[Ezequiel Rangel]

En la página 292 del libro álgebra de Ivorra hay una nota que dice que no es necesario usar el lema de Zorn para probar que un cuerpo ordenado tiene clausura real (teorema 7.69) si es que el cuerpo es numerable. Pero en la prueba usamos que el cuerpo tiene una clausura algebraica (teorema 7.55), y eso requiere elección.

Mi pregunta es si la existencia de la clausura algebraica se puede probar sin necesidad del axioma de elección para cuerpos numerables

[Carlos Ivorra]

En la página 292 del libro álgebra de Ivorra hay una nota que dice que no es necesario usar el lema de Zorn para probar que un cuerpo ordenado tiene clausura real (teorema 7.69) si es que el cuerpo es numerable. Pero en la prueba usamos que el cuerpo tiene una clausura algebraica (teorema 7.55), y eso requiere elección.

Mi pregunta es si la existencia de la clausura algebraica se puede probar sin necesidad del axioma de elección para cuerpos numerables

Si \( k \) es un cuerpo numerable, también es numerable el anillo de polinomios \( k[x] \) (y esto se prueba sin el axioma de elección). Por lo tanto, existe una enumeración \( \{p_n(x)\}_{n=0}^\infty \) de todos los polinomios mónicos irreducibles de \( k[x] \).

Define una sucesión \( K_0=k \), \( K_{n+1}=K_n[x]/(p_n(x)) \). Así cada \( K_n \) es un cuerpo en el que \( p_n(x) \) tiene una raíz, y tenemos monomorfismos naturales \( i_n: K_n\longrightarrow K_{n+1} \).

Nada de esto requiere el axioma de elección, como tampoco lo requiere la construcción del límite directo \( K \) de esta sucesión, que es un cuerpo tal que existen monomorfismos \( j_n: K_n\longrightarrow K \) y \( K \) es la unión de sus imágenes. En particular, podemos ver a \( K \) como una extensión algebraica de \( k \) en la que todo polinomio de \( k[x] \) tiene una raíz. Entonces \( K \) es una clausura algebraica de \( k \), por el teorema 13.20 de mi libro de álgebra.

[Ezequiel Rangel]

¿Puedes detallar un poco en la definición del cuerpo K? En casos así se define como la unión de los \( K_n \), pero puesto así no funciona porque no es verdad que \( K_n\subseteq{K_{n+1}} \).

Se me ocurre que los elementos de K sean la unión de las clases de equivalencia de los \( K_n \), es decir, para cada p(x) tomo la unión de las clases de p(x) en los \( K_n \). ¿Estoy complicado todo?

[Carlos Ivorra]

¿Puedes detallar un poco en la definición del cuerpo K? En casos así se define como la unión de los \( K_n \), pero puesto así no funciona porque no es verdad que \( K_n\subseteq{K_{n+1}} \).

Se me ocurre que los elementos de K sean la unión de las clases de equivalencia de los \( K_n \), es decir, para cada p(x) tomo la unión de las clases de p(x) en los \( K_n \). ¿Estoy complicado todo?

Tenemos una sucesión de cuerpos \( \{K_n\}_{n=0}^\infty \) y monomorfismos \( i_{n,n+1}:K_n\longrightarrow K_{n+1} \). Más en general, si \( m< n \), podemos definir \( i_{m,n}: K_m\longrightarrow K_n \) como la composición de los monomorfismos \( i_{m,m+1},\ldots i_{n-1,n} \) y si llamamos \( i_{n,n}:K_n\longrightarrow K_n \) a la identidad, tenemos definidos \( i_{m,n}:K_m\longrightarrow K_n \) para todo \( m\leq n \), de modo que \( i_{n_1, n_2} \)  seguido de \( i_{n_2, n_3} \) es lo mismo que \( i_{n_1, n_3} \).

Ahora mira la sección 4.4 de mi libro de Topología algebraica. (Sólo necesitas el principio, desde la definición 4.23 hasta el teorema 4.26, que no dependen de nada de lo anterior.)

Lo que tenemos es un ejemplo de sistema inductivo de módulos en el sentido de 4.23 tomando como conjunto dirigido el de los números naturales con el orden usual (considerando los cuerpos como \( K_0 \)-módulos,  es decir, como \( k \)-espacios vectoriales).

El teorema 4.24 te dice cómo construir (sin el axioma de elección) un límite inductivo \( K \) que, en principio, es un \( k \)-espacio vectorial en el que tenemos definidos monomorfismos \( i_n: K_n\longrightarrow K \) de modo que, por el teorema 4.26, \( K \) es la unión de las imágenes \( i_n[K_n] \).

El hecho de que los \( i_{m,n} \) sean realmente monomorfismos de cuerpos (no sólo de \( k \)-espacios vectoriales), permite dotar a cada \( i_n[K_n] \) de estructura de cuerpo de modo que cada \( i_n \) sea un isomorfismo de cuerpos y cada \( i_n[K_n] \) es un subcuerpo del siguiente, y entonces \( K \) es también un cuerpo, y es la clausura algebraica que buscamos.

Si algo no está claro pregunta.

[Ezequiel Rangel]

Acabo de leer el 4.24 y 4.26. Me falta revisar 13.20 de álgebra.

Quizás no entendí algo sobre el teorema 4.26, pero me pareció que en realidad era una consecuencia inmediata de la construcción de 4.24.

[Carlos Ivorra]

Quizás no entendí algo sobre el teorema 4.26, pero me pareció que en realidad era una consecuencia inmediata de la construcción de 4.24.

Sí, puedes deducir 4.26 de la definición de límite inductivo o de la construcción concreta dada en 4.24.

[Ezequiel Rangel]

No entiendo el último párrafo de 13.20. Cuando dice \( \beta\in{K_s} \), ¿eso no es lo que se quiere probar? Creo que una errata, porque igual se puede probar que hay otra raíz \( \beta'\in{K} \) , pero aún así no veo cómo llegar a \( L=k(\beta ') \)

[Carlos Ivorra]

No entiendo el último párrafo de 13.20. Cuando dice \( \beta\in{K_s} \), ¿eso no es lo que se quiere probar? Creo que una errata, porque igual se puede probar que hay otra raíz \( \beta'\in{K} \) ,

Sí, es una errata. Debe decir \( \beta \in L_s \). Ahora no puedo corregirla. Esta noche lo haré.

pero aún así no veo cómo llegar a \( L=k(\beta ') \)

Tienes que \( \beta'\in L_s = k(\beta) \), luego \( k\subset k(\beta')\subset k(\beta)=L_s \), pero \( \beta \) y \( \beta' \) tienen el mismo polinomio mínimo sobre \( k \), luego \( |k(\beta): k|=|k(\beta'):k| \), luego \( |k(\beta):k(\beta')|=1 \), luego \( k(\beta')=k(\beta)=L_s \).

[Ezequiel Rangel]

Listo, gracias por responder.

[Ezequiel Rangel]

No sé si debería publicar esta pregunta aparte, pero es que la duda es justo del teorema siguiente: el 7.71


En el se utiliza que todo cuerpo arquimediano es isomorfo a un subcuerpo de \( \mathbb R \), pero el teorema 1.43 de análisis prueba que lo es como cuerpo métrico, no como cuerpo ordenado. (El 7.68 también se utiilizaba)