[özel kiz]

1. Sean \( f_1(x),f_2(x),...f_m(x) \), funciones derivables con \( m \in{\mathbb{N}}. \)

a) Encuentra una regla para derivar el producto:

\( g(x)=(f_1\cdot{\cdot{\cdot{f_m}}})(x) \)

b) Demuestra que si \( f'_j(x)\neq{0} \) para cualquier \( 1\leq{j\leq{m}} \), entonces:

\( \displaystyle\frac{g'}{g}(x)=\displaystyle\frac{f'_1}{f_1}(x)+...+\displaystyle\frac{f'_m}{f_m}(x) \)

[escarabajo]

Hola.

Podes tomar un caso simple, e ir generalizando. Para \( m=2 \)

\( g(x)=f_1f_2(x) \Rightarrow g'(x)=f_1'f_2+f_2'f_1 \)

Para demostrarlo: Aplica el límite del cociente incremental

Spoiler

\( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{}\displaystyle\frac{f_1(x+h)f_2(x+h)-f_1f_2(x)}{h} \)

En el numerador la idea es sumar y restar: \( f_2(x+h)f_1 \)

[cerrar]

Luego, para el caso \( m=3 \)

\( g(x)=(f_1f_2)f_3 \Rightarrow g'=(f_1f_2)'f_3+f_3'(f_1f_2)=(f_1'f_2+f_2'f_1)f_3+f_3'(f_1f_2)=\displaystyle f_1'\frac{g}{f_1}+f_2'\frac{g}{f_2}+f_3'\frac{g}{f_3} \)

¿Se entiende la idea?

Si es así, la 2da parte debíera salir rapidito. 

Saludos.