Lamento molestar, ¿éste está bien?

Dados los monoides $$\left(\mathbb{R}^3,+\right)$$ y $$\left(\mathbb{R}^2,+\right)$$ y la función $$f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$$ dada por $$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_3, x_2-x_3\right)$$
- Averiguar si $$f$$ es un morfismo de $$(\mathbb{R}^3,+)$$ en $$(\mathbb{R}^2,+)$$
- En caso afirmativo encontrar $$\operatorname{Ker}(f)$$ e $$\operatorname{Im}(f)$$



Para determinar si la función $$ f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $$ dada por $$ f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-x_3, x_2-x_3\right) $$ es un morfismo de monoides, necesitamos verificar si preserva la operación de suma. Es decir, para cualquier par de elementos $$ (a_1, a_2, a_3), (b_1, b_2, b_3) \in \mathbb{R}^3 $$, se debe cumplir que:

$$
f\left((a_1, a_2, a_3) + (b_1, b_2, b_3)\right) = f\left(a_1, a_2, a_3\right) + f\left(b_1, b_2, b_3\right)
$$

Al realizar la suma y aplicar la función, obtenemos:

$$
f\left((a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3)\right) = \left((a_1+b_1)-(a_3+b_3), (a_2+b_2)-(a_3+b_3)\right)
$$

Por otro lado, sumando las imágenes de los elementos por separado:

$$
f\left(a_1, a_2, a_3\right) + f\left(b_1, b_2, b_3\right) = \left(a_1-a_3, a_2-a_3\right) + \left(b_1-b_3, b_2-b_3\right) = \left((a_1-a_3)+(b_1-b_3), (a_2-a_3)+(b_2-b_3)\right)
$$

Como ambas expresiones son iguales, podemos concluir que $$f$$ es un morfismo de $$(\mathbb{R}^3,+)$$ en $$(\mathbb{R}^2,+)$$.

Ahora, para encontrar el núcleo de $$f$$, buscamos todos los elementos de $$\mathbb{R}^3$$ que se mapean al elemento neutro en $$\mathbb{R}^2$$, que es $$(0,0)$$:

$$
\operatorname{Ker}(f) = \{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid f(x_1, x_2, x_3) = (0,0) \}
$$. Esto nos lleva a las siguientes ecuaciones:

$$
x_1 - x_3 = 0 \\
x_2 - x_3 = 0
$$

De aquí, podemos deducir que \( x_1 = x_3 \) y \( x_2 = x_3 \). Por lo tanto, cualquier elemento en \( \mathbb{R}^3 \) de la forma \( (x, x, x) \) estará en el núcleo de \( f \). Así, el núcleo de \( f \) es:

$$
\operatorname{Ker}(f) = \{ (x, x, x) \mid x \in \mathbb{R} \}
$$

Ahora, para encontrar la **imagen** de \( f \), consideramos el rango de valores que \( f \) puede tomar. Dado que \( f \) está definida por \( f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 - x_3, x_2 - x_3) \), cualquier par ordenado \( (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2 \) puede ser obtenido eligiendo \( x_3 \) libremente y ajustando \( x_1 \) y \( x_2 \) para que \( x_1 - x_3 = y_1 \) y \( x_2 - x_3 = y_2 \). Por lo tanto, la **imagen** de \( f \) es todo \( \mathbb{R}^2 \):

$$
\operatorname{Im}(f) = \mathbb{R}^2
$$

Con esto, hemos determinado que \( f \) es un morfismo de monoides y hemos encontrado su núcleo e imagen.

Mensaje de la moderación: se ha corregido ligeramente el \( \LaTeX \), la ortografía y se ha cambiado el título por uno más informativo.

Hola esto esta bien:
Resuelva los siguientes ejercicios, justificando cada paso en las demostraciones:
1. Muestre que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos a y b con la operación binaria de concatenación es un monoide.

Exercise 1.62: Let $$\mathbb{T}_S^n$$ denote the set of terms in $$n$$ variables whose coefficients are elements of the set $$S$$. For example, $$2 x y \in \mathbb{T}_{\mathrm{Z}}^2$$ and $$\pi x^3 \in \mathbb{T}_{\mathbb{R}}^1$$.
(a) Show that if $$S$$ is a monoid, then so is $$T_S^n$$.
(b) Show that if $$S$$ is a monoid, then $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$.
Exercise: Let $$S, T, U$$, and $$V$$ be sets and let $$X \subseteq S \times T, Y \subseteq T \times U$$, and $$Z \subseteq U \times V$$ be subsets. Define
$$
X * Y:=\{(s, u) \in S \times U \mid \exists t \in T:(s, t) \in X \text { and }(t, u) \in Y\} \subseteq S \times U .
$$

Show that
$$
(X * Y) * Z=X *(Y * Z) .
$$
(b) Let $$S$$ be a set. Show that $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ is a monoid. Is it commutative?
(c) What are the invertible elements in the monoid of Part (b)?



1-Para demostrar que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos "a" y "b" con la operación binaria de concatenación es un monoide, debemos mostrar que cumple con las propiedades de un monoide:

1. **Asociatividad:** La operación de concatenación de cadenas es asociativa, es decir, para toda $$x, y, z$$ cadenas, $$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$$.

2. **Elemento neutro:** La cadena vacía $$\varepsilon$$, que no contiene ningún símbolo, actúa como el elemento neutro en esta operación, es decir, para toda cadena $$x$$, se cumple que $$x \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot x = x$$.

