \( A\cdot B=A\cap B \)

Demostrar que \( (A+B)+C=A+(B+C) \) y que \( A\cdot (B+C)=A\cdot B + A\cdot C \)

Para el primero mira por aquí:

https://fernandorevilla.es/2014/03/05/diferencia-simetrica-propiedad-asociativa/
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=106366.0
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=14348.0

Para el segundo nota que:

\( A\cup B=(A\cap B^c)\cup (A^c\cap B) \)

Entonces:

\( A\cdot (B+C)=A\cap (B+C)=A\cap ((B\cap C^c)\cup (B^c\cap C))=(A\cap B\cap C^c)\cup (A\cap B^c\cap C) \)

\( A\cdot B+A\cdot C=(A\cap B)+(A\cap C)=(A\cap B\cap (A\cap C)^c)\cup (A\cap C\cap (A\cap B)^c)=\\
=
(A\cap B\cap (A^c\cup C^c))\cup (A\cap C\cap (A^c\cup B^c))=\\
=(A\cap B\cap A^c)\cup (A\cap B\cap C^c)\cup (A\cap C\cap A^c)\cup (A\cap C\cap B^c)=\\
=(A\cap B\cap C^c)\cup (A\cap C\cap B^c) \)

Y listo.

Saludos.