[pino_julisa]

Buenas tardes, este problema ya ha sido puesto en el foro con anterioridad; sin embargo no se respondió con la suficiente claridad (en parte debido a que el usuario que preguntó no colocó todo el enunciado). Debido a esto quiero traer de nuevo estas incógnitas que necesito resolver.

Considere el triángulo de la figura 3.2.



a) Demuestre, usando la trigonometría elemental que:

\( \begin{array}{rrrll}
{c cos(A)}&{}&{+a cos(C)}&{=b}\\
{b cos(A)}&{+a cos(B)}&{}&{=c}\\
{}&{c cos(B)}&{+b cos(C)}&{=a}\\
\end{array} \)

b) Si se piensa que el sistema del inciso a) es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, \( cos(A) \), \( cos(B) \) y \( cos(C) \), demuestre que el determinante del sistema es diferente de cero.

c) Utiliza la regla de Cramer para despejar \( cos(C) \).

d) Utilice el inciso c) para probar la ley de cosenos \( c^2=a^2+b^2-2abcos(C) \).

Gracias de antemano.
Mensaje corregido desde la administración.

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[electron]

Hola.

El apartado a) lo he hecho a mano porque necesitaba girar el triángulo para ver bien los 3 casos. En el dibujo original está muy clara la primera igualdad, mientras que las otras dos las he deducido suponiendo que \( C>90º \) sin pérdida de generalidad.



Para el b) el determinante del sistema es

\( |A|=\begin{equation}
\begin{vmatrix}
c & 0 & a\\
b & a & 0\\
0 & c & b
\end{vmatrix}
\end{equation}=2abc \)

fácilmente calculable con la misma regla de Sarrus o por propiedades de los determinantes. Dado que esto es un triángulo, obviamente \( a,b,c\neq 0 \), luego \( 2abc\neq 0 \).

Apartado c): aplicamos la regla de Cramer a la tercera incógnita, sustituyendo la tercera columna por la de los términos independientes:

\( cosC=\displaystyle\frac{\begin{equation}
\begin{vmatrix}
c & 0 & b\\
b & a & c\\
0 & c & a
\end{vmatrix}
\end{equation}}{|A|}=\displaystyle\frac{c(a^2+b^2-c^2)}{2abc}=\displaystyle\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \)

Apartado d): basta reordenar un poco el resultado y

\( 2abcosC=a^2+b^2-c^2 \)
\( c^2=a^2+b^2-2abcosC \)

Saludos.