Sea \( X \subset \mathbb{P}^n_k \) una variedad proyectiva y \( U \subset \mathbb{P}^1_k \) un abierto no vacío y sea \( \phi : U \longrightarrow X \) un morfismo. Quiero probar que \( \phi \) se puede extender a un morfismo \( \bar{\phi} : \mathbb{P}^1_k \longrightarrow X \), y que esta extensión es única.
He intentado aplicar el siguiente resultado para el caso particular de \( U=\mathbb{P}^1_k \setminus \{(0:1)\} \):
\( X \subset \mathbb{P}^n_k \) e \( Y \subset \mathbb{P}^m_k \) son variedades cuasi proyectivas, \( \phi : X \longrightarrow Y \) es un morfismo si, y solo si para todo \( x \in X \) existe un abierto \( V \subset X \) que contiene a \( x \) y \( f_0,...,f_m \in k[x_0,...,x_n] \) tales que \( \phi = (f_0,...,f_m) \) para todo \( z \in V \).
Tomando un punto en el entorno de \( (0:1) \) y definiendo \( \phi (0:1) \) con los polinomios que definen \( \phi \) en ese punto (sumando \( y^{grado(f_j)} \) si \( (0:1) \) anulara a todos los \( f_j \)), faltaría probar en este caso que esta definición no depende del punto escogido en el entorno de \( (0:1) \), que creo que podría argumentarse usando que los abiertos en la topología de Zariski son densos y los morfismos son contínuos.
¿Es esto correcto?, y ¿cómo podría extender el resultado para cualquier \( U \)?
No acabo de ver muy claro lo de tomar un punto en el entorno de \( (0:1) \). ¿Qué entorno? Porque dado cualquier punto distinto de \( (0:1) \) siempre hay un entorno de \( (0:1) \) que no lo contiene. Por otro lado no entiendo lo de "sumando \( y^{grado(f_j)} \) si \( (0:1) \) anula todos los \( f_j \)". Si haces eso estás cambiando el morfismo en puntos donde ya está definido, ¿no?
Lo que yo haría es lo siguiente. Toma un representante cualquiera del morfismo, que será de la forma \( \varphi(x:y)=(f_1(x,y): \ldots :f_n(x,y)) \), con los \( f_1,\dots,f_k \) polinomios homogéneos.
Ahora bien, el único problema que podemos tener para extender esto a todo \( \Bbb P^1_k \) es que haya puntos (fuera de \( U \)) donde todos los \( f_i \) se anulen a la vez. Pero si un polinomio homogéneo \( f(x,y) \) se anula en un punto \( (a,b) \) entonces es de la forma \( f(x,y)=(bx-ay)g(x,y) \) con \( g \) homogéneo (aquí asumo que \( k \) es algebraicamente cerrado, que es una suposición usual en este contexto; en mi opinión la forma más fácil de ver esto es deshomogeneizando primero).
Ahora, si los \( f_1,\dots,f_k \) se anulan a la vez en los puntos \( (a_1:b_1), \dots, (a_n:b_n) \) tendrás que \( f_i(x,y)=(b_1x-a_1y)\dots (b_nx-a_ny)g_i(x,y) \) para todo \( i=1\dots k \), donde ahora los \( g_i \) no se anulan todos a la vez en ningún punto.
Si defines \( \bar{\phi}(x:y)=(g_1(x,y): \ldots : g_k(x,y)) \) tienes un morfismo bien definido \( \bar{\phi}:\Bbb P^1_k \to \Bbb P^n_k \) que extiende a \( \phi \).
Añadido:Se me olvidó comentar la unicidad. Para esto funciona lo que dices. Por detallar un poco: si tienes dos extensiones \( \bar{\phi}, \bar{\phi}' \) el conjunto \( W=\{ (x:y) \in \Bbb P^1_k \mid \bar{\phi}(x:y)=\bar{\phi}'(x:y)\} \) es cerrado en la topología de Zariski, porque viene dado por la igualdad de los polinomios que definen \( \bar{\phi} \) y \( \bar{\phi}' \). Ahora bien, como ambos extienden a \( \phi \), \( U \subseteq W \) y como \( W \) es cerrado, \( \overline{U} \subseteq W \). Pero como \( U \) es denso, \( \Bbb P^1_k=\overline{U}=W \) y por tanto \( \bar{\phi} \) y \( \bar{\phi}' \) coinciden en todas partes.