Veamos la demostración de cada propiedad:

1. **Asociatividad:**
   - Sean $$x, y, z$$ cadenas formadas por los símbolos "a" y "b".
   - Entonces, $$(x \cdot y) \cdot z$$ representa la concatenación de $$(x \cdot y)$$ con $$z$$.
   - Observamos que la asociatividad de la concatenación de cadenas nos asegura que $$(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$$.
   - Por lo tanto, la operación de concatenación es asociativa en este conjunto.

2. **Elemento neutro:**
   - La cadena vacía $$\varepsilon$$ es el elemento neutro en la operación de concatenación.
   - Para cualquier cadena $$x$$ formada por los símbolos "a" y "b", se cumple que $$x \cdot \varepsilon = \varepsilon \cdot x = x$$.
   - Por lo tanto, la cadena vacía $$\varepsilon$$ actúa como el elemento neutro en este conjunto.

Dado que hemos demostrado que el conjunto de cadenas formadas por los símbolos "a" y "b" con la operación binaria de concatenación cumple con las propiedades de un monoide, podemos concluir que este conjunto forma un monoide.

1.62:
(a) Para demostrar que si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n$$ también lo es, necesitamos verificar dos propiedades: la propiedad cerrada bajo la operación y la existencia de un elemento neutro.

1. **Propiedad cerrada bajo la operación:** Dado que los elementos de $$\mathbb{T}_S^n$$ son términos en $$n$$ variables cuyos coeficientes son elementos de $$S$$, la operación de multiplicación entre términos también dará como resultado un término en $$n$$ variables con coeficientes en $$S$$.
   
2. **Existencia de un elemento neutro:** El elemento neutro en $$\mathbb{T}_S^n$$ es el término que tiene coeficientes neutros del monoide $$S$$. Por ejemplo, si $$S$$ tiene un elemento neutro $e$, entonces el término neutro en $$\mathbb{T}_S^n$$ sería $$ex_1x_2\ldots x_n$$.

Por lo tanto, si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n$$ también lo es.

(b) Para demostrar que si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$, necesitamos encontrar una biyección entre los conjuntos.

Definimos la función $$\phi: \mathbb{T}_S^n \rightarrow S \times \mathbb{M}_n$$ como sigue:
- Para un término $$t$$ en $$\mathbb{T}_S^n$$, asignamos a $$\phi(t)$$ el par $$(c, m)$$, donde $$c$$ es el coeficiente de $$t$$ y $$m$$ es la matriz de coeficientes restantes de $$t$$.

Es claro que $$\phi$$ es biyectiva, ya que podemos recuperar el término original a partir de $$(c, m)$$, multiplicando $$c$$ por la matriz de coeficientes $$m$$.

Por lo tanto, si $$S$$ es un monoide, entonces $$\mathbb{T}_S^n \cong S \times \mathbb{M}_n$$.

Ahora, pasemos al ejercicio 1.63.

Para demostrar la igualdad $$(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$$, primero consideremos un elemento $$(s, u)$$ en $$(X * Y) * Z$$. Esto significa que existe un elemento $$t$$ tal que $$(s, t) \in X$$ y $$(t, u) \in Y * Z$$. Pero si $$(t, u) \in Y * Z$$, entonces existe un elemento $$v$$ tal que $$(t, v) \in Y$$ y $$(v, u) \in Z$$. Por lo tanto, $$(s, t) \in X$$ y $$(t, v) \in Y$$, lo que implica que $$(s, u) \in X * (Y * Z)$$.

De manera similar, podemos demostrar la otra inclusión. Entonces, $$(X * Y) * Z = X * (Y * Z)$$.

(b) Ahora, para demostrar que $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide, primero notamos que $$\mathcal{P}(S \times S)$$ es el conjunto de todos los subconjuntos de $$S \times S$$. La operación $$*$$ definida anteriormente toma dos subconjuntos y produce un nuevo subconjunto.

Para verificar que $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide, debemos demostrar las dos propiedades:
1. **Propiedad cerrada bajo la operación $$*$$:** La operación $$*$$ toma dos subconjuntos de $$S \times S$$ y produce otro subconjunto de $$S \times S$$, por lo que la propiedad cerrada se cumple.
2. **Existencia de un elemento neutro:** El elemento neutro sería el conjunto vacío $$\emptyset$$, ya que para cualquier conjunto $$X$$, $$X * \emptyset = \emptyset * X = \emptyset$$.

Por lo tanto, $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ es un monoide.

(c) Los elementos invertibles en el monoide $$(\mathcal{P}(S \times S), *)$$ son aquellos conjuntos que tienen elementos que pueden ser invertidos por otros elementos. En este caso, el conjunto $$\{ (a, a) \mid a \in S \}$$ es invertible ya que cada elemento $$(a, a)$$ tiene un inverso $$(a, a)$$ que al multiplicarlo produce el conjunto $$\{(a, a)\}$$. Sin embargo, este monoide no es conmutativo, ya que la operación $$*$$ depende del orden de los elementos.

 Entiendo gracias

Sera asi

Entiendo y la integral que planteastes para que se puede usar

Como aplico el Teorema sobre convergencia de la integral de Fourier de una función o como directamente calculo la integral es posible simple.

Esta bien esa armonica conjugada que plantie anteriormente.

Hola la armonica conjugada que obtuve del primer problema  me  dio $$\frac{x}{x^2+y^2}$$
De donde
$$v(x, y)=\frac{x}{x^2+y^2}+x+i(\frac{x}{x^2+y^2}+K)$$ esta esto bien

¿Esa tiene armónica conjugada? No me sale.

Entiendo gracias