Trataré de ir de lo más simple a lo más delicado:
A propósito, los términos también son fórmulas, pueden tomarse como tales; así lo hacía yo.
Sin duda cualquiera puede usar las palabras con cualquier significado siempre que lo aclare, pero debes ser consciente de que llamar fórmulas a los términos contradice todos los estándares. Por ejemplo, aquí:
http://en.wikipedia.org/wiki/Well-formed_formulaTienes la definición de término previa a la definición de fórmula, (donde dice "predicate logic"), y en toda la página no verás un uso de la palabra "fórmula" que incluya a los términos. Lo mismo sucede en todos los libros de lógica que yo conozco.
Segundo. La noción de interpretación formal (distinguida de la de modelo como yo apuntaba) está bien definida en la semántica formal (http://en.wikipedia.org/wiki/Interpretation_(logic)).
Pues no veo la diferencia. El contenido de la página que citas es totalmente estándar y coincide con lo que yo te decía. Si lees el apartado "interpretations of a first-order language" introduce lo que tú llamabas interpretación y dice que eso se llama estructura o modelo (yo lo llamo modelo). No veo dónde está la supuesta diferencia entre interpretación y modelo. Lo más parecido que encuentro está al principio, cuando dice:
If a given interpretation assigns the value True to a sentence or theory, the interpretation is called a model of that sentence or theory.
En esos términos, hay una ligera diferencia de vocabulario respecto del que yo usaba, y es que a lo que ahí llama interpretación yo lo llamo modelo de un lenguaje, y lo que ahí llama modelo yo lo llamo modelo de una sentencia o teoría. Pero eso no cuadra con lo que decías al respecto de la diferencia entre modelo e interpretación:
Yo diría que el concepto de modelo es más general que el de interpretación: los modelos son interpretaciones pero quizá no todas las interpretaciones sean modelos. Solemos entender que la existencia de un modelo asegura la consistencia de un conjunto de fórmulas. Pero sea L el lenguaje de la lógica de proposiciones (en alguna de sus versiones): la interpretación usual de L nos permite leer las fórmulas y convertirlas en proposiciones pero no asegura la consistencia de nada. Yo puedo dar una interpretación del conjunto {'p->p', '¬(p->p)'} sin estar ofreciendo un modelo que asegure su consistencia.
Si hemos de entender "interpretación de un conjunto de dos fórmulas" en el sentido de la página que citas de la Wikipedia, eso es precisamente lo que allí se llama modelo de esas fórmulas, y sí que garantiza su consistencia.
Por otra parte, aunque en la introducción la página parece distinguir entre interpretación y modelo (pero, ciertamente, no de forma consistente con la distinción que pretendes establecer), cuando más adelante habla de "interpretations of a first-order language", se refiere (como es usual) a una serie de criterios para asignar un significado a cada signo del lenguaje, y luego dice que a eso se le llama estructura, o signatura, o modelo (que es como lo llamo yo).
Luego da un ejemplo de interpretación que es justo lo que yo llamo un modelo. Por lo tanto, si tú dices hablar del concepto de interpretación en el sentido de esa página, eso es lo mismo que yo llamo modelo, y todas las objeciones que te ponía siguen vigentes a menos que encuentres un sentido de la palabra "interpretación" que no sea ése, que es el estándar.
La cuestión es si realmente necesitamos saber más de lo que es una interpretación para saber que un mecanismo equiparable a la mente humana necesita usar una para interpretar el lenguaje que usa.
No es que necesitemos saber más, es que ese sentido (estándar) de la palabra interpretación no sirve, por las razones que te explicaba. Vale que un matemático, cuando razona, no opera con cadenas de signos como si fueran letras chinas, es evidente que usa un sistema conceptual para hacer asociaciones entre ideas que no encaja en el lenguaje formal de la teoría de conjuntos (lo cual no significa que no sea descriptible por un lenguaje formal diseñado, no para hablar de conjuntos, sino de cerebros y/o ordenadores), pero para analizar en qué consiste ese razonamiento conceptual humano no sirve de nada el concepto estándar de interpretación de los lenguajes de primer orden, por lo menos no si lo aplicamos a ZFC, porque todo matemático te confirmará que no es posible (en particular, no es humanamente posible) definir una interpretación del lenguaje de ZFC que cumpla los axiomas de ZFC y, si no te entiendo demasiado mal, eso es lo que tú pretendes afirmar, que los matemáticos manejan una interpretación del lenguaje de la teoría de conjuntos que hace verdaderos los axiomas (y los teoremas) de ZFC.
