Hola 0_kool.
No veo cómo aplicar la fórmula de Herón en el problema (al menos no de forma fácil). Por otro lado, nota que los datos relacionados con \( \overline{BC} \) y \( \overline{BD} \) son irrelevantes (podríamos borrar esos segmentos y la respuesta a la pregunta del problema no cambiaría).
Una forma de resolverlo es primero deducir, usando el teorema de Pitágoras, que \( AD=12. \) Luego el área del triángulo \( ACD \) es \( \frac{1}{2}\times12\times16=96. \) Finalmente como \( F \) es punto medio de \( \overline{AC} \) las áreas de los triángulo \( ADF \) y \( DFC \) son iguales. De esto concluimos que el área del triángulo \( ADF \) es ... (termina y si tienes dudas, pregunta).
Saludos,
Enrique.