Rincón Matemático

Matemática => Álgebra => Mensaje iniciado por: hfernandes en 01 Mayo, 2023, 11:37 pm

Título: Componer un giro y una reflexión.
Publicado por: hfernandes en 01 Mayo, 2023, 11:37 pm
Hola, buen día gente, estoy tratando de resolver un TP para la facu y no lo estoy logrando y no se donde esta el error.
Es de Algebra lineal grupos y geometría

Tengo el siguiente planteo que adjunto en imágenes (una figura geométrica de 8 vértices)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=123587.0;attach=27417)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=123587.0;attach=27419)

Y el problema pide la composición de (\( g_3 \circ r_4 \)), dando las opciones:

a) \( g_6 \)    b) \( g_7 \)    c) \( r_7 \)    d) \( r_5 \).
La cual planteo de la siguiente forma:

\( g_3\equiv \begin{array}{cccccccc}
A&B&C&D&E&F&G&H\cr
G &H &E &F& D& A &B &C\cr
\end{array} \)

\( r_4\equiv \begin{array}{cccccccc}
A&B&C&D&E&F&G&H\cr
C &B &A& D& F& E &H& G\cr
\end{array} \)

\( g_3\circ r_4\equiv \begin{array}{cccccccc}
A&B&C&D&E&F&G&H\cr
E &H &G &F& A& D& C& B\cr
\end{array} \)
                           
Y de acuerdo a las opciones de respuestas ninguna es correcta.
¿Estoy mal en mi planteo ?
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas (http://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=678.0) del mismo así como el tutorial del LaTeX (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=870.0) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Título: Re: Componer un giro y una reflexión.
Publicado por: manooooh en 01 Mayo, 2023, 11:45 pm
Hola hfernandes, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=678.0) del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=55682.0) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Está prohibido subir imágenes que reemplacen expresiones matemáticas, y las que se puedan deben insertarse explícitamente en el mensaje. Más información aquí (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=3659.0).


Cita de: hfernandes en 01 Mayo, 2023, 11:37 pm
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=123587.0;attach=27417)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=123587.0;attach=27419)

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=123587.0;attach=27421)

Cita de: hfernandes en 01 Mayo, 2023, 11:37 pm
La cual planteo de la siguiente forma:

---      A   B   C   D   E   F   G   H
G3      G   H   E   F   D   A   B   C
                           
---      A   B   C   D   E   F   G   H
R4      C   B   A   D   F   E   H   G
                           
--------   A   B   C   D   E   F   G   H
G3 * R4   E   H   G   F   A   D   C   B

Y de acuerdo a las opciones de respuestas ninguna es correcta.
Estoy mal en mi planteo ?

¿Cómo te definieron la composición? En el caso de \( g_3\circ r_4 \), ¿se aplica primero \( r_4 \) y luego \( g_3 \) o al revés?

Saludos
Título: Re: Componer un giro y una reflexión.
Publicado por: hfernandes en 01 Mayo, 2023, 11:49 pm
Gracias por acomodar las imágenes.

En la teoria aclara que siempre se ejecuta de derecha a izquierda, por lo que realice primero \( r_4 \) y luego \( g_3 \).
Título: Re: Componer un giro y una reflexión.
Publicado por: manooooh en 02 Mayo, 2023, 12:36 am
Hola

Suponiendo que lo que te piden es aplicar a la figura cuya punta superior es la E, luego B, luego F luego C ... (en el sentido de las agujas del reloj) entonces:

1º Le aplicamos \( r_4 \) que es una reflexión sobre la recta BD. Queda como en la figura de \( r_4 \).

2º Sobre \( r_4 \) le aplicamos \( g_3 \), es decir aplicamos un giro de 135º, donde cada vértice de la posición \( i \) aparece en la posición \( i+3 \) hacia la derecha (se corre 3 lugares en el sentido de las agujas del reloj). Resulta \( r_7 \).

Es decir \( g_3\circ r_4=r_7 \).

Si quieres hacerlo mediante matrices, mejor espera la ayuda de alguien más.

Saludos
Título: Re: Componer un giro y una reflexión.
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Mayo, 2023, 09:25 am
Hola

Cita de: hfernandes en 01 Mayo, 2023, 11:37 pm
\( g_3\equiv \begin{array}{cccccccc}
A&B&C&D&E&F&G&H\cr
´\color{red}G\color{black} &H &E &F& D& A &B &C\cr
\end{array} \)

\( r_4\equiv \begin{array}{cccccccc}
A&B&C&D&E&F&G&H\cr
C &B &A& D& F& E &H& G\cr
\end{array} \)

\( g_3\circ r_4\equiv \begin{array}{cccccccc}
A&B&C&D&E&F&G&H\cr
E &H &G &F& A& D& C& B\cr
\end{array} \)
                           
Y de acuerdo a las opciones de respuestas ninguna es correcta.
¿Estoy mal en mi planteo ?

El problema es que si en esas tablas está pretendiendo respresentar cada permutación a donde lleva cada vértice, entonces no están bien escritas.

Por ejemplo el giro \( g_3 \) lleva al vértice \( A \) a la posición donde antes estaba el vértice \( F \) entonces en la primera columna, debería de estar una \( F \) debajo de la \( A \).

Lo que tu has escrito es justo lo contrario, es decir, que vértice queda en la posición donde antes estaba \( A \): tu escribes una \( G \) debajo de la \( A \) porque \( g_3(G)=A \) (y sin embargo lo estás interpretando de al revés \( g_3(A)=G \), lo cuál está mal).

Saludos.