Así pues, si bien admito que "en cierto sentido" los matemáticos trascienden el lenguaje formal de la teoría de conjuntos cuando razonan sobre conjuntos, creo que es indiscutible que "ese sentido", tiene que ser precisado en los términos que emplea la inteligencia artificial, o la psicología, si quieres, pero no en los términos de manejar una interpretación o modelo, o como quieras llamarla, en el sentido estándar de la lógica de primer orden, porque es un hecho objetivo que nadie puede afirmar que conozca una tal interpretación.
Pero con esto me estoy acercando a la primera cuestión, que había dejado para tratar después de ésta:
Primero. Carlos, si niegas que los humanos interpretamos semánticamente el lenguaje que usamos, incluso cuando demostramos teoremas en la práctica matemática habitual, niegas lo evidente. No le veo sentido a seguir discutiendo esto, perdóname: es demasiado surrealista para mí.
Es cierto que tengo mis propias opiniones filosóficas sobre la fundamentación de la matemática, pero no acostumbro a colarlas en mis argumentaciones, por lo menos no sin avisar de que introduzco un elemento subjetivo en el discurso. Creo que puedo afirmar que lo que llamas "demasiado surrealista" son hechos que admitirá cualquier matemático, salvo que pertenezca a alguna escuela "surrealista" minoritaria.
Lo único que he afirmado es lo que estaba diciendo antes y que los matemáticos no son capaces de concretar un significado para al menos una gran parte de los objetos que manejan. Por mucho que le preguntes a un matemático a qué está llamando "conjunto de todos los números reales" nunca te podrá dar una respuesta como la que te puede dar un biólogo cuando le preguntas a qué está llamando "orangután". Si dos biólogos discrepan sobre si los orangutanes tienen tal característica o no la tienen, siempre podrán observar una muestra de orangutanes y dilucidar la cuestión, incluso si dos matemáticos no saben si un número de 900 cifras es primo, aquí en este foro hay algunos usuarios que le sabrían zanjar la cuestión de forma inapelable en unos segundos, pero si dos matemáticos discrepan sobre algo como si \( \mathbb R \) tiene subconjuntos infinitos de cardinales distintos, entonces nadie puede decir que uno tiene razón y otro está equivocado, y no es el mismo caso de un biólogo que no pueda saber si en el fondo de la fosa de las Marianas vive cierta clase de bichos porque está muy lejos para mirar, no es que \( \mathbb R \) esté "demasiado lejos", sino que no existe una interpretación estñandar de \( \mathbb R \), no hay nada que los matemáticos puedan decir "cuando digo \( \mathbb R \) me refiero a esto".
Bueno, rectifico un poco porque he colado una opinión subjetiva: he dicho que no existe una interpretación estándar de \( \mathbb R \). Para no salirme de lo que todo matemático admitirá debo decir que, aunque algunos matemáticos crean que existe una interpretación estándar de \( \mathbb R \), todos reconocen que no la conocen como para saber cuál es, y admiten que, aunque existiera una estándar, también existirían otras no estándar, con propiedades distintas, y que no tienen criterios para saber cuál es "la buena", si es que creen que alguna es "la buena".
Esto hace que no tenga sentido hablar, como pretendes, de "la interpretación I que usa un matemático cuando razona en teoría de conjuntos", por lo menos no si I tiene que ser lo que se describe en la página que citas. Porque si es eso, ningún matemático sabe precisar ninguna de las muchas posibles (si suponemos que existe alguna) y a lo más que llegan algunos matemáticos (los platonistas, que no son todos) es a creer que, aunque hay muchas, hay una especial, en algún sentido que no pueden precisar objetivamente y que no saben concretar.
Si mantienes que tu I no es más que lo que se describe en la página que citas, es decir, una interpretación del lenguaje de la teoría de conjuntos que hace verdaderos sus axiomas, entonces insisto en que lo único que has demostrado es que toda interpretación I determina conjuntos que no están en su universo de discurso, y ese teorema es demostrable en ZFC, porque en ZFC se puede definir el concepto de interpretación y formalizar en él todo tu razonamiento. Por lo tanto, no has demostrado nada que no pueda demostrar una máquina, y nada que no pudiera entender una hipotética máquina capaz de superar el test de Turing.
Tercero. Demostrar que para todo natural hay un primo mayor no es lo mismo que demostrar que el conjunto de los primos es infinito, aunque solo sea porque lo segundo implica afirmar que tal conjunto existe. Por tanto, no veo que AP pueda realmente demostrar cosas sobre el conjunto de los primos.
Si hay que entender esto como una objeción superficial, es decir, si hubieras dado por bueno que hubiera dicho que AP demuestra que "hay infinitos primos", sin usar la palabra "conjunto", creo que puedo decir que ningún matemático consideraría relevante la diferencia entre una expresión y otra.
Si hay que entenderlo como una cuestión más de fondo, esto entronca con lo siguiente que planteas:
Por favor, expícame cómo puede ZFC demostrar cosas de objetos que no están en su universo de discurso (aunque la presencia de un universo de discurso implica la presencia una de esas puñeteras interpretaciones).
Respecto al paréntesis final, no necesariamente. Por ejemplo, cualquier matemático considerará correcto decir que en ZFC puede probarse que existen infinitos cardinales infinitos, pero al mismo tiempo, en ZFC se demuestra que no existe el conjunto de todos los cardinales infinitos.
Si consideramos como "objeto" "la clase de todos los cardinales infinitos", entonces en ZFC es posible hablar de ese "objeto", en el sentido de demostrar, por ejemplo, que no tiene un máximo elemento, o que, con las definiciones usuales, está contenido en otro "objeto", la clase de todos los ordinales, etc., pero hay un teorema de ZFC que dice que no existe ningún conjunto cuyos elementos sean todos los cardinales infinitos, y hasta aquí todo lo que he dicho puede entenderse en términos puramente sintácticos, sin meter interpretaciones por medio, pero, en cuanto las metemos, la consecuencia de lo anterior es que si I es cualquier interpretación de ZFC (es decir, un modelo de ZFC, en el sentido de la página de la wikipedia que has citado) ninguno de los objetos de su universo de discurso es la clase de todos los cardinales, porque el teorema que he citado se interpreta precisamente así, como que ninguno de los objetos del universo de discurso es tal clase.
¿Cómo demuestra ZFC cosas sobre la clase de todos los conjuntos? Verás cómo tan pronto describas una manera de hacerlo estarás introduciendo a esa clase en el universo de discurso de la interpretación que en ese momento estés utilizando. Pero por favor, intenta explicarlo, me interesa muchísimo y te lo agradecería otro tanto.
Pues en ZFC es costumbre llamar \( V \) a la clase de todos los conjuntos, lo cual hay que entenderlo como que la fórmula \( x\in V \) es sólo una abreviatura de \( x=x \). Y cualquier matemático aceptará que en ZFC puede demostrarse que \( \mathcal PV=V \), lo cual tiene que ser entendido como una abreviatura de la fórmula
\( \forall x(x\subset V\leftrightarrow x\in V) \),
la cual es a su vez una abreviatura de
\( \forall x(\forall u(u\in x\rightarrow u\in V)\leftrightarrow x\in V) \),
la cual es a su vez una abreviatura de
\( \forall x(\forall u(u\in x\rightarrow u=u)\leftrightarrow x=x) \)
Y así resulta que, pese a lo que pueda parecer, la fórmula \( \mathcal PV=V \), tal y como la conciben los matemáticos, no es sino la fórmula (ojo, no digo que sea equivalente a, sino que es la misma que)
\( \forall x(\forall u(u\in x\rightarrow u=u)\leftrightarrow x=x) \)
en la que no aparece ninguna clase propia. La fórmula \( \mathcal PV=V \) significa que en el universo de discurso de una interpretación cualquiera de ZFC se cumple la fórmula precedente, en la que no aparece \( V \).
No podemos "introducir" \( V \), como pretendes, en el universo de discurso de una interpretación de ZFC, porque hay un teorema de ZFC que lo prohíbe (el teorema que dice que no existe ningún conjunto que contenga a todos los conjuntos). Puedes "introducir" clases propias en un modelo de ZFC, pero con eso obtienes un modelo de otra teoría, concretamente NBG, pero el caso es que no necesitas hacerlo. Los expertos en teoría de conjuntos afirman muchas cosas sobre V y otras clases propias y al mismo tiempo sostienen (legítimamente) que están razonando en ZFC, de modo que dichas clases no tienen cabida en el universo de discurso de cualquier interpretación, al menos de cualquier interpretación en el sentido de la página de la wikipedia que has citado.
Cuarto. Me llama la atención tu afirmación en la respuesta 3 de que nadie PUEDE demostrar la consistencia de ZFC. Eso sugiere que crees que es consistente porque si lo creyeras inconsistente, sabrías que ZFC demuestra su propia consistencia y que algún matemático podría encontrar esa demostración algún día. Pero ¿por qué crees que es consistente si crees que esa consistencia es indemostrable?
No es exactamente así (lo que dices que creo). En un sentido obvio, cualquiera puede demostrar que ZFC es consistente. Voy a demostrarlo:
Parto como axioma de que 2+2=5.
Demuestro que 2 + 2 = 4.
Tengo una contradicción, y como de una contradicción se sigue cualquier cosa, concluyo que ZFC es consistente.
Eso es una "demostración" de que ZFC es consistente, pero no convence a nadie.
Un caso menos radical:
En ZFC + "existe un cardinal inaccesible" se puede demostrar que ZFC es consistente, porque se puede construir un modelo de ZFC.
Pero eso tampoco convence a nadie de que ZFC es consistente, porque ZFC más la existencia de un cardinal inaccesible es una teoría más fuerte incluso que ZFC.
Cuando decía que nadie puede demostrar que ZFC es consistente, no me refería a demostrar en ZFC, sino a dar un argumento que convenza a quien lo analiza de que ZFC es consistente. Te he dado dos demostraciones de la consistencia de ZFC, pero ninguna es convincente. La primera es tonta, y la segunda es un teorema no trivial de ZFC, a saber, que
\( \exists \kappa\ \kappa \) es un cardinal inaccesible \( \rightarrow \exists M\ M \) es un modelo de ZFC,
lo cual implica a su vez que ZFC es consistente.
Pero ninguna de las dos sirve de garantía a los matemáticos de que ZFC es consistente.
Así pues, entendiendo mi "nadie puede demostrar" en el sentido de demostrar de forma que el argumento realmente convenza, puedo afirmar lo que he afirmado (que, por cierto, lo comparten todos los matemáticos, no es una afirmación rara mía) sin que ello presuponga que creo que ZFC es consistente.
Ahora, si independientemente de esto me preguntas si creo que es consistente, te diré que sí, no en el sentido en que un creyente te dirá que cree en Dios, es decir, que está convencido de que existe aunque no lo pueda probar, sino en el sentido en que creo que en toda mi vida no viajaré nunca a Marte, es decir, que no me parece probable que la tecnología pueda desarrollarse hasta el punto de que yo pueda viajar a Marte antes de morirme. Y no lo afirmo porque pueda demostrarlo, sino porque tengo una ligera idea de las posibilidades de la tecnología actual, y de cómo evolucionan los avances científicos y técnicos por razones intrínsecas y extrínsecas (económicas, etc.) y en función de ellas me formo esta conjetura, no caprichosa, sino informada.
Digo, pues, que no creo que ZFC sea contradictorio porque viendo cómo resulta trabajar en él, y teniendo en cuenta lo mucho que lo han explorado los matemáticos, no me parece plausible que exista alguna contradicción escondida. Pero eso no es una demostración, es una conjetura, como te puedo conjeturar que el próximo presidente del gobierno de España no será del partido Izquierda Unida. Todo podría ser, pero me parece una conjetura bien fundada viendo el panorama.
